人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语培优课件

集合论是19世纪70—80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上．所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待．例如，在集合论中用N＝{n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此．需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念．所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待．例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，….集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受．实数理论奠定在集合论的基础上，各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，并且各种数学理论都可以“嵌入”集合论之内，因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展．现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念．关于集合的学习，其重点是集合的基本概念及集合的有关运算，难点是有关集合的各个概念的含义及这些概念的区别与联系；关于常用逻辑用语的学习，其重点是充要条件与全称量词命题与存在量词命题的理解，难点是以数学的其他知识为载体考查的充分条件、必要条件、充要条件的判断或寻求充要条件的成立性的问题．本章是同学们进入高中阶段数学学习的起始章，概念多、符号多、专用字母多、概念与概念间逻辑性强，与初中相比，抽象性、逻辑性要求较高，因此要在理解的基础上熟记数学符号、数学概念，注重初中知识的复习、注重数形结合思想与分类讨论思想的应用．1．1集合的概念第一课时集合的概念[学习目标]

1.通过实例了解集合与元素的含义．2.能利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系．3.识记常用数集的表示符号．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

什么叫做集合？问题2

集合中元素有哪些特征？问题3

元素与集合有几种关系？如何用符号表示元素与集合的关系？[预习自测]1．下列对象中可以构成集合的是(

)A．大苹果 B．好心的人C．高一(1)班的学生 D．著名数学家C2．由实数x，－x，|x|组成的集合最多含有(

)A．2个元素 B．3个元素C．4个元素 D．5个元素解析：当x>0时，元素有x，－x，共2个元素，当x＝0时，元素有0，只有1个元素，当x<0时，元素有x，－x，共2个元素．A3．集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P＝Q，则a＝__________．解析：由P＝Q，则a2＝4，∴a＝2或－2.2或－2①②③集合的概念1．一般地，我们把研究对象统称为

(element)，把一些元素组成的总体叫做

(set)(简称为集).2．集合中元素的特性：

、

、无序性．我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．元素集合确定性互异性[例1]

(多选)以下元素的全体能构成集合的是(

)A．中国古代四大发明B．漂亮的花C．方程x2＋2x＋1＝0的实数根D．地球上的小河道[解析]

B中元素不确定．D中元素不确定．AC判断一组对象能构成集合的条件1．能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．2．任何两个对象都是不同的．3．对元素出现的顺序没有要求．1.下列说法中正确的是(

)A．与定点A，B等距离的点不能构成集合B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C.一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形D．高中学生中的游泳能手能构成集合C集合相等集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是

的．相等[例2]设x是实数，集合A中含有－1，|x|两个元素，集合B中含有x，x2两个元素，且集合A与集合B相等，则x＝__________．分析：由题意，x＝－1且x2＝|x|，从而得解．[解析]

由两集合相等，可得集合B中一定含有－1这个元素，因为x2≥0，所以x＝－1，符合条件．－1判断两个集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．2.已知集合A中有2个元素为2，9，集合B中有2个元素为2，x2，集合A与集合B相等，则x的值为__________．解析：由已知，x2＝9，x＝－3或3.－3或3元素和集合之间的关系及常见数集1．元素和集合之间的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于a是集合A的元素___a属于集合A不属于a不是集合A的元素___a不属于集合A∈∉2.常用数集及其记法名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法________或________________NN*N＋ZQRA

0，1，2

1.关于元素与常用数集的关系，一定要搞清数集的含义．2．应记住常用数集及其记法：非负整数集(或自然数集)，记作N；正整数集，记作N*或N＋；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.1．知识清单：(1)元素与集合的概念，集合中元素的特征．(2)集合相等．(3)元素与集合的关系．(4)常用数集的记法．2．方法归纳：直接法、推理法．3．常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素．课时作业巩固提升第二课时集合的表示方法[学习目标]

1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法).

