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文档简介
重难点01函数的单调性(6种考法)【目录】考法1:定义法判断或证明函数的单调性考法2:根据函数的单调性求参数值考法3:复合函数的单调性考法4:根据函数的单调性解不等式考法5:比较函数值的大小考法6:根据函数的解析式直接判断函数的单调性一、命题规律与备考策略一、命题规律与备考策略一.函数的单调性【解题方法点拨】判断函数的单调性,有四种方法:定义法;导数法;函数图象法;基本函数的单调性的应用;复合函数遵循“同增异减”;证明方法有定义法;导数法.单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”联结,也不能用“或”联结,只能用“和”或“,”连结.设任意x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,那么①⇔f(x)在[a,b]上是增函数;⇔f(x)在[a,b]上是减函数.②(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.函数的单调区间,定义求解求解一般包括端点值,导数一般是开区间.【命题方向】函数的单调性及单调区间.是高考的重点内容,一般是压轴题,常与函数的导数相结合,课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小.从近三年的高考试题来看,函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中等偏高;客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用,主观题在考查基本概念、重要方法的基础上,又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间,研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点,重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.二、函数单调性判断【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤:①取值;②作差;③变形;④确定符号;⑤下结论.利用函数的导数证明函数单调性的步骤:第一步:求函数的定义域.若题设中有对数函数一定先求定义域,若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域.第二步:求函数f(x)的导数f′(x),并令f′(x)=0,求其根.第三步:利用f′(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间,并列表.第四步:由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性;求极值、最值.第五步:将不等式恒成立问题转化为f(x)max≤a或f(x)min≥a,解不等式求参数的取值范围.第六步:明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看,函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中等偏高;客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用,主观题在考查基本概念、重要方法的基础上,又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间,研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点,重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.三、复合函数的单调性【解题方法点拨】求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤:(1)确定定义域;(2)将复合函数分解成两个基本初等函数;(3)分别确定两基本初等函数的单调性;(4)按“同增异减”的原则,确定原函数的单调区间.【命题方向】理解复合函数的概念,会求复合函数的区间并判断函数的单调性.四.函数奇偶性【解题方法点拨】①奇函数:如果函数定义域包括原点,那么运用f(0)=0解相关的未知量;②奇函数:若定义域不包括原点,那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数;③偶函数:在定义域内一般是用f(x)=f(﹣x)这个去求解;④对于奇函数,定义域关于原点对称的部分其单调性一致,而偶函数的单调性相反.【命题方向】函数奇偶性的应用.本知识点是高考的高频率考点,大家要熟悉就函数的性质,最好是结合其图象一起分析,确保答题的正确率.五、奇偶性与单调性的综合【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点,有:①奇函数:如果函数定义域包括原点,那么运用f(0)=0解相关的未知量;②奇函数:若定义域不包括原点,那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数;③偶函数:在定义域内一般是用f(x)=f(﹣x)这个去求解;④对于奇函数,定义域关于原点对称的部分其单调性一致,而偶函数的单调性相反【命题方向】奇偶性与单调性的综合.不管出什么样的题,能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提,另外做题的时候多多总结,一定要重视这一个知识点.二、题型方法二、题型方法一、单选题1.(2022·上海徐汇·上海中学校考模拟预测)设函数与的定义域为,且单调递增,,,若对任意,恒成立,则(
)A.都是减函数 B.都是增函数C.是增函数,是减函数 D.是减函数,是增函数【答案】B【分析】根据单调递增,不妨设,可得,结合已知可得且,由此利用函数单调性定义判断,的正负,可得答案.【详解】不妨设,,因为单调递增,所以,由于,所以且,即且,则,所以是增函数,同理,故也是增函数.故选:B.2.(2022·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)已知函数是上的偶函数,对于任意都有成立,当,且时,都有.给出以下三个命题:①直线是函数图像的一条对称轴;②函数在区间上为增函数;③函数在区间上有五个零点.问:以上命题中正确的个数有(
).A.个 B.个 C.个 D.个【答案】B【分析】根据题意,利用特殊值法分析可得,结合函数的奇偶性可得,进而可得,所以的周期为6;据此分析三个命题,综合即可得答案.【详解】解:根据题意,对于任意,都有成立,令,则,又是上的偶函数,所以,则有,所以的周期为6;据此分析三个命题:对于①,函数为偶函数,则函数的一条对称轴为轴,又由函数的周期为6,则直线是函数图象的一条对称轴,①正确;对于②,当,,,且时,都有,则函数在,上为增函数,因为是上的偶函数,所以函数在,上为减函数,而的周期为6,所以函数在,上为减函数,②错误;对于③,(3),的周期为6,所以,函数在,上有四个零点;③错误;三个命题中只有①是正确的;故选:B.【点睛】本题考查抽象函数的性质以及应用,关键是求出的值,分析函数的周期与对称性.3.(2021·上海长宁·统考二模)已知函数满足:对任意,都有.命题:若是增函数,则不是减函数;命题:若有最大值和最小值,则也有最大值和最小值.则下列判断正确的是(
)A.和都是真命题 B.和都是假命题C.是真命题,是假命题 D.是假命题,是真命题【答案】C【分析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p的真假,再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q的真假而得解.【详解】对于命题:设,因为是上的增函数,所以,所以,因为,所以所以故函数不是减函数,故命题为真命题;对于命题在上有最大值,此时,有最小值,此时,因为,所以,所以有界,但不一定有最大值和最小值,故命题为假命题.故选:C【点睛】结论点睛:含绝对值不等式转化方法:a>0时,;或.4.(2022·上海·统考模拟预测)设P、Q是R上的两个非空子集,如果存在一个从P到Q的函数满足:(1);(2)对任意,当时,恒有,那么称这两个集合构成“恒等态射”,以下集合可以构成“恒等态射”的是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用题目给出的定义,对每一个选项中给的两个集合,利用所学知识,找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数,即Q是函数的值域,且函数为定义域上的增函数,即可得到答案【详解】根据题意,函数的定义域为,单调递增,值域为,由此判断,对于A,定义域为,值域为整数集,且为递增函数,没有这样的函数,对于B,定义域为,值域为,且为递增函数,没有这样的函数,对于C,定义域为,值域为,且为递增函数,没有这样的函数,对于D,可取,且在上为增函数,且值域为,满足题意,故选:D5.(2023·上海青浦·统考一模)已知函数定义域为,下列论断:①若对任意实数,存在实数,使得,且,则是偶函数.②若对任意实数,存在实数,使得,且,则是增函数.③常数,若对任意实数,存在实数,使得,且,则是周期函数.其中正确的论断的个数是(
