第一节复数与复数运算

第一节复数与复数运算1第1页，课件共20页，创作于2023年2月一.复变函数的内容：１、将“实函”中,函数、极限、连续、微商、积分、级数推广至“复函”中；２、解除了实数领域中若干禁令：实函复函不存在不存在2第2页，课件共20页，创作于2023年2月复变函数的内容：１、将“实函”中,函数、极限、连续、微商、积分、级数推广至“复函”中；２、解除了实数领域中若干禁令：３、建立了三角函数和指数函数，双曲函数的关系shx为双曲正弦chx为双曲余弦3第3页，课件共20页，创作于2023年2月二.复变函数的应用：

1、解偏微分方程的边值问题，如：保角变换法、复变函数法；2、解偏微分方程的初值问题，如：积分变换法、行波法；3、计算实积分，如：留数定理。4第4页，课件共20页，创作于2023年2月§1.1复数与复数运算一.复数的基本概念虚数单位复数实部、虚部纯虚数两个复数相等实部和虚部分别相等第一章复变函数ZxyzO代数式复数平面实轴虚轴复数还可以用复平面上的矢量来表示！复数不能比较大小！5第5页，课件共20页，创作于2023年2月复数的三角表示式：复数的指数表示式：r称为z的模：z的辐角：辐角没有意义.结论设的一个辐角，为则的辐角中，满足的角.ZxyzO欧拉公式6第6页，课件共20页，创作于2023年2月设共轭复数i)ii)iii)iv)定义ZxyzO7第7页，课件共20页，创作于2023年2月二.无限远点N为北极，S为南极除去北极N，球面上的点与复平面内的点一一对应.除去北极N，球面上的点与复数一一对应.这种对应叫做即因当z点无限地远离原点时或者说，当复数z的模无限地变大时，点P就无限地接近于N.所以，规定：复平面上有一个唯一的“无穷远点”与N相对应.相应地，规定：复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点N相对应.记为∞测地投影，球叫做复数球8第8页，课件共20页，创作于2023年2月三.复数的运算和差积交换律结合律交换律、结合律、分配律商除法是乘法的逆运算9第9页，课件共20页，创作于2023年2月有的时候采用三角式或者指数式表示更加简单：辐角不能唯一确定，可以相差的整数倍10第10页，课件共20页，创作于2023年2月定义棣莫弗(DeMoivre)公式：11第11页，课件共20页，创作于2023年2月下面求出w由棣莫弗公式得：12第12页，课件共20页，创作于2023年2月13第13页，课件共20页，创作于2023年2月解:例2

设求与例1

设求与14第14页，课件共20页，创作于2023年2月例3将化为三角表示和指数表示.(在第三象限)解:三角式:指数式:15第15页，课件共20页，创作于2023年2月例41i解16第16页，课件共20页，创作于2023年2月|x+iy+i|=|x+i(y+1)|=2解：例5：求下列方程所表示的曲线(1)|z+i|=2(2)|z-2i|=|z+2|(3)Im(i+=4（1）|z+i|=2即是表示圆心在（0，-1）半径2的圆-1yx表示点2i和到-2两点距离相等点的轨迹。既过原点的直线（2）|z-2i|=|z+2|2-217第17页，课件共20页，创作于2023年2月(3)、Im(i+所以1-y=4是y=-3的直线xyy=-318第18页，课件共20页，创作于2023年2月若z不在负实轴和原点上，则复数的加减与向量的加减一致19第19页，课件共20页，创作于2023年2月扩充复平面：复平面（有限复平面）：包含无穷远点在内的复平面不包含无穷远点在内的复平面复数∞：实部