2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题

我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？[预习自测]1．集合{x|x2－2x－15＝0}用列举法表示为(

)A．{x|x＝－3，或x＝5}

B．{(－3，5)}C．{－3，5} D．{x2－2x－15＝0}解析：依题意得，方程x2－2x－15＝0的根为x＝－3或x＝5，所以用列举法表示为{－3，5}．C2．集合{1，3，5，7，9}用描述法表示为(

)A．{x|0<x<10}B．{x|1≤x≤10}C．{x|x≤9，x∈N}D．{x|x＝2n－1，n∈N，1≤n≤5}解析：集合{1，3，5，7，9}用描述法表示为{x|x＝2n－1，n∈N，1≤n≤5}．D3．用符号“∈”或“∉”填空．若A＝{x|x2＝x}，则－1__________A.若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8__________C.解析：∵x2＝x，则x＝0或1，则－1∉A；1≤8≤10，∴8∈C.∉∈4．一次函数y＝x－3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合为________________________________．{(3，0)}或{(x，y)|x＝3，且y＝0}列举法把集合的所有元素

出来，并用花括号“{

}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}．一一列举[例1]用列举法表示下列集合：(1)直线y＝2x＋2023与y轴的交点所组成的集合；(2)不大于8的正整数构成的集合；(3)15的正约数组成的集合．分析：准确理解给定集合中元素的特征，再用列举法表示集合．[解]

(1)将x＝0代入y＝2x＋2023，得y＝2023，即直线与y轴的交点是(0，2023)，故直线与y轴的交点组成的集合是{(0，2023)}．(2)不大于8的正整数有1，2，3，4，5，6，7，8，故所求集合为{1，2，3，4，5，6，7，8}．(3)15的正约数有1，3，5，15，故所求集合为{1，3，5，15}．

1.用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．2．二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．3．如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．

1.用列举法表示下列集合：(1)小于10的质数组成的集合A；解：(1)因为小于10的质数包括2，3，5，7，所以A＝{2，3，5，7}．(2)方程x2＋2x＋1＝0的解组成的集合B；解：(2)方程x2＋2x＋1＝0的两个根为x1＝x2＝－1，所以方程x2＋2x＋1＝0的解组成的集合B＝{－1}．(3)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解组成的集合C；解：(3)由(x－2)2＋(y＋3)2＝0得x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3，所以集合C＝{(2，－3)}．(4)直线y＝x＋2与直线y＝－2x＋5的交点组成的集合D.

描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有

的元素x所组成的集合表示为

，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}．共同特征P(x){x∈A|P(x)}[例2]用描述法表示下列集合．(1)比1大且比10小的实数组成的集合；(2)不等式3x＋4≥2x的所有解组成的集合；(3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；(4)正奇数集M.分析：(2)将一元一次不等式解出，(3)集合中元素为点，(4)中将正奇数用数学语言表示．[解]

(1)可以表示成{x|1＜x＜10，且x∈R}．(2)可以表示成{x|3x＋4≥2x}，即{x|x≥－4}．(3)第二象限点(x，y)满足x<0，y>0.所以集合为{(x，y)|x<0，且y>0}．(4)设x∈M，故全体奇数可用式子x＝2n＋1，n∈Z表示，但此题要求为正奇数，故n∈N，所以正奇数集M＝{x|x＝2n＋1，n∈N}．1.描述法的一般形式为{x∈A|P(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；P(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合中元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.2．写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}．3．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号，即{x|x＝2k，k∈Z}．4．不能出现未被说明的字母．2.用描述法表示下列集合．(1)平面直角坐标系中第二、四象限内的点组成的集合；解：(1)第二、四象限中，x，y符号相反，即xy<0，所以集合为{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}．(2)不等式2x＋3>7的解集；解：(2)解不等式2x＋3>7，得x>2，所以集合为{x|x>2}．(3)被3除余2的正整数组成的集合．解：(3)集合为{y|y＝3n＋2，n∈N}．集合表示方法的选择集合的常用表示方法有

、

．列举法描述法[例3]用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于5的有理数组成的集合．(2)24的正因数组成的集合．(3)自然数的平方组成的集合．(4)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．(5)由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．分析：(1)(3)用描述法表示集合比较适当；(2)(5)用列举法表示集合比较适当；(4)可以用列举法或描述法表示．[解]

