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第二讲 等差和裂项求和【知识概述】」、等差数列求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：+2+3+4+・・・+99+100=?老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于 5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1+100=2+99=3+98=・・・=49+52=50+51。1〜100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为(1+100)x100十2=5050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：1,2,3,4,5,…，100;1,3,5,7,9,…，99;(3)8,15,22,29,36,…，71。其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列；(3)是首项为8,末项为71，公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：、列项求和实质：将一个分数裂项，分成几个分数的和与差的形式TOC\o"1-5"\h\z1 3-2 1 13 2一 2 33 4 1 1 = =—r一12 3 4 3 4目的：将一串分数中的每一个分数适当地裂项，出现一对一对可以抵消的数，从而简化计算减法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之差直接裂项加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和变形裂项：先变形再直接裂项【典型例题】例11+2+3+-+1999=?例23+7+11+…+99=?项数=（末项-首项）十公差+1,末项=首项+公差X（项数-1）。例3计算：111 1 1—-f-—H*- -f- -f- 6 12 20 30例4计算：,57 9 11 13 15 171-—■ — — — 6 12 20 30 42 56 72911例5.9111111111—+—十一+—+——+——+2 4 8 16 3264128例611111 + + + + 22-142-162-182-1102-1【我能行】1、17+19+21+…+39;2、5+8+11+14+…+50;3、111 + + +19961997 19971998 199819991++2001200212002’11114. -+—++……+—255881126291」丄.2』卫上卫12 20 30 42 56 726.36.33134 + + +… 14 47 710 28318、111118、111118 16 32 64 1281256125724127、 —+-23612152135【我试试】1、2+4+6+・・・+200;2、3+10+17+24+…+101。3.1133丄5— 7—9—111535 63

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