平面向量复习的思考与反思

"平面向量”复习的思考与反思向量及其运算是高中教材的重点内容， 向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机，。向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的”双重身份”，引入后大大拓宽了解题的思路和方法，在研究其它问题时得到了广泛的应用， 成为了”在知识网络交汇处设计试题”的很好载体.对平面向量的考查有以下几点：（1）考查平面向量的性质和运算法则， 以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；（2）考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算； （3）和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力.在高考试题中，主要考查有关的基础知识， 突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念清楚、运算准确，不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用。考查平面向量的基本概念和运算律例1（2010浙江理数）（16）已知平面向量：•，（：=0,•「：）满足一：=1，且「与--：•的夹角为120°则ot的取值范围是 .解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中， 即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。例2.（2008宁夏、海南，8）平面向量a、b共线的充要条件是（ ）a.a,b方向相同b.a,b两向量中至少有一个为零向量C.-■儿-R,bv.a D. 存在不全为零的实数 \,■2, …..2b=0解析：根据向量共线的定理显然选（D）解析：根据向量共线的定理显然选（D）。评注：本题考查的知识点是平面向量共线的条件， 是"平面向量”单元中要求掌握的重点内容，也是最基本的内容。例3.（2010天津理数）（15）如图，在ABC中，AD_AB,BC=、/3bD,=1,则acLad二 .【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。AC*AD=|AC|•|AD|cos/DAC=|AC|*cosZDAC=|AC|sinZBAC二BCsinB评注：近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影， 且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。考查向量的坐标运算例4.(2006山东，5)设向量a二(1,-3),b=(-2,4),i=(-1,^2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-C)、d的有向线段首尾相接能够成四边形，则向量d为()A(2,6)B. (-2,6) C.(2,-6)D.(一2,一6)分析：本题考查平面向量的加法及向量的坐标运算。解：：4a(4b-2c) 2(^c)d=0TOC\o"1-5"\h\zt4 4 4.d=4c-4b-6』=4(-1,-2)-4(-2,4)-6(1,-3)=(-2,6)故选(B)。例5.(2008全国H,18)设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量■ab与向量c=(_4,-7)共线，则”= .分析：本题考查平面向量的基本定理及向量的坐标运算， 只要借助平面向量共线的条件并利用待定系数法即可得解。4 ・解：ab=(， 2,2， 3)4^-1■/■ab//c•••-4(2■ 3)=-7(■ 2)‘=2说明：此题是教材第131页复习题12的延改编题，该题为：已知 a=(1,0),b=(1,1),■为何值时， a■-b与a垂直.考查平面向量与函数的交汇例6 . (20XX年湖北省高考数学试题)已知向量—r f —fc--*a=(x2,x=(1_x,t),若函数f(x)=ab在区间(—1,1)上是增函数，求t的取值范围•分析：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、 利用导数研究函数的单调性， 以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力 •

解：依定义f(x)=x2(1-x)t(x1)=_x3x2tx-t,则f(x)=-3x22xt.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f(x)_0..f(x)_0：=t_3x-2x,在区间(-1,1)上恒成立,考虑函数g(x)=3x-2x,1由于g(x)的图象是对称轴为x ,开口向上的抛物线，3故要使t_3x2_2x在区间(—1,1)上恒成立ut_g(-1),即t_5.而当t寸,f(x)在(-1,1)上满足f(x)0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是t_5,即而运用代数方法一一高次评注：利用向量的数量积可以把问题转化为代数表达形式,求导法、二次判别式法、配方法、均值不等式法求解即而运用代数方法一一高次考查平面向量与不等式的交汇例7例7.(20XX年浙江省高考试题)已知向量a=e,e=1，对任意tr，恒有a.a_eb.a_(;~e)c. e_(,「1)d.〈a•1)_(a~e)解：对任意解：对任意teR，恒有a-tei>-1_0a—2ta®t2_a-2a[i-1,即：t2_2ta上2t：-1_0又上式对任意tR，恒成立,即有：厶_0恒成立.即=4(aLc)2-4(2aLc-1)=故当ak=1时，上式成立，本题应选 (C)考查平面向量与三角的交汇向量与三角的交汇就是当今高考命题的一个热点.它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的交汇、向量与解三角形的交汇、向量与三角函数的图象与性质的交汇等几个方面例8.(20XX年山东，15)已知a,b,c为ABC的三个内角代B,C的对边，向量-厂 彳 呀*m=(73,T),n=(cosA,sinA).若m丄n，且acosB+bcosA=ccosC，则角B= 解：•••m_n•••acosBbcosA二ccosC•.3cosA_sinA=0 •2sin( A)=0 •A=—3 3•sinAcosBsinBcosA=sinCsinC•••sin(AB)=sinCsinC又sin(AB)=sinC解：•••m_n•••acosBbcosA二ccosC•.3cosA_sinA=0 •2sin( A)=0 •A=—3 3•sinAcosBsinBcosA=sinCsinC•••sin(AB)=sinCsinC又sin(AB)=sinCn•.B=—6评注：本题是以向量的模为背景，结合三角函数化简求值等有关知识进行考查。•C二—26.平面向量与解析几何的交汇以解几为知识为载体，以向量为工具，以考查圆锥曲线性质和向量有关公式、 性质及应用为目标的平面向量与解析几何的交汇试题是近几年高考试题的一个热点例9.(2010江苏卷)在平面直角坐标系 xOy中，点A(—1,—2)、B(2,3)、C(—2,—1)。(1)求以线段ABAC为邻边的平行四边形两条对角线的长;⑵设实数t满足(AB-tOC)•OC=0,求t的值。［解析］本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。(1)(方法一)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1)，则ABAC=(2,6),AB-AC=(4,4).AbAc 」A^-ac炫故所求的两条对角线的长分别为 4.2、(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为 E,则：E为BC的中点，E(0,1)又E又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为 BC=4.2、AD=2.10;(2)由题设知：OC=(—2,—1),A^tOC=(32t,5t)。由(ABtOC)•OC=0,得：(32t,5t)(-2,-1)=0,11从而5^-11,所以。'25'2或者：ABOC=tOC「,A^(3,5), A^OC|OC|2 5