(1)用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}．(2)用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．(3)用描述法表示为{x|x＝n2，n∈N}．(4)用描述法表示该集合为{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}．(5)用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．集合的表示方法的选取原则要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．(2)方法x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；解：(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根为x1＝x2＝1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}．(3)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合；解：(3)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合．解：(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，

代表元素应为(x，y)，故可用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．集合表示方法的综合应用[例4]集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．分析：关于方程与集合的关系：用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根．[解]

①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，即A＝{2}，满足题意；②当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}．

1.若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．2．当方程中有参数时，注意分类讨论．4.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．若集合A中至少有一个元素，求实数a的值组成的集合．1．知识清单：(1)集合的两种表示方法：列举法和描述法．(2)列举法和描述法的应用．2．方法归纳：具体与抽象的转化．3．常见误区：(1)搞不清元素特征．(2)忽略数集和点集的区别．课时作业巩固提升1．2集合间的基本关系[学习目标]

1.通过类比，理解两个集合的包含关系．2.利用Venn图来帮助理解集合的包含关系．3.理解空集与子集、真子集之间的关系．4.能通过相关计算明确集合之间的包含或相等关系．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

子集与真子集的区别是什么？什么是Venn图？如何判断集合A是否为集合B的真子集？问题2

∅是一个特殊集合，∅是任何集合的子集吗？问题3

集合A与集合B相等是如何定义的？如何判断？问题4

若集合A有n个元素，那么A的子集有多少个？

B解析：正方形是特殊的菱形，同时菱形又是特殊的平行四边形．B3．已知集合P含有两个元素1，2，集合Q含有两个元素1，a2，且P＝Q，则a＝__________．4．集合{a，b，c}的所有子集个数为__________．解析：该集合的所有子集可分成四类，即①空集：∅；②一元子集：{a}，{b}，{c}；③二元子集：{a，b}，{a，c}，{b，c}；④三元子集：{a，b，c}．故共有8个．8子集与Venn图1．子集概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的_____记法与读法记作_____(或_____)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)子集A⊆BB⊇A图示或

结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即______．(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则______A⊆AA⊆C2.Venn图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的

代表集合，这种图称为Venn图．内部[例1]指出下列各组集合之间的关系．(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{2，3，6}，B＝{x|x是12的约数}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}．分析：搞清集合A与集合B中元素的特征性质，利用子集概念判断．[解]

(1)A的元素是数，B的元素是有序实数对．无包含关系．(2)A的元素2，3，6都是12的约数，故它们都属于集合B，即A⊆B.(3)等边三角形三边相等，等腰三角形只需两边相等．即A⊆B.1.集合A是集合B的子集的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0，1}⊆{－1，0，1}，则0∈{0，1}，0∈{－1，0，1}．2．如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不是集合B的子集．3．注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N，而不能写成{0}∈N.“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N，而不能写成0⊆N.1.下列表述不正确的是(

)A．{1}⊆{1，2}

B．{0}⊆{1，2}C．{1，2}⊇{2} D．{1，2}⊆{2，1}解析：由子集的概念知A，C，D表述正确．因为0∉{1，2}，所以集合{0}不是集合{1，2}的子集．B集合相等1．集合A与集合B______，就是集合A与集合B中的元素完全相同．2．“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B且B⊆A，则______”．3．若______，则有A⊆B且B⊆A.相等A＝BA＝B[例2]下列等式成立的是(

)A．{1，2，3}＝{2，1，3}B．{(1，2)}＝{2，1}C．{(1，2)}＝{(2，1)}D．{(x，y)|x＋y＝1}＝{y|x＋y＝1}分析：集合相等需注意首先元素特征相同，然后元素相等．A[解析]

选项A，{1，2，3}＝{2，1，3}，正确；选项B，元素不相同，错误；选项C，元素不相同，错误；选项D，元素不相同，错误．当两个集合中的元素个数较少时，判断两个集合相等，利用上一节所学的集合相等的定义判断更为简便，即判断两个集合中的元素是否完全相同，若是，则两个集合相等．2.下列四个集合中，不同于另外三个的是(