).A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【分析】根据函数的奇偶性,单调性和周期性逐一分判断即可.【详解】解:对于①,由题意对任意实数,存在实数,使得,即对于任意实数,都有,所以函数为偶函数,故①正确;对于②,对任意实数,存在实数,使得,且,无法判断出函数的单调性,如函数,故②错误;对于③,常数,且,则,,因为对任意实数,存在实数,使得,则,即或,这两种情况有一个成立即可,所以函数不是周期函数,如,故③错误.故选:B.6.(2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测)若对任意,都有,那么在上………………A.一定单调递增 B.一定没有单调减区间C.可能没有单调增区间 D.一定没有单调增区间【答案】C【详解】试题分析:对任意,都有,但在上不单调递增,且没有单调增区间,对任意,都有,且有单调增区间,对任意,都有,且有单调减区间,选C考点:函数单调性二、填空题7.(2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测)设函数的定义域为.若对于内的任意,,都有,则称函数为“Z函数”.有下列函数:①;②;③;④.其中“Z函数”的序号是___________(写出所有的正确序号)【答案】③④【分析】新定义说是增函数的意思,判断各函数的是否为增函数可得.【详解】当时,,由,得,,所以在定义域内是增函数,①是常数函数,②是减函数,③是增函数,④是增函数,故答案为:③④【点睛】关键点点睛:本题考查新定义,解题关键是理解新定义,新定义“Z函数”即为增函数,因此只要判断函数的单调性即可得.8.(2021·上海闵行·统考一模)已知函数,给出下列命题:①存在实数,使得函数为奇函数;②对任意实数,均存在实数,使得函数关于对称;③若对任意非零实数,都成立,则实数的取值范围为;④存在实数,使得函数对任意非零实数均存在6个零点.其中的真命题是___________.(写出所有真命题的序号)【答案】②③【解析】利用特殊值法可判断①不正确;验证,可判定②正确;利用基本不等式可判定③正确;当时,分析出函数在上现递减再递增,即,可得出,利用不恒成立,可判定④错误,同理可得,当时,命题④也不成立,从而得到④为假命题.【详解】由题意,令,函数的定义域为,则,所以函数为偶函数.对于①,若,则,则,此时函数不是奇函数;若,则函数的定义域为且,,,显然.综上所述,对任意的,函数都不是奇函数;对于②,,所以,函数关于直线对称.因此,对任意实数,均存在实数,使得函数关于对称,所以②正确;对于③,,当且仅当时,等号成立,,当且仅当时,等号成立,所以,因为,当时,两个等号可以同时成立,所以.因此,实数的取值范围是,③正确;对于④,假设存在实数,使得直线与函数的图象有6个交点,若,当时,,此时,函数在区间单调递减,在区间上单调递增,当时,;当时,任取,且,即,则,因为,随着的增大而增大,当且时,,当且时,,所以,使得当时,,则,所以,函数在区间上单调递减;当时,,则,所以,函数在区间上单调递增,所以,当时,.若存在实数,使得函数对任意非零实数均存在6个零点,即直线与函数的图象有6个交点,由于函数的图象关于直线对称,则直线与函数在直线右侧的图象有3个交点,所以,.由于为定值,当且当逐渐增大时,也在逐渐增大,所以不可能恒成立,所以当时,不存在实数,使得函数对任意非零实数均存在6个零点;同理可知,当时,不存在实数,使得函数对任意非零实数均存在6个零点,故命题④错误.故答案为:②③.【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法:1、分离参数法:一般命题的情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从中分离出参数,构造新的函数,求得新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,从而确定参数的取值范围;2、分类讨论法:一般命题的情境为没有固定的区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为结合函数的单调性,先确定参数分类的标准,在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各校范围并在一起,即为所求的范围.三、解答题9.(2022·上海静安·统考模拟预测)因函数的图像形状象对勾,我们称形如“”的函数为“对勾函数”.(1)证明对勾函数具有性质:在上是减函数,在上是增函数.(2)已知,,利用上述性质,求函数的单调区间和值域;(3)对于(2)中的函数和函数,若对任意,总存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2)单调递减区间为,单调递增区间为,值域为;(3).【分析】(1)根据函数单调性的定义进行证明即可;(2)利用对勾函数的单调性的性质进行求解即可;(3)结合(2)的结论,根据任意性、存在性的定义进行求解即可.【详解】(1)设是任意两个实数,且任取,则若,则,,即,,所以所以,即,所以在上是减函数,若,则,,即,,所以,所以,即,所以在上是减函数,所以对勾函数具有性质:在上是减函数,在上是增函数;(2),令,因为,所以,则,由对勾函数的性质,可得在上单调递减,在上单调递增,所以在上是减函数,在上是增函数,所以,,,综上可得,的单调递减区间为,单调递增区间为,值域为.(3)由(2)知时,若存在,使得成立,只需,在上有解即可,即最小值,令,在上是减函数,在上是增函数,所以最小值,所以,即实数的取值范围为.10.(2022·上海宝山·统考二模)已知函数.(1)当时,求满足的的取值范围;(2)若的定义域为,又是奇函数,求的解析式,判断其在上的单调性并加以证明.【答案】(1);(2),在上递减,证明见解析.【分析】(1)由题意可得从中解得,解此指数不等式即可求得的取值范围;(2)由可求得,,可求得,从而可得的解析式;利用单调性的定义,对任意,再作差最后判断符号即可.【详解】(1)由题意,,化简得,解得,所以.(2)已知定义域为R,所以,又,所以;对任意可知,因为,所以,所以因此在R上递减.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性,属于中档题.已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个,一是利用:(1)奇函数由恒成立求解,(2)偶函数由恒成立求解;二是利用特殊值:奇函数一般由求解,偶函数一般由求解,用特殊法求解参数后,一定要注意验证奇偶性.11.(2022·上海·统考模拟预测)已知下表为函数部分自变量取值及其对应函数值,为了便于研究,相关函数值取非整数值时,取值精确到0.01.0.61-0.59-0.56-0.3500.260.421.573.270.070.02-0.03-0.2200.210.20-10.04-101.63据表中数据,研究该函数的一些性质;(1)判断函数的奇偶性,并证明;(2)判断函数在区间[0.55,0.6]上是否存在零点,并说明理由;(3)判断的正负,并证明函数在上是单调递减函数.【答案】(1)奇函数,见解析;(2)存在,理由见解析;(3),见解析【分析】(1)通过代入点解得,再利用奇偶性的定义即可判断出奇偶性.(2)根据零点判断法则,为连续函数,只需在区间内寻找符号相反的两个值即可.(3)根据(1)与(2)可知,为奇函数且在上存在零点.由此可判断在也存在零点,即可设两个零点为与,并代入点建立包含与的不等式,即可判断的符号.利用的符号采用定义法证明单调性,即证明【详解】(1)因为,所以,,由,所以为奇函数.(2)由已知可得,,所以在,所以在上存在零点.(3)因为在上存在零点,是奇函数,所以在上存在零点,所以,而,所以因为在上存在零点,所以,.设,因为;所以,又因为,所以所以在上是单调递减函数.【点睛】本题主要考查函数奇偶性、零点存在定理以及定义法证明函数的单调性,综合性比较强,需掌握函数的有关性质.12.(2022·上海长宁·统考一模)已知函数.(1)求证:函数是上的减函数;(2)已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称,判断函数的图像是否存在对称中心,若存在,求出该对称中心的坐标,若不存在,说明理由;(3)若对任意,都存在及实数,使得,求实数的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)存在,(3)2【分析】(1)根据函数单调性的定义证明即可;(2)假设函数的图像存在对称中心,进而根据题意将问题转化为恒成立,进而得,解方程即可得答案;(3)根据题意得,进而结合已知条件得以所以,故.【详解】(1)解:设对于任意的实数,,则,因为,所以,所以,即所以函数是上的减函数(2)解:假设函数的图像存在对称中心,则的图像关于原点中心对称,由于函数的定义域为,所以恒成立,即恒成立,所以,解得,所以函数的图像存在对称中心(3)解:因为对任意,都存在及实数,使得,所以,即,所以,即因为,所以因为,所以所以,即所以,所以,即实数的最大值为.13.(2022·上海浦东新·统考一模)已知函数,.(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;(2)若函数,写出函数的单调递增区间并用定义证明.【答案】(1)答案见解析(2),证明见解析【分析】(1)分、两种情况,利用函数奇偶性的定义判断出结果;(2)求得,可以确定的单调递增区间为,之后利用函数单调性证明即可.【详解】(1)当时,,定义域为,任选,都有,所以时函数为偶函数;当,则;时函数既非奇函数又非偶函数;(2)函数的单调递增区间为.证明:,任取且,,由于,则;由于,则;所以,即.
