第一节 数学期望概率论与数理统计

第一节数学期望概率论与数理统计第1页，课件共62页，创作于2023年2月分布函数能完整地描述r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道r.v.的某些特征.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度

平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;又要看纤维长度与平均长度的偏离程度例如：第2页，课件共62页，创作于2023年2月考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与r.v.有关的某些数值，虽不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.第3页，课件共62页，创作于2023年2月

r.v.的平均取值——数学期望

r.v.取值平均偏离均值的情况——方差描述两r.v.间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容随机变量某一方面的概率特性

都可用数字来描写第4页，课件共62页，创作于2023年2月§4.1数学期望问题：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表给出：甲射手乙射手击中环数8910概率0.30.10.6击中环数8910概率0.20.50.3试问哪一个射手本领较好？要解决这个问题，可采用如下方法：使两个射手各射N枪，则他们打中的环数大约是：甲：乙：平均来看，甲每枪击中9.3环，乙每枪击中9.1环.第5页，课件共62页，创作于2023年2月设X为离散r.v.其分布为若无穷级数其和为X

的数学期望记作E(X),即数学期望的定义绝对收敛,则称一、离散型随机变量的数学期望第6页，课件共62页，创作于2023年2月例1:某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可期望获利多少？解:设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布率为X52-4P0.60.20.2X的数学期望:虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。第7页，课件共62页，创作于2023年2月例2：设X服从参数为p的（0-1）分布，求E(X)。解：X的分布律为X01Pqp0<p<1,q=1-p第8页，课件共62页，创作于2023年2月例3：设X~b(n，p)，求E(X)。解：X的分布律为则：第9页，课件共62页，创作于2023年2月第10页，课件共62页，创作于2023年2月例5几何分布第11页，课件共62页，创作于2023年2月设连续r.v.X的d.f.为若广义积分绝对收敛,则称此积分为X

的数学期望，记作E(X),数学期望的本质——加权平均，它是一个数不再是r.v.定义二、连续型随机变量的数学期望即第12页，课件共62页，创作于2023年2月例6设X~U(a，b)，求E(X)。第13页，课件共62页，创作于2023年2月例7指数分布的数学期望密度函数：第14页，课件共62页，创作于2023年2月例8

X~N(,2),求E(X)

.解密度函数：第15页，课件共62页，创作于2023年2月常见r.v.的数学期望分布期望概率分布参数为p

的0-1分布pB(n,p)npP(

)

第16页，课件共62页，创作于2023年2月分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E(

)N(,2)第17页，课件共62页，创作于2023年2月注意不是所有的r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!第18页，课件共62页，创作于2023年2月设离散r.v.X

的概率分布为

若无穷级数绝对收敛，则三、r.v.函数Y=g(X)的数学期望第19页，课件共62页，创作于2023年2月设连续r.v.的d.f.为f(x)绝对收敛,则若广义积分第20页，课件共62页，创作于2023年2月设离散r.v.(X,Y)的概率分布为Z=g(X,Y),绝对收敛,则若级数第21页，课件共62页，创作于2023年2月设连续r.v.(X,Y)的联合d.f.为Z=g(X,Y),绝对收敛,则若广义积分f(x,y)，第22页，课件共62页，创作于2023年2月例9设圆的直径X～U(a,b)，求圆的面积的期望。第23页，课件共62页，创作于2023年2月例10将n封不同的信的n张信笺与n个信封进行随即匹配，记X表示匹配成对数，求E(X)。第24页，课件共62页，创作于2023年2月例11

设(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的数学期望.解第25页，课件共62页，创作于2023年2月解(1)设整机寿命为

N,五个独立元件,寿命分别为都服从参数为

的指数分布，若将它们例12(1)串联；(2)并联成整机，求整机寿命的均值.第26页，课件共62页，创作于2023年2月即N~E(5

),(2)设整机寿命为第27页，课件共62页，创作于2023年2月可见,并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.第28页，课件共62页，创作于2023年2月例13