)A．{y|y＝2}

B．{x＝2}C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}解析：对于选项A，C，D中的集合，元素都是实数2，而选项B中的集合的元素是等式x＝2，因此选项B不同于另外三个．B真子集与空集1．真子集真子集2.空集定义把不含任何元素的集合叫做______记法∅规定空集是任何集合的子集，即______特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，______；(2)若A≠∅，则______空集∅⊆A∅⊆∅①②④

3.下列四个集合中，是空集的是(

)A．{0}

B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}解析：不存在同时满足大于8且小于5的实数，故选项B是空集．B有限集合的子集个数已知集合A中有n个元素，则(1)该集合的子集有____个；(2)该集合的真子集有________个；(3)该集合的非空子集有________个；(4)该集合的非空真子集有________个．2n(2n－1)(2n－1)(2n－2)BB[解析]

(1)法一：集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素为∅，含有1个元素有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集．法二：由题意知集合M中元素的个数为3，则其真子集个数为23－1＝7.(2)集合{1，2，3}是集合A的真子集，同时集合A又是集合{1，2，3，4，5}的子集，所以集合A只能取集合{1，2，3，4}，{1，2，3，5}和{1，2，3，4，5}．在子集问题中，易忽视空集的特殊性质而出错．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．4.已知集合A＝{x|0≤x<4，且x∈N}，则A的真子集的个数是(

)A．16 B．15C．7 D．8解析：∵A＝{0，1，2，3}，∴集合A的真子集的个数为24－1＝15.B集合的图示法解决集合相关问题时，可利用

、

和平面直角坐标系等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系适合画出

．Venn图数轴数轴[例5]下列能正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}的关系的Venn图是(

)分析：将集合N进行化简，再利用Venn图解决问题．B[例6]已知集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}．若B⊆A，求实数a的取值范围．分析：根据集合B是否为空集进行分类讨论；然后把两集合在数轴上标出，根据子集关系确定端点值之间的大小关系，进而列出参数a所满足的条件．5.若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．1．知识清单：(1)子集、真子集的概念．(2)空集的概念．(3)相等集合的概念．(4)用Venn图表示集合．2．方法归纳：列举法、图示法．3．常见误区：(1)忽略空集或忽略参数讨论．(2)混淆子集和真子集概念．课时作业巩固提升第二课时全集与补集[学习目标]

1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．2.能使用Venn图表达集合的补集运算，体会图形对理解抽象概念的作用．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题已知方程(x－2)(x2－3)＝0，则：问题1

在有理数范围内解集是什么？问题2

在实数范围内解集是什么？问题3

有理数范围内的解集和实数范围内的解集存在什么关系？

[预习自测]1．设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}，则∁AB＝(

)A．{4，8}

B．{0，2，6}C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}解析：由补集的概念，得∁AB＝{0，2，6，10}．C2．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA＝(

)A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}解析：∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁UA＝{x|0<x≤2}．C3．设全集U＝{x|x是四边形}，A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是矩形}，则∁U(A∩B)＝_______________________________．解析：∵A∩B＝{x|x是菱形，且x是矩形}＝{x|x是正方形}，∴∁U(A∩B)＝{x|x是四边形，且x不是正方形}．{x|x是四边形，且x不是正方形}4．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，则∁U(A∪B)＝______________________．解析：因为U＝{x|x≤4}，A∪B＝{x|－3≤x<3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．{x|x<－3，或3≤x≤4}全集与补集的概念1．全集的概念一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的

元素，那么就称这个集合为

，通常记作

．所有全集U2．补集的概念(1)自然语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为

，记作

．(2)符号语言∁UA＝

．集合A的补集∁UA{x|x∈U，且x∉A}(3)图形语言可用Venn图表示．[例1]

(1)已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁UM⊇N，则必有(

)A．M⊆∁UN

B．M⊇∁UNC．∁UM＝∁UN D．M⊆N(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA__________________．(3)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________________．A