函数的单调递增区间为.14.(2022·上海金山·统考一模)已知函数.(1)设是的反函数,若,求的值;(2)是否存在常数,使得函数为奇函数,若存在,求m的值,并证明此时在上单调递增,若不存在,请说明理由.【答案】(1)3(2)详细见解析【分析】(1)根据反函数定义可知,,利用对数性质计算即可求得结果.(2)利用奇偶性的定义即可求得的值,利用单调性的定义证明即可得出结果.【详解】(1)函数,是的反函数,则,,即,.(2),定义域为,关于原点对称,又,若函数为奇函数,则,即,解得,故存在常数,使得函数为奇函数,任取,且.因为,所以.所以.又,所以,即,所以,函数在其定义域上是增函数.15.(2022·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)设函数.(1)求函数的零点;(2)当时,求证:在区间上单调递减;(3)若对任意的正实数,总存在,使得,求实数的取值范围.【答案】(1)见解析(2)证明见解析;(3)【分析】(1)讨论,且,,解方程可得零点;(2)可令,运用单调性的定义,证得在递减,可得,即可得到证明;(3)由题意可得,由绝对值的含义,化简,得到在的单调性,即有,运用绝对值不等式的性质,可得的最大值,即可得到的范围.【详解】解:(1)当时,的零点为;当且时,由得,由一元二次方程求根公式得,的零点为;当时,方程中的判别式,故无零点;(2)证明:当时,,可令,任取,,由,可得,,进而,即,可得在上递减,可得时,,则,即在区间上单调递减;(3)对任意的正实数,总存在,,使得,则,当时,,则在递减,在,递增,可得,由于,设,可得,,可得,即有,可得,则.【点睛】本题考查含绝对值函数的零点和单调性,考查存在性问题的解法,注意运用分类讨论思想方法,以及绝对值不等式的性质,考查化简整理的运算能力,属于难题.16.(2021·上海·统考一模)已知实数是常数,函数.(1)求函数的定义域,判断函数的奇偶性,并说明理由;(2)若,设,记的取值组成的集合为,则函数的值域与函数()的值域相同.试解决下列问题:(i)求集合;(ii)研究函数在定义域上是否具有单调性?若有,请用函数单调性定义加以证明;若没有,请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数的最小值.【答案】(1)定义域为,为偶函数,理由见解析;(2)(i);(ii)在上是减函数,证明见解析,最小值为.【分析】(1)由函数解析式,根据根式的性质列不等式组,即可求函数定义域,由函数奇偶性的定义说明的关系即可证函数的奇偶性.(2)(i)由题设可得,由根式的性质,即可求的取值集合,(ii)任意的且,根据解析式判断大小即可确定单调性,利用与()的值域相同求最小值.【详解】(1)实数是常数,函数,由,解得.函数的定义域是.对于任意,有,,即对都成立(又不恒为零),∴函数是偶函数.(2)由,有.(i)(),则.,,即..(ii)由(i)知:的定义域为.对于任意的且,有.又且(这里二者的等号不能同时成立),,即.函数在上是减函数..又函数的值域与函数的值域相同,函数的最小值为.【点睛】关键点点睛:(1)根据根式的性质求定义域,利用函数奇偶性的定义说明奇偶性;(2)由根式性质,求换元后t的范围,利用单调性定义判断的单调性,进而由的值域求的最小值.17.(2022·上海松江·统考二模)对于定义在R上的函数,若存在正数m与集合A,使得对任意的,当,且时,都有,则称函数具有性质.(1)若,判断是否具有性质,并说明理由;(2)若,且具有性质,求m的最大值;(3)若函数的图像是连续曲线,且当集合(a为正常数)时,具有性质,证明:是R上的单调函数.【答案】(1)具有性质,理由见解析;(2);(3)证明见解析.【详解】(1)对一切,,且由于具有性质.(2)令,则∵具有性质,∴当时,恒有,即,.(3)∵函数具有性质,∴对任意的区间,当时,都有成立.下面证明此时,恒有或恒有若存在,使得①,不妨设②当①或②式中有等号成立时,与矛盾当①②两式中等号均不成立时,的函数值从连续增大到时,必在存使得,也与矛盾,同理可证也不可能.∴对任意的区间,当时,恒有或恒有,∵对任意的,总存在,使得:,∴当时,,此时在单调递增,当时,成立,此时在上单调递减,综上可知是上的单调函数.【点睛】关键点点睛:对于新定义问题,关键在于理解所给定义,一般就是需要具体化新定义的内容,研究所给特例问题,一般需要化抽象为具体,具有很强的类比性,对类比推理要求较高.18.(2021·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测)已知函数的定义域为,实数和满足,若在区间上不存在最小值,则称在上具有性质.(1)若,判断函数在下列区间上是否具有性质;①;②;(2)若对任意实数都成立,当时,,若在区间上具有性质,求实数的取值范围;(3)对于满足的任意实数和,在区间上都有性质,且对于任意,当时,均满足.设,,试判断数列的单调性,并说明理由.【答案】(1)①不具有;②具有(2)(3)单调递增,证明见解析【分析】(1)由对称轴,即可判断;(2)求出在上的函数解析式,根据在上没有最小值,即可讨论的情况,得出结果;(3)由在区间上都有性质,可以得出以及,进而结合,可得,对于,利用进行证明即可.【详解】(1),对称轴为,当时,有最小值,不具有性质;当时,递增,无最小值,具有性质.(2)由题知,当时,,则当,即时,,所以当时,,所以,那么,当时,无最小值,符合题意;当时,需满足,即,解得;当时,无最小值,符合题意.综上所述,.(3)由在区间上都有性质,则在,上,且,又,所以,即,对于,因,令,因,所以,所以,即,所以数列是单调递增的.考法2:根据函数的单调性求参数值一、单选题1.(2022·上海宝山·统考二模)设函数,其中,若、、是的三条边长,则下列结论:①对于一切都有;②存在使、、不能构成一个三角形的三边长;③为钝角三角形,存在,使,其中正确的个数为______个A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【分析】构造函数,根据函数单调性可知,根据三角形三边关系可知,可推导出,从而可得,可知①正确;通过取值可知存在取值使得取值不满足三边关系,可知②正确;根据余弦定理可知,可得,再结合,可知,由零点存在性定理可知③正确;由此可得选项.【详解】①令
在上单调递减
在上单调递减当时,根据三角形三边关系可知:
又
时,都有,可知①正确;②取,,,则,不满足三角形三边关系,可知②正确;③为钝角三角形
,从而又,由零点存在性定理,可知③正确本题正确选项:【点睛】本题考查函数与解三角形知识的综合应用问题,其中涉及到零点存在定理的应用、余弦定理及三角形三边关系的应用、函数单调性问题,关键是能够构造出合适的函数来对问题进行求解.二、填空题2.(2021·上海·统考二模)函数在内单调递增,则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】讨论、、:显然根据解析式知、,函数在内单调递增;,利用基本不等式(注意等号成立的条件),结合对勾函数的性质判断函数的单调增区间,即可求a的范围.【详解】当时,在上,单调递增,单调递增,即单调递增,符合题意;当时,在内单调递增,符合题意;当时,,∴若,时,等号不成立,此时在内单调递增,符合题意;若,时,若当且仅当时等号成立,此时在内单调递增,不符合题意.综上,有时,函数在内单调递增.故答案为:.【点睛】关键点点睛:应用分类讨论,当、时,根据函数解析式直接判断单调性,当时,综合应用基本不等式、对勾函数的性质判断函数的单调区间,进而求出参数范围.3.