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文档简介
第一节导数的概念及其应用第1页,课件共22页,创作于2023年2月导数的运算
求下列各函数的导数.(1)y=ax+x3(a>0且a≠1);(2)y=xsinx+cosx;(3)第2页,课件共22页,创作于2023年2月分析
正确运用求导公式及导数运算法则求解。解
(1)y′=(ax+x3)′=(ax)′+(x3)′=axlna+3x2.(2)y′=(xsinx+cosx)′=(xsinx)′+(cosx)′
=x′sinx+x(sinx)′-sinx
=sinx+xcosx-sinx=xcosx.(3)y′=
=第3页,课件共22页,创作于2023年2月规律总结
(1)对较复杂的函数求导时,应先化简再求导。
(2)公式(ax)′=axlna,,记忆方法,要类比(ex)′=ex,(lnx)′=,同时都多出常数lna。第4页,课件共22页,创作于2023年2月变式训练1
求下列函数的导数第5页,课件共22页,创作于2023年2月解析第6页,课件共22页,创作于2023年2月
变式训练2
已知f(x)=x2+2f′(1)x,则f′(-1)=__________。【解析】∵f′(1)为常数,∴f′(x)=[x2+2f′(1)x]′=2x+2f′(1),∴f′(1)=-2,f′(-1)=-2-4=-6.【答案】-6第7页,课件共22页,创作于2023年2月导数几何意义的运用已知函数f(x)=x3+x-16(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程。第8页,课件共22页,创作于2023年2月分析
(1)点x=2处的导数为切线的斜率,利用点斜式求出方程;(2)先设出切点,利用导数导出切线的斜率,再用点斜式导出方程后,结合条件求解。第9页,课件共22页,创作于2023年2月解
(1)∵f′(x)=3x2+1,∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13,∴切线方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为k=f′(x0)=3x02+1,∴直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,又∵直线l过原点,∴0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16=-2x03-16,∴x0=-2,∴y0=-26,k=13,∴直线l的方程为y=13x.第10页,课件共22页,创作于2023年2月规律总结
(1)解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”,还是“过某点的切线”。(2)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0),进而再求出切线方程。第11页,课件共22页,创作于2023年2月
变式训练3
曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积。【解析】由f′(1)=2,故切线方程为:
,其在两坐标轴上的截距分别为,,故直线与两坐标轴围成的三角形面积为第12页,课件共22页,创作于2023年2月导数的综合应用(12分)已知函数的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,求y=f(x)的解析式。分析点(-1,f(-1))既在直线x+2y+5=0上,又在函数f(x)的图象上。第13页,课件共22页,创作于2023年2月解依题意,-1+2f(-1)+5=0,∴f(-1)=-2,,即a-2b=-4.①………3分
………6分又………………7分第14页,课件共22页,创作于2023年2月又∵点(-1,f(-1))处的切线斜率为
解①②得
②……10分……12分第15页,课件共22页,创作于2023年2月规律总结函数图象的切线是由切点和斜率(即导数确定的.有关切线问题,需要把握切点特征,和对函数进行正确求导运算.第16页,课件共22页,创作于2023年2月变式训练4
已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点
(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点的坐标。第17页,课件共22页,创作于2023年2月【解析】∵y′=3x2-6x+2,直线y=kx过原点(0,0)及(x0,x03-3x02+2x0),解得∴切点为
把切点坐标代入y=kx得∴切线方程为
即x+4y=0.第18页,课件共22页,创作于2023年2月1.正确运用公式、法则求函数导数是基础.2.需要准确理解在已知曲线上某点处的切线的两层含义:一是该点的导数值等于切线的斜率;二是该点坐标满足已知的曲线方程.3.如果曲线y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在),由切线的定义知,切线方程为x=x0.4.当某点不在曲线上,求过该点的切线方程时,要先设出切点坐标,利用导数的几何意义表示出切线方程;再把已知点代入切线方程,从而得出所求的切线方程.第19页,课件共22页,创作于2023年2月已知曲线y=x3上一点P,求过点P的切线方程.错解
由y′=x2,得y′|x-2=4,则所求的切线方程是y-=4(x-2),即12x-3y-16=0.错解分析本题所求是过点P的切线,虽然点P在曲线上,但过点P的切线不一定以P为切点.所以,过点P但不以P为切点的切线也是符合题意的.第20页,课件共22页,创作于2023年2月正解设切点(x0,y0),则切线方程为y-x03=x02(x-x0).∵切线过点P,∴-x03=x02(2-x0),解得x0=-1或
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