{x|x<－3，或x＝5}{2，3，5，7}分析：(1)借助Venn图求解．(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．(3)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解．求集合补集的两种方法1．如果所给集合是有限集，可先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，也可借助Venn图来求解，这样相对来说比较直观、形象、且解答时不易出错．2．如果所给集合是不等式的解集，那么在解答有关集合补集的问题时，常借助数轴．1.已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB).解：因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，所以∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}，即A∩B＝{x|－2<x≤2}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}．补集的性质补集的性质及说明性质说明______________集合A与A的补集的并集是全集______________集合A与A的补集的交集是空集______________集合的补集的补集是集合本身___________________全集的补集是空集，空集的补集是全集A∪(∁UA)＝UA∩(∁UA)＝∅∁U(∁UA)＝A∁UU＝∅，∁U∅＝U[例2]已知集合A＝{y|y>a2＋1，或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．分析：由于集合A包含两个不等式，若直接利用交集不为空集求解，则所分情况较多，因此考虑从交集为空集的角度入手．[解]

因为A＝{y|y>a2＋1，或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时a的取值范围，在数轴上表示集合A，B，如图所示．当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：1.否定已知条件，考虑反面问题.2.求解反面问题对应的参数范围.3.取反面问题对应的参数范围的补集．

2.已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，求实数a的取值集合．解：若B∪A＝A，则B⊆A.∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2，4}，∴集合B有以下三种情况：①当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－12)<0，即a2>16，∴a<－4或a>4；德·摩根定律(反演律)设集合U为全集，A，B为U的子集，则有(1)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(

)，简记为“交之补等于补之并”；(2)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(

)，简记为“并之补等于补之交”．∁UB∁UB定律(1)利用Venn图表示为如图①所示的阴影部分．定律(2)利用Venn图表示为如图②所示的阴影部分．[例3]已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<5}，求(∁RA)∩(∁RB)，∁R(A∪B)，(∁RA)∪(∁RB)，∁R(A∩B).分析：利用补集定义，借助数轴运算即可；也可以利用德·摩根定律．[解]

∵∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，∁RB＝{x|x≤2，或x≥5}，A∪B＝{x|2<x<7}，A∩B＝{x|3≤x<5}，∴(∁RA)∩(∁RB)＝{x|x≤2，或x≥7}，∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥7}，(∁RA)∪(∁RB)＝{x|x<3，或x≥5}，∁R(A∩B)＝{x|x<3，或x≥5}．也可以：计算A∪B＝{x|2<x<7}，A∩B＝{x|3≤x<5}，再求出∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥7}，∴(∁RA)∩(∁RB)＝∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥7}，求出∁R(A∩B)＝{x|x<3，或x≥5}，∴(∁RA)∪(∁RB)＝∁R(A∩B)＝{x|x<3，或x≥5}．利用定律(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)可以简化计算．3.若集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|x≤3}，则集合{x|x≤－3，或x≥1}＝(

)A．M∩NB．M∪NC．∁RM∪∁RN

D．∁RM∩∁RNC解析：因为集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|x≤3}，所以M∩N＝{x|－3<x<1}，M∪N＝{x|x≤3}，所以∁RM∪∁RN＝∁R(M∩N)＝{x|x≤－3，或x≥1}，∁RM∩∁RN＝∁R(M∪N)＝{x|x>3}．集合中元素的个数我们把含有限个元素的集合A叫做

，用card(A)来表示有限集合A中元素的

．例如：A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.结论：一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－

．有限集个数card(A∩B)[例4]某班学生参加数学课外小组的人数是参加物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外小组的有5人，至少参加一个课外小组的有25人，则参加数学课外小组有__________人，参加物理课外小组的有__________人．分析：将生活问题转化为集合问题，利用Venn图解决．20

10[解析]