(2021·上海黄浦·上海市大同中学校考三模)函数在上单调递增,则实数a的取值范围是_________.【答案】【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系,同时注意分母不为0需满足上符号一致.【详解】在上单调递增,在单调递减,则,即,同时需满足,即,解得,综上可知故答案为:【点睛】关键点点睛:注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解,同时需注意时,符号必须一致是解题的关键,属于中档题.4.(2022·上海徐汇·统考三模)设是定义在上的奇函数,当时,,若存在反函数,则的取值范围是______________.【答案】或.【分析】先求出的解析式,若存在反函数,则在每段单调且各段值域无重合,计算得解.【详解】当时,,,是定义在上的奇函数,所以,即时,,所以,若存在反函数,则在每段单调且各段值域无重合,当,,;所以或所以或.故答案为:或.5.(2022·上海·统考模拟预测)已知定义在上的增函数满足,若实数满足不等式,则的最小值是______.【答案】8【分析】由知,可将不等式变为,利用函数单调性可得,根据线性规划的知识,知的几何意义为原点与可行域中的点的距离的平方,从而可知所求最小值为到直线的距离的平方,利用点到直线距离公式求得结果.【详解】由得:等价于为上的增函数,即则可知可行域如下图所示:则的几何意义为原点与可行域中的点的距离的平方可知到直线的距离的平方为所求的最小值本题正确结果;【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解,关键是能够利用平方和的几何意义,将问题转化为两点间距离的最值的求解问题.6.(2022·上海普陀·统考模拟预测)已知函数和的图像关于y轴对称,当函数和在区间上同时递增或者同时递减时,把区间叫做函数的“不动区间”,若区间[1,2]为函数的“不动区间”,则实数t的取值范围是_____【答案】【详解】解:因为函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,所以F(x)=f(﹣x)=|2﹣x﹣t|,因为区间[1,2]为函数y=|2x﹣t|的“不动区间”,所以函数y=|2x﹣t|和函数F(x)=|2﹣x﹣t|在[1,2]上单调性相同,因为y=2x﹣t和函数y=2﹣x﹣t的单调性相反,所以(2x﹣t)(2﹣x﹣t)≤0在[1,2]上恒成立,即1﹣t(2x+2﹣x)+t2≤0在[1,2]上恒成立,即2﹣x≤t≤2x在[1,2]上恒成立,得t≤2;故答案为[]点睛:已知函数单调性求参数的范围的常用方法,(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,作出函数的图象,然后数形结合求解.7.(2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测)已知为定义在上的增函数,且任意,均有,则_____.【答案】【分析】设,令、求得,结合单调性求出a值,代入验证即可得结果.【详解】设,令得:;令得:,因为为定义在上的增函数,所以,当时,由矛盾.故.故答案为:三、解答题8.(2023·上海浦东新·校考一模)已知函数,其中.解关于x的不等式;求a的取值范围,使在区间上是单调减函数.【答案】(1)见解析;(2).【分析】由题意可得,对a讨论,可得所求解集;求得,由反比例函数的单调性,可得,解不等式即可得到所求范围.【详解】的不等式,即为,即为,当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为,;,由在区间上是单调减函数,可得,解得.即a的范围是.【点睛】本题考查分式不等式的解法,注意运用分类讨论思想方法,考查函数的单调性的判断和运用,考查运算能力,属于基础题.9.(2021·上海·统考一模)设函数,为常数.(1)若为偶函数,求的值;(2)设,,为减函数,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)根据偶函数的定义求解即可;(2)化简函数,根据函数减函数的定义确定a的范围.【详解】(1)因为为偶函数,且,所以即即所以对一切成立,所以(2)因为,且所以,任取,因为,所以且又在区间上为减函数,所以即,所以又,所以.10.(2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测)已知函数f(x),k≠0,k∈R.(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)已知f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,求实数k的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)【分析】(1)根据题意,由函数的解析式分析可得的表达式,讨论的范围,分析与的关系,即可得结论;(2)设,分析可得的范围,则对的范围进行分情况讨论,讨论函数的单调性,求出的范围,综合即可得答案.【详解】(1)根据题意,函数f(x),其定义域为R,f(-x)=,当k=1时,有f(x)=f(﹣x),函数f(x)为偶函数,当k≠1时,f(x)≠f(﹣x)且f(﹣x)≠﹣f(x),函数f(x)为非奇非偶函数;(2)设t=2x,x∈(﹣∞,0],则有0<t≤1,则y=,当k<0时,函数f(x)在R上递减,符合题意;当k>0时,t∈(0,)上时,函数y=递减,t∈(,+∞)上时,函数y=递增,若已知f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,必有≥1,解可得k≥1,综合可得:t的取值范围是(﹣∞,0)∪[1,+∞).【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用,分析函数的奇偶性时注意讨论k的取值.属中档题.11.(2021·上海·统考模拟预测)已知函数.(1)若,求函数的定义域;(2)若,若有2个不同实数根,求的取值范围;(3)是否存在实数,使得函数在定义域内具有单调性?若存在,求出的取值范围.【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)解绝对值不等式即可得答案;(2)利用有两个不同的实数根,转化为有两个根,利用换元法可求实数a的取值范围;(3)分与两类情况,结合复合函数的单调性可得使得函数在定义域内具有单调性的的取值范围.【详解】解:(1),∴,解得;所以函数的定义域为.(2)由题知有2个不同实数根,所以,,设,∴有2个不同实数根,∴整理得,有2个不同实数根,同时,∴;(3)当,,在递减,此时需满足,即时,函数在上递减;当,,在上递减,∵,∴,即当时,函数在上递减;综上,当时,函数在定义域上连续,且单调递减.所以的取值范围是【点睛】本题第二问解题的关键在于利用换元法,将问题转化为,有2个不同实数根,进而求解,第三问解题的关键在于分类讨论求解.12.(2021·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)已知函数.(1)当b=0时,若在上单调递减,求的取值范围;(2)求满足下列条件的所有整数对:存在,使得是的最大值,是的最小值;(3)对满足(2)中的条件的整数对,已知定义域为且的函数满足:,且当时,,若函数的零点的个数为4个,求实数m的取值范围.【答案】(1)[0,1](2)满足条件的整数对是(3)【分析】(1)当时,若在,上单调递减,则此区间必是函数定义上单调递减区间的子集,由此可以求出的取值范围(2)研究两个函数的最值,由于在时取到最小值,故求出取最大值的,令其等于.