例10.（20XX年福建省高考试题）已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为（2,0）,右顶点为（、.3,0）（1）求双曲线C的方程；（2）若直线丨：y=kx•、、2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OAOB.2（其中O为原点）.求k的取值范围.分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题， 可以设法得到关于k的不等式，通过解不等式求出k的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将k表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出k的范围。2解：（I）略解：双曲线C的方程为—-y2-1.3(1_3k(1_3k2)x2_6、.2kx_9=0.(n)将y二kx• 2代入—-y2=1得3由直线丨与双曲线交于不同的两点得1—3k2式由直线丨与双曲线交于不同的两点得4=(6屁k)2+36(1—3k2)=36(1—k2)=0.2 1 2k-—且k ：：1.①3设A(XA，yA),B(XB，『b),则Xa-Xb6则Xa-Xb62k1-3k2,XaXb-91-3k2，由OAOB2得XaXbyA『B2,而XaXbYaYb二XaXb (g •2)(kXB '2)=(k21)XaXb 一2“Xa Xb)22=(k1)—92=(k1)—91-3k22k6-2k1-3k23k2 73k2-11—:::k:::3. ②31—:::k:::3. ②33k-1 3k-1故k的取值范围为故k的取值范围为（-—）（,1）.3 3由①、②得 —：：：k2 ：：：1.3本题通过平面向量的数量积与解析几何的交汇知识点， 形成一求解参数k的取值范围的综合题，它既考查了平面向量的概念和运算， 也考查了解析几何中的有关直线与圆锥曲线的相关问题。

7. 平面向量与平面几何的交汇平面向量与平面几何的交汇试题， 既考查平面向量的概念与运算， 也考查了平面几何知识，同时考查了向量知识在平面几何问题中的运用20XX年湖南省高考试题）P是厶ABC所在平面上一点，若PAPB=PB•PC二PCPA，贝UP是厶ABCPAPB=PBA.外心B.内心C.重心D.垂心解：由条件,P为P是厶ABC的垂心.例12.（A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由条件,P为P是厶ABC的垂心.例12.（20XX年江苏省高考试题）在厶ABC中，O为中线Oa_（oboc）的最小值是AM上的一个动点，若AW2,解：如图，设|OA|=x,则|OM|=2-x,(0_x_2)为BC的中点，.OBOC=2OM,.OA(OBOC)二OA’OM=2x(2—x)_cos180=2x2—4x=2(x—1)2-2(0乞x空2) 当x=1时,取最小值-2.8. 平面向量与导数的交汇向量、导数都是新课程新增内容， 它们都是重要的解题工具。同时又是新旧知识的一个重要的交汇点•例13.（20XX年江西理科试题）已知向量,b=(■迈sin(x-),tanQ-二)),2 4 2 4a=(2cos-,2令f(x)=ab.是否存在实数［0,订使f(x)f(x^0(其中f(x)是f(x)的导函数)?若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之x X 二 X 二 X 二、解：f(x)=ab=2、2cos—sin( )tan()tan()2 2 4 2 4 2 4x1tan—X/2.x 2 x、 2=22cos(sin cos)22 2 2 2 1-tan仝22 4x‘

tan121tan'2x x x=2sincos 2cos2 1=sinxcosx2 2 2令f(x)f(x)=0,即:f(x)f(x)=sinx-cosxcosx-sinx=2cosx=0TT TT可得x ,所以