如图，设参加物理课外小组的人数为x，则参加数学课外小组的人数为2x.由card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)及题意，得25＝2x＋x－5，解得x＝10，所以参加数学课外小组的有20人，参加物理课外小组的有10人．1.解决有关集合的实际应用题时，要学会将文字语言转化为集合语言．涉及有交叉有限集的元素个数问题时，用Venn图法处理较为方便．2．card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C).4.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．8解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共有36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．1．知识清单：(1)全集与补集的概念．(2)补集的性质及Venn图表示．(3)德·摩根定律．(4)集合中元素个数的求法．2．方法归纳：数轴分析法、Venn图图示法．3．常见误区：对补集和全集概念理解不透彻，以致实际问题转化为集合问题有障碍．课时作业巩固提升1．3集合的基本运算第一课时并集与交集[学习目标]

1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

并集与交集的概念是什么？问题2

如何用符号语言与图形语言表示？问题3

并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？问题4

集合运算中的“且”与生活用语中的“且”相同吗？[预习自测]1．若集合A＝{0，1，2，3}，B＝{1，2，4}，则集合A∪B＝(

)A．{0，1，2，3，4}

B．{1，2，3，4}C．{1，2} D．{0}解析：由并集定义取两集合中所有元素，结合互异性，得A∪B＝{0，1，2，3，4}．A2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B＝(

)A．{x|x<1} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1≤x<1}D3．设A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝_______________________，A∪B＝____________________________．解析：A∩B＝{x|x既是等腰三角形，又是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}；A∪B＝{x|x是等腰三角形或直角三角形}．{x|x是等腰直角三角形}

{x|x是等腰三角形或直角三角形}4．设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∪B＝______________，A∩B＝__________．解析：A＝{x|(x－5)(x＋1)＝0}＝{5，－1}，B＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，∴A∪B＝{－1，1，5}，A∩B＝{－1}．{－1，1，5}

{－1}并集的概念与性质1．自然语言：由所有属于集合A

属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的

．记作

(读作“

”).2．符号语言：A∪B＝

．或并集A∪BA并B{x|x∈A，或x∈B}3．图形语言：如图所示．4．运算性质：A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立．[例1]

(1)设集合A＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{－1，0，1，2，3}，求A∪B；(2)设集合A＝{x|－3<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，求A∪B.分析：第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求解．求集合并集的两种方法1．定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解或用Venn图表示出集合运算的结果．2．数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到．

1.已知集合A＝{x|x－2>3}，B＝{x|2x－3>3x－a}．求A∪B.解：A＝{x|x>5}，B＝{x|x<a－3}．①当a－3≤5，即a≤8时，A∪B＝{x|x<a－3，或x>5}．②当a－3>5，即a>8时，借助数轴(图略)，A∪B＝R.交集的概念与性质1．自然语言：由所有属于集合A

属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的

，记作

(读作“

”).2．符号语言：A∩B＝

．且交集A∩BA交B{x|x∈A，且x∈B}3．图形语言：如图所示．4．运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅.如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立．[例2]

(1)已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝(

)A．x＝3，y＝－1

B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}[解]

(1)由已知得M∩N＝{(x，y)|x＋y＝2，且x－y＝4}＝{(3，－1)}．D

(2)已知集合M＝{x|－2≤x＜2}和N＝{y|y＝2k－1，k∈Z}的关系Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有(

)A．3个 B．2个C．1个 D．0个[解]

(2)由题意得，阴影部分所示的集合为M∩N，由N＝{y|y＝2k－1，k∈Z}知N表示奇数集合，又由M＝{x|－2≤x＜2}得，在－2≤x＜2内的奇数为－1，1.所以M∩N＝{－1，1}，共有2个元素．B求集合交集时，首先确定元素特征性质，再求出集合的公共元素即可．2.设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x∈N|－2<x<2}，则A∩B＝__________．解析：由题意知B＝{x∈N|－2<x<2}＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}．{0，1}3．集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∩B＝A，求a的取值范围．集合中的新定义问题集合中的新定义问题是由集合间的运算得到的新集合．新集合中的元素一定要满足集合中元素的

，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件．互异性[例3]设M，P为两个非空集合，称集合M－P为集合M与P的差集，现定义如下：M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M－(M－P)＝(