(3)由题设条件,根据奇函数的性质求出在定义域上的解析式,再根据函数的零点的个数为4个,即可得到关于的等式求出的值.(1)解:当时,,若,,则在,上单调递减,成立,故,要使在,上单调递增,必须满解之得即实数的取值范围是;(2)解:若,,可得无最大值,故,为二次函数,要使有最大值,必须满足,即,,此时,时,有最大值.又取最小值时,,依题意有,可得,且,,,结合为整数得,此时或.综上所述,满足条件的实数对是:,.(3)解:当整数对是,.,,是以4为周期的周期函数.又当时,,对任意的都有,所以对任意的都有,对于任意的,都存在,使得,,,则得,,,,,,,,,所以,即,为奇函数.考虑函数的图象与函数的图象的交点个数,因为这两个函数均为奇函数,所以它们在轴右侧的交点个数为2,当,,则,,当,,,则,显然时不合题意,舍去.当时,考虑这两个函数在轴有且只有两个交点;则有两组解,即有两解,,且无解,即无解,,所以,当时,考虑这两个函数在轴右侧有且只有两个交点;有一组解,即有一解,,且有一组解,即有一解,,综上,的取值范围为13.(2022·上海松江·统考一模)已知函数的定义域为,若存在常数和,对任意的,都有成立,则称函数为“拟线性函数”,其中数组称为函数的拟合系数.(1)数组是否是函数的拟合系数?(2)判断函数是否是“拟线性函数”,并说明理由;(3)若奇函数在区间上单调递增,且的图像关于点成中心对称(其中为常数),证明:是“拟线性函数”.【答案】(1)是;(2)不是;(3)证明见解析.【分析】(1)根据所给新定义推出即可得出结论;(2)根据新定义,利用特例法可知不存在使成立,即可得出结论;(3)根据所给函数的性质可构造函数,利用周期定义可得为周期函数,先证明在时,,再利用周期证明对一切,都有即可得证.【详解】(1)因为所以当,当时,因为或,所以,所以数组是函数的拟合系数.(2)①当时,对于恒成立,所以成立,②当时,恒成立,所以成立,由①②可知,不能同时满足,所以函数不是“拟线性函数”.(3)的图像关于点成中心对称,,令x=0,得:,由于在区间上递增,,,为奇函数,,时,,记,下面证明对一切,都有,为奇函数,,,即,由于是周期函数,且一个周期为,因为当时,,,又因此时,当,,,由于均为奇函数,也为奇函数,当时,,也成立,综合得:时,,当时,,,因此,对一切,都有,即恒成立.所以是“拟线性函数”.【点睛】方法点睛:根据所给新定义,理解“拟线性函数”,并选取恰当的拟合系数是解题的关键所在,证明是“拟线性函数”,需要根据所给函数的奇偶性,单调性,对称性进行充分推理,为探求拟合系数准备,找到合适的拟合系数,是解决问题的难点,探求出拟合系数后根据定义推导即可,属于难题.考法3:复合函数的单调性一、单选题1.(2022·上海·统考模拟预测)下列函数中,在其定义域上是减函数的是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】由复合函数单调性的判断,结合指数函数、幂函数的单调性可判断AC,结合二次函数的性质可判断B,由一次函数的单调性可判断D.【详解】解:A:因为为减函数,所以为增函数;B:对称轴为,图象开口向上,所以在上为增函数;C:因为在定义域上为减函数,所以在定义域上为增函数;D:当时,为减函数,当时,为减函数,且,所以在定义域上为减函数.故选:D.2.(2022·上海·高三专题练习)设函数和的定义域均为,对于下列四个命题:①若对任意,都有,则存在且唯一;②若为上单调函数,为周期函数,则在上既是单调函数又是周期函数;③若对任意,都有,则当时,必有;④若函数不存在反函数,则在上不是单调函数.其中正确的命题为()A.①② B.②④ C.①③④ D.③④【答案】D【分析】①举例若或判断;②不妨设函数的周期为判断;③利用函数定义判断;④根据函数具有反函数的条件判断.【详解】若或,都满足对任意,都有,故①错误;不妨设函数的周期为,则,故在上不是单调函数,故②错误;∵,∴,又∵,∴;故③正确;∵若在上是单调函数,则函数存在反函数;∴若函数不存在反函数,则在上不是单调函数,故④正确.故选:D.3.(2020·上海·高三专题练习)已知(且)在上有,则在(
)A.上递增 B.上递减 C.上递增 D.上递减【答案】C【分析】由且可得,再由复合函数的单调性得到的单调区间.【详解】因为,所以,所以,令,则,当时,单调递减,单调递减,所以在上递增.故选:C【点睛】本题考查利用对数函数值的正负判断底数的范围、复合函数的单调性,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.4.(2022·上海·高三专题练习)已知都是定义在上的函数,下列两个命题:①若、都不是单调函数,则不是增函数.②若、都是非奇非偶函数,则不是偶函数.则(
)A.①②都正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①②都错误【答案】D【解析】举反例即可得答案.【详解】解::当,则,故①不正确;当,,则,故②不正确.∴①②都错误.故选:D.【点睛】本题考查复合函数的单调性与奇偶性,是基础题.5.(2021·上海徐汇·统考二模)若是R上的奇函数,且在上单调递增,则下列结论:①是偶函数;②对任意的x∈R都有;③在上单调递增;④反函数存在且在上单调递增.其中正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】根据奇函数定义以及单调性性质,及反函数性质逐一进行判断选择.【详解】对于①,由是上的奇函数,得,∴,所以是偶函数,故①正确;对于②,由是上的奇函数,得,而不一定成立,所以对任意的,不一定有,故②错误;对于③,因为是上的奇函数,且在上单调递增,所以在上单调递增,且,因此,利用复合函数的单调性,知在上单调递增,故③正确.对于④,由已知得是上的单调递增函数,利用函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射,且函数与其反函数在相应区间内单调性一致,故反函数存在且在上单调递增,故④正确;故选:C【点睛】关键点点睛:本题考查奇函数定义以及单调性,解题的关键是熟悉奇函数的定义及单调性性质,及反函数的性质,考查学生的基本分析判断能力,属中档题.二、填空题6.(2022·上海·高三专题练习)函数的递增区间是__________【答案】【分析】根据题意,求出的定义域,结合复合函数单调性即可求解.【详解】由题意得,,即,又因的对称轴为,所以在上单调递增,故根据复合函数单调性得,函数的递增区间为.故答案为:.7.(2021秋·上海长宁·高三上海市复旦中学校考阶段练习)函数的单调递增区间为________.【答案】【分析】求出函数的定义域,然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间.【详解】令,解得或,函数的定义域为.内层函数的减区间为,增区间为.外层函数在上为增函数,由复合函数法可知,函数的单调递增区间为.故答案为.【点睛】本题考查函数单调区间的求解,常用的方法有复合函数法、图象法,另外在求单调区间时,首先应求函数的定义域,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.8.(2020秋·上海浦东新·高三校考阶段练习)已知函数,(为常数)在区间上是增函数,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】若函数在区间上是增函数,则只需函数在上递增,然后根据二次函数的增减性求解的取值范围.