圆的切线的性质及判定定理参考

圆的切线的性质及判定定理.OBAOrM本节专门讨论直线与圆相切的情形.我们知道,直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，这是从直线与圆的公共点个数刻画的.（1）直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交;(d<r)（2）直线与圆只有一个公共点，称直线与圆相切;(d=r)（3）直线与圆没有公共点，称直线与圆相离.(d>r).O相交相切相离因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到：1切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线的性质定理的推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．O.A如图,点A是⊙O与直线的公共点,且⊥OA.在直线上任取异于点A的点B,则△OAB是

Rt△．AOB2.

而OB是Rt△OAB的斜边，因此，都有OB>OA,即B一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有一个公共点，因此是圆的切线．由此可得：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件：1.经过半径的外端；2.与半径垂直．应用格式(几何语言):OA是⊙O的半径OA⊥l于Al是⊙O的切线.下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.O.AO.AB３．应用：例１如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，DE⊥AC.求证：DE是⊙O的切线．AODECB证明：连接OD．∵BD＝CD，OA=OB,∴OD是△ABC的中位线.∴OD//AC.又∵

∠DEC＝90°,∴∠ODE＝90°.又∵

D在圆周上,∴DE是⊙O的切线.例２如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB．AODCB证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OD,∴∠CAO＝∠ACO

∴∠CAD＝∠CAO

,故AC平分∠DAB．例3

作经过一定点C的圆的切线．思考：定点C在圆的什么位置？CO(1)点C在圆上．作法：连接OC，过点C作AB⊥OC．则直线AB就是所要作的切线．BA证明：直线AB经过点C，并且AB⊥OC．由切线的判定定理可知，AB就是⊙O的切线，切点是点C．例3

作经过一定点C的圆的切线．思考：定点C在圆的什么位置？O.C(２)点C在圆外．作法：连接OC,以OC为直径的圆为⊙O1，与⊙O

相交于两点P和P′.连接CP和CP′,则CP和CP′都是过已知点C所引⊙O的切线．PP′O1证明：∵∠OPC是⊙O1内半圆上的圆周角，∴∠OPC=90°.∴PC⊥OP.又∵OP是⊙O的半径，PC经过点C，∴PC就是所要作的切线.同理，CP′也是所要作的切线.课堂小结：一判定一条直线是圆的切线有三种方法1根据定义直线与圆有唯一的公共点2根据判定定理3根据圆心到直线的距离等于半径

二添辅助线的方法则连接圆心与交点则过圆心作直线的垂线段1已知直线与圆有交点，2没有明确的公共点，练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝30°.求证：直线AB是⊙O的切线.证明：连结OB,∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°∴∠OBC=∠C=∠A=30°∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)=180°－(60°+30°)=90°∴AB是⊙O的切线.题目中“半径”已有，只需证“垂直”,即可得直线与圆相切.CABDO∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°,∴∠BOC＝60°.∴△BOC是等边三角形.

∴BD＝OB＝BC，∠D＝∠BCD＝30°.

∴∠DCO＝90°.

∴DC⊥OC.∴DC是⊙O的切线.练习2．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝30°,求证：DC是⊙O的切线.证明：连OC、BC，练习3若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°.延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径,求证：DC是⊙O的切线.DCAB.O3003001200600600600分析:如图练习4:当圆心到直线的距离等于圆的半径时，该直线是这个圆的切线.已知：⊙O的圆心O到直线1的距离等于⊙O的半径r.求证：直线l是⊙O的切线.证明：过点O作OA⊥l，A为垂足.A∵OA＝d=r

∴点A在⊙O上∴OA是⊙O的半径∴l是⊙O的切线题目的条件中“垂直”和“距离等于半径”都没有明确显示出来，就必须先作出“垂直”，再证“距离等于半径”1．已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，如图(1)，求证：DE是⊙O的切线.图1思考：分析：因为DE经过⊙O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD，再证明DE⊥OD.2．如图(2)，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BC/2，E和F分别为AB和AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作⊙O，求证：⊙O与BC相切.

图2分析：要证明以EF为直径的⊙O与BC相切，只要过O作OH⊥BC于H，证明OH等于直径EF的一半.思考：3．如图(3)，△ABC内接