)A．P

B．M∩PC．M D．M∪P分析：利用Venn图表示即可．B1.利用新定义将问题转化为集合的交集、并集问题．2．利用集合的交集、并集运算时的注意事项：(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的交集、并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交集、并集运算时，可借助数轴求解，但要注意端点值的取舍．C1．知识清单：(1)并集的概念及运算．(2)交集的概念及运算．(3)集合中的新定义问题．2．方法归纳：观察法、图示法、分类讨论．3．常见误区：在根据运算求参时，容易遗忘空集这一重要的情况．课时作业巩固提升1．4充分条件与必要条件1．4.1充分条件与必要条件[学习目标]

1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

什么叫真命题？什么叫做假命题？问题2

充分条件、必要条件是如何定义的？问题3

已知集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若p为q的充分条件，则集合A与B有什么关系？若p为q的必要条件，则集合A与B有什么关系？[预习自测]1．x＝1是x2＝1的(

)A．充分条件 B．必要条件C．不充分条件 D．无法判断解析：由x＝1，可知x2＝1，由x2＝1，可知x＝－1或1.A2．若M＝{x|x>－1}，P＝{x|x>0}，则x∈P是x∈M的(

)A．充分条件 B．不充分条件C．必要条件 D．无法判断A3．“x＝3”是“x2＝9”的__________条件(填“充分”或“必要”).解析：由x＝3可知x2＝32＝9；反之由x2＝9可知x＝±3.4．“ab>0”是“a>0，b>0”的__________条件(填“充分”或“必要”).解析：若“ab>0”可知“a>0，b>0”或者“a<0，b<0”．充分必要充分条件与必要条件概念1．命题一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断____________叫做命题．判断为真的语句是_______，判断为假的语句是_______．真假的陈述句真命题假命题2．在“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的______，q称为命题的______．3．“若p，则q”为真命题，记作______，并且说，p是q的__________，q是p的__________．4．一般来说，对给定的结论q，使得q成立的条件p是__________；给定条件p，由p可以推出的结论q是__________．条件结论p⇒q充分条件必要条件不唯一的不唯一的[例1]

(1)下列说法中是真命题的是________(填序号).①已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；②若x∈N，则x3＞x2成立；③若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；④存在一个三角形没有外接圆．③(2)下列说法中正确的有__________(填序号).①x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件；②x>1是x>2的充分条件；③x＋y>2是x>1，y>1的必要条件．①③分析：(1)要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断．而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．(2)看代数式之间推出关系，可通过x所属范围大小来判断，通过数轴或列举的方法可直接得出．[解析]

(1)①假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.②假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．③真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．④假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．(2)①正确，因为x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0；②错误，因为x>1不能推出x>2；③正确，因为x>1，y>1⇒x＋y>2.

要判断充分条件、必要条件，首先要搞清条件与结论，以及条件与结论的推出关系．1.(1)(多选)下列命题是真命题的是(

)A．若xy＝1，则x，y互为倒数B．平面内，四条边相等的四边形是正方形C．平行四边形是梯形D．若ac2＞bc2，则a＞b解析：(1)A、D是真命题，B.平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，C.平行四边形不是梯形．AD

(2)对任意实数a，b，c，下列说法中，正确的是(

)A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件解析：(2)A错误，因为当c≤0时，a>b不能推出ac>bc；B正确，根据等式的性质有“a＝b⇒ac＝bc”；C错误，因为当c<0时，ac>bc不能推出a>b；D错误，因为当c＝0时，ac＝bc不能推出a＝b.B充分条件的判断(定义法、集合法)1．对充分条件的理解__________是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论；或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了．例如，x＝－5⇒x2＝25成立．并且当命题不具备此条件时，结论也有可能成立，例如，x＝5⇒x2＝25也成立，所以“x＝5”是“x2＝25”的__________．2．设非空集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．若A⊆B，则p为q的__________．充分条件充分条件充分条件A

判断p为q的充分条件的方法1．通过若p，则q为真命题，判断p为q的充分条件．2．p对应集合为A，q对应集合为B，若A⊆B，则p为q的充分条件．3．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件不能推出结论，但是这种方法不适用于证明题．

2.已知p：－1<x<3，q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围为(

)A．{a|a>3} B．{a