【详解】若函数,(为常数)在区间上是增函数,则二次函数在上递增,只需满足,即.故答案为:.【点睛】本题考查复合函数单调性的判断及根据复合函数的单调性求参,较简单.9.(2021秋·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考阶段练习)已知是定义在上的单调函数,且对任意的实数,都有,则的值为_________.【答案】【分析】根据题意,对于复合函数问题,利用换元法可设(为常数),得出,从而得出,再令,且根据一次函数和指数型函数的单调性得出函数的单调性,从而可知有唯一解,从而得出的解析式,最后结合对数函数的运算即可求出结果.【详解】解:是上的单调函数,且对任意的实数,都有,则设(为常数),则,,即,令,由于函数在上单调递增,且函数在上单调递减,则在上单调递增,所以有唯一解,解得:,,.故答案为:.三、解答题10.(2020·上海·高三专题练习)已知函数,判断单调性并求出其反函数.【答案】递增函数,,【分析】变换,根据复合函数单调性得到函数单调性,取,解得,得到反函数.【详解】,根据复合函数单调性知函数单调递增,,则,故,故,.【点睛】本题考查了复合函数单调性,求反函数,意在考查学生的计算能力和应用能力.11.(2020·上海·高三专题练习)设函数为奇函数,又,,且在上递减.(1)求a,b,c的值;(2)当时,讨论的单调性.【答案】(1),;(2)在单调递增,在单调递减【分析】(1)根据奇函数性质结合函数值计算得到答案.(2)变换,根据双勾函数性质得到答案.【详解】(1)由为奇函数,,又,得,由,得,∴,.(2),根据双勾函数性质知在单调递减,在单调递增,且,故在单调递增,在单调递减.【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数,确定函数单调性,意在考查学生对于函数性质的灵活运用.12.(2021秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考期中)对于定义在D上的函数,若对任意,不等式对一切恒成立,则称函数是“A控制函数”.(1)当,判断、是否是“A控制函数";(2)当,,,若函数是“A控制函数”,求正数m的取值范围;(3)当,,D为整数集,若函数是“A控制函数”且均为常值函数,求所有符合条件的t的值.【答案】(1)是,不是(2)(3)1,3,5【分析】(1)利用函数的单调性结合新定义,逐个判断即可;(2)依题意,为上的增函数,根据复合函数的单调性及函数不等式恒成立即得解;(3)根据条件,分析t为奇数的情况,求出满足条件的t的值.(1)∵f(x)=﹣2x为减函数,∴f(x)<f(x﹣1),∴f(x)=﹣2x具有A性质;∵为增函数,∴g(x)>g(x﹣1),∴不具有A性质;(2)依题意,对任意a∈,f(x)≤f(x+a)恒成立,∴,应满足而为增函数,所以在应满足因为a∈,恒成立,且化简可得,即对于任意a∈,,都有恒成立,而在上是减函数,故只需即可,解得或(舍去)故当m≥时,函数满足对任意a∈,f(x)≤f(x+a)恒成立,综上,实数m的取值范围为.(3)∵D为整数集,具有A性质的函数均为常值函数,当时,恒成立,,由题意,,则,当,,当,,综上t为奇数,又,故所有符合条件的t的值为1,3,513.(2019·上海浦东新·统考二模)已知函数的定义域,值域为.(1)下列哪个函数满足值域为,且单调递增?(不必说明理由)①,②.(2)已知函数的值域,试求出满足条件的函数一个定义域;(3)若,且对任意的,有,证明:.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析【分析】(1)由正切函数与对数函数的性质可直接判断;(2)由,得,进而利用正弦函数的性质列式求解即可;(3)利用反证法,假设存在使得,结合条件推出矛盾即可证得.【详解】(1)满足.不满足.(2)因为,所以即,所以所以满足条件的(答案不唯一).(3)假设存在使得又有,所以,结合两式:,所以,故.由于知:.又.类似地,由于,得.所以,与矛盾,所以原命题成立.【点睛】本题主要考查了复合函数的性质及反证法的证明,属于难题.考法4:根据函数的单调性解不等式一、单选题1.(2021·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测)已知函数,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】由题意可得在R上为减函数,且,不等式等价于,则在上恒成立,可求实数的取值范围.【详解】函数,由二次函数的图像和性质可知,当时,为减函数,且;当时,为减函数,且,所以在R上为减函数,当时,;当时,,所以,不等式等价于,则在上恒成立,即在上恒成立,得,解得.故选:B2.(2022·上海虹口·统考二模)函数是定义域为的奇函数,且对于任意的,都有成立.如果,则实数的取值集合是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】依题意可得在定义域上单调递减,由,则等价于,根据函数的单调性即可得解;【详解】解:因为对于任意的,都有,当时,即,当时,即,即在定义域上单调递减,又是定义域为的奇函数,所以,所以,则,即,即,所以,即不等式的解集为;故选:C3.(2021·上海·统考二模)已知函数,则不等式的解集为(
).A. B.C. D.【答案】A【分析】设函数,判断其单调性与奇偶性;从而得出单调性与对称性,将所求不等式化为,根据函数单调性,即可求出结果.【详解】设函数,则函数是定义域为,根据指数函数与幂函数的单调性可得,是增函数,是减函数,是增函数,所以在上单调递增;又,所以是奇函数,其图象关于原点对称;又,即的图象可由向右平移一个单位,再向上平移两个单位后得到,所以是定义域为的增函数,且其图像关于点对称,即有,即.由得,即,即,所以,解得.故选:A.【点睛】关键点点睛:求解本题的关键在于根据函数的解析式,判断函数的单调性与对称性,进而即可求解不等式.二、填空题4.(2022·上海静安·统考模拟预测)函数是偶函数,当时,,则不等式的解集为______.【答案】或【分析】由函数的单调性与奇偶性求解.【详解】因为当时,单调递增,且,所以等价于.因为为偶函数,所以,解得或,即不等式的解集为或故答案为:或.5.(2021·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)已知函数,若m满足,则实数m的取值范围是____________【答案】【分析】先判断出的奇偶性,再结合单调性和题干条件,得到,求出实数m的取值范围.【详解】定义域为R,且,所以为偶函数,因为,所以,所以等价于,而,所以,又因为当时,且单调递增,且单调递增,所以在为单调增函数,故,解得:.故答案为:6.(2022·上海·统考模拟预测)设是定义在上的以2为周期的偶函数,在区间上严格递减,且满足,,则不等式组的解集为___________.【答案】【分析】首先根据函数的周期性和奇偶性得到区间上严格递增,又根据,,从而得到,再根据单调性求解即可.【详解】因为是偶函数,且在区间上严格递减,所以区间上严格递增,又因为的周期为,所以区间上严格递增.又因为,,所以,解得.故答案为:7.(2021·上海·统考二模)设函数(),若函数的零点为4,则使得成立的整数的个数为________【答案】【分析】先由函数零点求出;判断此时函数的单调性;将所求不等式化为;根据单调性,得到,进而可根据题中条件,求出结果.【详解】因为函数的零点为,所以,又,所以,所以,所以,因为在上单调递减,在上单调递增;所以在上单调递减,且;由得,所以,故,又,故,故整数的个数为.