设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y

相互独立，求E(max(X,Y)).解D1D2第29页，课件共62页，创作于2023年2月其中称为概率积分第30页，课件共62页，创作于2023年2月所以第31页，课件共62页，创作于2023年2月一般地，若X,Y相互独立，则第32页，课件共62页，创作于2023年2月

E(C)=C

E(aX)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)四、数学期望的性质常数第33页，课件共62页，创作于2023年2月当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).若存在数

a使

P(X

a)=1,则

E(X)

a;若存在数

b使

P(X

b)=1,则

E(X)

b.性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立注第34页，课件共62页，创作于2023年2月设X连续，d.f.为f(x),分布函数为

F(x),则故证

性质5第35页，课件共62页，创作于2023年2月例14

将4个不同色的球随机放入4个盒子解一设X为空盒子数,则

X的概率分布为XP0123中,每盒容纳球数无限,求空盒子数的数学期望.第36页，课件共62页，创作于2023年2月解二再引入Xi,i=1,2,3,4Xi

P10第37页，课件共62页，创作于2023年2月例15

设二维r.v.(X,Y)的d.f.为求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解

第38页，课件共62页，创作于2023年2月由数学期望性质X,Y独立第39页，课件共62页，创作于2023年2月数学期望的应用第40页，课件共62页，创作于2023年2月据统计65岁的人在10年内正常死亡解应用1的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿

a元,应如何定a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?设Xi

表示公司从第i

个投保者身上所得的收益,i

=1~1000.则Xi~0.980.02100100第41页，课件共62页，创作于2023年2月由题设公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.公司期望总收益为若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.第42页，课件共62页，创作于2023年2月

为普查某种疾病,n个人需验血.验血方案有如下两种：分别化验每个人的血,共需化验n

次；分组化验,k

个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对k

个人的血逐个化验,找出有病者,此时

k

个人的血需化验k+1次.设每人血液化验呈阳性的概率为

p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择应用2第43页，课件共62页，创作于2023年2月解只须计算方案(2)所需化验次数的期望.n/k

组.设第i组需化验的次数为Xi,则Xi

P1k+1

为简单计,不妨设n

是k

的倍数，共分成第44页，课件共62页，创作于2023年2月若则E(X)<n例如,当

时,选择方案(2)较经济.第45页，课件共62页，创作于2023年2月市场上对某种产品每年需求量为X吨，X~U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？解设每年生产y吨的利润为Y显然，2000<y<4000应用3第46页，课件共62页，创作于2023年2月第47页，课件共62页，创作于2023年2月显然，故y=3500时,E(Y)最大,E(Y)=8250万元第48页，课件共62页，创作于2023年2月设由自动线加工的某种零件的内径

X(mm)~N(

,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径X有如下的关系：问平均直径

为何值时,销售一个零件的平均利润最大？应用4第49页，课件共62页，创作于2023年2月解第50页，课件共62页，创作于2023年2月即可以验证，零件的平均利润最大.故时,销售一个第51页，课件共62页，创作于2023年2月柯西Augustin-Louis

Cauchy

1789-1857法国数学家第52页，课件共62页，创作于2023年2月柯西简介法国数学家27岁当选法国科学院院士早在1811年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题：凸多面体的角是否被它的面所决定？柯西作了肯定的回答.这一直是几何学中一个精彩的结果.在概率论中他给出了有名的柯西分布.然而他一生中最重要的数学贡献在另外三个领域：微积分学、复变函数和微分方程.第53页，课件共62页，创作于2023年2月柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础.在这三个领域中我们常常能见到以柯西名字命名的定理、公式和方程等:柯西积分定理;柯西积分公式;柯西-黎曼方程;柯西判别法则;柯西不等式;柯西初值问题第54页，课件共62页，创作于2023年2月《微积分在几何上的应用》1826年柯西的著作大多是急就章，但都朴实无华，有思想,有创见.他所发现和创立的定理和公式,往往是一些最简单、最基本的事实.因而，他的数学成就影响广泛，意义深远.柯西是一位多产的数学家，一生共发表论文800余篇，著书7本.《柯西全集》共有27卷，其中最重要的为：《分析教程》1821年《无穷小分析教程概论》1823年