故答案为:.【点睛】思路点睛:根据函数单调性解不等式时,一般需要根据所给函数的解析式,先判断函数单调性,再将所求式子变形整理,利用函数单调性,即可求解.8.(2021·上海·统考一模)设,则不等式的解集为__________.【答案】【解析】根据初等函数的性质,得到函数为单调递减函数,且,把不等式转化为,即可求解.【详解】由题意,函数,根据初等函数的性质,可得函数为单调递减函数,且,则不等式等价于,即,解得,所以不等式的解集为.故答案为:.9.(2021·上海·统考二模)设,若,则实数的取值范围为________.【答案】【分析】首先判断函数的定义域和单调性,不等式等价于,利用函数性质解不等式.【详解】函数的定义域是,并且函数是单调递增函数,,解得:.故答案为.【点睛】本题考查根据函数的性质解抽象不等式,意在考查函数基本性质简单应用,解抽象不等式时,需注意函数的定义域.10.(2020·上海闵行·统考二模)已知是定义在R上的偶函数,当,且,总有,则不等式的解集为__________.【答案】【分析】根据题意可得出在上单调递减,且,从而根据原不等式即可得出,解出x的范围即可.【详解】解:∵,且时,,∴在上单调递减,∴在上单调递减,∴由得,∴,解得,∴原不等式的解集为.故答案为:.【点睛】本题考查了偶函数的定义,偶函数在对称区间上的函数的单调性的特点,减函数和增函数的定义,考查了计算能力,属于基础题.三、解答题11.(2022·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)已知定义域为的函数.当时,若(,)是增函数,则称是一个“函数”.(1)判断函数()是否为函数,并说明理由;(2)若定义域为的函数满足,解关于的不等式;(3)设是满足下列条件的定义域为的函数组成的集合:①对任意,都是函数;②,.若对一切和所有成立,求实数的最大值.【答案】(1)是,理由见解析(2)(3)【分析】(1)将代入解析式,根据整理表达式,判断是否为增函数即可;(2)由函数可知是上的增函数,有意义,需满足,显然时不等式不成立,设,转化不等式为,结合单调性即可判断;(3)由题可知是函数,也是函数,结合已知函数值及函数单调性,可得当,或当时,,再讨论当,结合可判断,即满足当时,对一切成立.另证明任意均不满足要求:任意,定义函数满足条件②,满足条件①时符合,即可证明.【详解】(1)是,理由:由题,(,)为增函数,故()是函数.(2)因为是函数,且,所以是上的增函数,因为有意义,所以,显然,时不等式不成立,下设,此时等价于,由的单调性得,,即所求不等式的解集为.(3)由题意,是函数,故是增函数,从而当时,,即;而是函数,故是增函数,从而当时,,即,当时,同理可得,且,故且,故.因此,当时,对一切成立.下证,任意均不满足要求,由条件②知,.另一方面,对任意,定义函数,容易验证条件②成立.对条件①,任取,有,注意到是增函数,而对,当时,;当时,,均单调不减.因为,所以条件①成立.从而.此时,,故,从而为所求最大值.【点睛】关键点点睛:灵活利用已知函数值构造函数,借助函数的单调性来处理不等式问题.考法5:比较函数值的大小一、单选题1.(2022·上海宝山·统考二模)关于函数和实数的下列结论中正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】C【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性,即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近,函数值越小,即自变量的绝对值小,函数值就小,反之也成立,从而一一判断即可;【详解】解:因为,所以函数是一个偶函数,又时,与是增函数,且函数值为正数,故函数在上是一个增函数由偶函数的性质得函数在上是一个减函数,此类函数的规律是自变量离原点越近,函数值越小,即自变量的绝对值小,函数值就小,反之也成立,考察四个选项,A选项,由,无法判断,离原点的远近,故A错误;B选项,,则的绝对值大,故其函数值也大,故B不对;C选项是正确的,由,一定得出;D选项由,可得出,但不能得出,不成立,故选:C.2.(2021·上海·统考二模)已知以下三个陈述句:存在且,对任意的,均有恒成立;函数是减函数,且对任意的,都有;函数是增函数,存在,使得;用这三个陈述句组成两个命题,命题“若,则”;命题“若,则”.关于、,以下说法正确的是(
)A.只有命题是真命题 B.只有命题是真命题C.两个命题、都是真命题 D.两个命题、都不是真命题【答案】C【分析】取,结合函数的单调性可判断命题的真假,取,结合函数的单调性可判断命题的真假.【详解】对于命题,若成立,则当时,,,因为函数是减函数,所以,,所以,命题为真命题;对于命题,若成立,则当时,,则当时,,,所以,,所以,命题为真命题故选:C.【点睛】思路点睛:解答比较函数值大小问题,常见的思路有两个:(1)判断各个数值所在的区间;(2)利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.3.(2023·上海·高三专题练习)已知偶函数的定义域为R,导函数为,若对任意,都有恒成立,则下列结论正确的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】令,结合条件可判断出在上单调递增,且函数为偶函数,进而可得.【详解】令,则,则A错误;令,则,当时,由,,则在上单调递增,又因为偶函数的定义域为R,∴为偶函数,在上单调递增,,,故B错误;,,故C正确;由题意,不妨假设(c为常数)符合题意,此时,故D错误.故选:C.4.(2022秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中)已知定义在上的奇函数满足,且当时,,则下列结论正确个数为(
)①的一个周期为2
②③
④图象关于直线对称A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【分析】由条件证明,由此判断①,④,根据已知条件结合奇函数的性质求,判断②,根据函数的单调性判断③,由此确定正确命题的个数.【详解】因为当时,,所以,因为,所以,所以,因为,所以2不是的周期,①错,因为,所以函数图象不关于直线对称,④错,因为,所以,即,因为函数的定义域为,且为奇函数,所以,所以,所以,②对,因为,所以,又,所以,因为在上的单调递增,又,所以,因为在上单调递增,又,所以,所以,因为当时,,函数在上单调递增,所以,又,所以,③错,所以正确的命题只有②,故选:A.5.(2022春·上海浦东新·高三校考阶段练习)设,若,则下列不等式不恒成立的是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据不等式的性质可判断A;根据指数函数的单调性判断B;根据幂函数的单调性判断C,可举特例说明D中不等式不恒成立,即可得答案.【详解】对于A,由于,根据不等式性质可知恒成立;对于B,由于函数是单调增函数,故若,则恒成立;对于C,由于函数是单调增函数,故若,则恒成立;对于D,不妨取,则,即时,不恒成立,故选:D6.(2022春·上海松江·高三上海市松江二中校考开学考试)定义在上的函数,若存在且,使得恒成立,则称具有“性质”.已知是上的增函数,且恒成立;是上的减函数,且存在,使得,则(
)A.和都具有“性质”B.不具有“性质”,具有“性质”C.具有“性质”,不具有“性质”D.和都不具有“性质”【答案】A【分析】根据具有“性质”函数的定义,令、结合、的单调性判断是否存在使成立即可.【详解】由是上的增函数,则当时有,又,所以,即存在使恒成立,故具有“性质”;对于,若,则,又是上的减函数,而,所以,即存在使恒成立,故具有“性质”;故选:A7.(2022秋·上海奉贤·高三统考期中)若是偶函数,其定义域为,且在上是减函数,则与的大小关系是(
)A.B.C.D.【答案】C【分析】根据奇偶性得,作差比较得,结合单调性得结果.【详解】∵是偶函数,∴,而,∴,∵函数在上是减函数,∴,故选:C.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,以及函数奇偶性的判断,属于基础题.8.(2022·上海·高三专题练习)已知,,设,,,则、、的大小关系是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据均值不等式得到,再利用函数为递减函数得到答案.【详解】在上单调递减.综上所述:故选【点睛】本题考查了函数的单调性,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.二、多选题9.(2022秋·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试)已知函数,若,则下列结论正确的是(
)A. B.C. D.当时,【答案】AD【分析】设,函数单调递增,可判断A;设,则不是恒大于零,可判断B;,不是恒小于零,可判断C;当时,,故,函数单调递增,故,即,由此可判断D.得选项.【详解】解:对于A选项,因为令,在上是增函数,所以当时,,所以,即.故A选项正确;对于B选项,因为令,所以,所以时,单调递增,时,单调递减.所以与无法比较大小.故B选项错误;对于C选项,令,所以时,在单调递减,时,在单调递增,所以当时,,故成立,当时,,.故C选项错误;对于D选项,由C选项知,当时,单调递增,又因为A正确,成立,所以,故D选项正确.故选:AD.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面:(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域;(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式;(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.三、解答题10.(2021·上海奉贤·上海市奉贤中学校考二模)已知函数,,各项均不相等的数列满足:,令.(1)试举例说明存在不少于项的数列,使得;(2)若数列的通项公式为,证明:对恒成立;(3)若数列是等差数列,证明:对恒成立.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【分析】(1)令,只需使得即可;(2)先证明,再证明,即可得证;(3)分,,进行讨论.【详解】解:(1)是奇函数,且在上单调递增,取,,则,∴可取,,,使得;(2)证明:由于,那么,∴,易知是一个奇函数,当时,,∴,∴在单调递增,又是一个奇函数,∴在上单调递增,∴,而,,∴,∴,即,,∴对恒成立;(3)证明:如,;若,则,则,∴,∴,同理可得,,累加可得,∴;若,则,则,∴,∴,同理可得,,累加可得,∴;综上所述,对恒成立.【点睛】本题考查了数列与函数结合的问题,思路的切入点比较难找,技巧性较高,计算量也是比较大的,考了数学运算素养,逻辑推理能力,分类讨论思想,属于难题.本题第二问解题的关键在于利用奇函数的性质,结合函数的单调性得,进而得到;第三问解题的关键在于结合等差数列的前项和与函数的单调性得分类讨论求解.11.(2022·上海·高三专题练习)已知函数.(1)若不等式;对任意恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)构造函数,利用导数单调性分类讨论即可作答;(2)利用对数与指数互化关系把等价化为指数形式,经计算并放缩即可证得右边,利用(1)a=2时的结论,经变形、整理得,再把代入计算,放缩即可得证.【详解】(1)令,,,令,当时,,且对称轴,所以当时,,在上单调递增,所以恒成立,当时,,可知必存在区间,使得,当时,有,即在上单调递减,由于,此时不合题意,综上,;(2)①先证,而,又,所以,即成立;②再证,由(1)知,取,则,于是当时,有,即成立,令,,下证,只需证上述最后不等式成立,于是成立,综合①②得成立.【点睛】关键点睛:涉及不等式恒成立,等价转化,构造函数,利用函数思想是解决问题的关键.考法6:根据函数的解析式直接判断函数的单调性一、单选题1.(2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习)下列函数中,既是偶函数,又是上的严格增函数的是().A. B.C. D.【答案】A【分析】根据幂指对函数的性质解决.【详解】根据奇偶函数的定义域关于原点对称,故D错;根据偶函数,则C错;最后根据上的严格增函数,故B错;故选:A.2.(2022秋·上海徐汇·高三位育中学校考期中)下列函数中,与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是(
).A. B.C. D.【答案】B【分析】利用幂函数、对数函数和三角函数的奇偶性和单调性可知,只有与函数的奇偶性和单调性都一致.【详解】根据幂函数性质可得,函数为奇函数,且在上单调递增;对于A,函数为偶函数,与的奇偶性不一致;对于B,由奇偶性定义可得函数为奇函数,且恒成立,即函数在上单调递增;所以奇偶性和单调性与都一致;对于C,由对数函数图象性质可知,函数为非奇非偶函数,与的奇偶性不一致;对于D,由正切函数图象可知,函数是奇函数,在上单调递增,但在整个定义域内并不是单调递增,即单调性与不一致;故选:B3.(2022秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中)下列函数中,既是偶函数,又是在区间上单调递减的函数为()A. B. C. D.【答案】A【详解】试题分析:由偶函数定义知,仅A,C为偶函数,C.在区间上单调递增函数,故选A.考点:本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质.点评:函数奇偶性判定问题,应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称.4.(2022·上海·高三专题练习)下列函数中既是奇函数,又在区间上单调递减的是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】根据函数的单调性和奇偶性,排除选项得到答案.【详解】A.,非奇非偶函数,排除;B.,函数为偶函数,排除;C.,函数为奇函数,且单调递减,正确;
D.,函数为奇函数,在和单调递减,排除.故选:【点睛】熟悉函数的单调性和奇偶性是解题关键.5.(2022·上海·高三专题练习)符合以下性质的函数称为“函数”:①定义域为,②是奇函数,③(常数),④在上单调递增,⑤对任意一个小于的正数,至少存在一个自变量,使.下列四个函数中,,,中“函数”的个数为(
)A.个 B.个 C.个 D.个【答案】C【分析】逐个判断函数是否符合新定义的个条件.【详解】(1)的定义域为,,的值域为,是奇函数,在上是增函数,由于,根据极限的定义,条件⑤满足,是函数,(2)的定义域为,,的值域是,,是奇函数,当时,,,在上是增函数.由于,根据极限的定义,条件⑤
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