黑龙江省哈尔滨市国联中学高三数学文期末试题含解析

黑龙江省哈尔滨市国联中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列的前n项和为，又知，且，，则为（

）A．33 B．46

C．48

D．50参考答案：【知识点】等差数列的性质；定积分的简单应用．L4

【答案解析】C

解析：=（xlnx﹣x）=e﹣e﹣（﹣1）=1∵等差数列中，S10，S20﹣S10，S30﹣S20为等差数列，即1，17﹣1，S30﹣17为等差数列，∴32=1+S30﹣17，∴S30=48，故选C。【思路点拨】先利用微积分基本定理求定积分的值，得S10=1，再利用等差数列的性质，即S10，S20﹣S10，S30﹣S20为等差数列，即可列方程得所求值.2.（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题．【分析】：根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．【点评】：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．3.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是斜边的直角三角形，，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A.16π B. C. D.参考答案：D【分析】根据直角三角形可确定中点为的外接圆圆心；利用面面垂直性质定理可得平面，由球的性质可知外接球球心必在上；在中利用勾股定理构造关于球的半径的方程，解方程求得半径，代入球的表面积公式可求得结果.【详解】取中点，连接，，如下图所示：是斜边为的直角三角形

为的外接圆圆心

又平面平面，平面平面

平面由球的性质可知，外接球球心必在上由题意可知：，

设外接球半径为在中，，解得：外接球表面积：本题正确选项：D4.若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（

）A．甲同学：均值为2，中位数为2

B．乙同学：均值为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2

D．丁同学：众数为2，方差大于1参考答案：D5.设集合，，现有下面四个命题：p1：，；p2：若，则；p3：若，则；p4：若，则．其中所有的真命题为（）A.p1，p4 B.p1，p3，p4C.p2，p3 D.p1，p2，p4参考答案：B由题设可得，，则当时，有，所以命题正确；若时，，则，所以命题错误；若，则，所以命题正确；若时，成立.故正确答案为B.点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根，当时，则有“大于号取两边，即，小于号取中间，即”.6.已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x取值范围是

(

)A．（，）

B．（，）

C．（，）

D．参考答案：A7.＝(

)(A)2

(B)4

(C)

(D)0参考答案：答案：C8.已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（

）A.

-12

B.

-6

C.

6

D.

12参考答案：D因为，即，所以，即，选D.9.已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（

）A．15

B．10

C．9

D．8参考答案：B10.现有90kg货物需要装成5箱，要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物重量的2倍．若某箱所装货物的重量为xkg，则x的取值范围是

A．10≤x≤18

B．10≤x≤30

C．18≤x≤30

D．15≤x≤30参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（文）如果函数的两个相邻零点之间的距离为，则的值为

参考答案：1212.核算某项税率，需用公式K=（1﹣7x）n（n∈N*）．现已知K的展开式中各项的二项式系数之和是64，用四舍五入的方法计算当x=时K的值．若精确到0.001，其千分位上的数字应是

．参考答案：4【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式系数和公式2n，列出方程求出n，利用二项式定理将二项式展开求出近似值．【解答】解：由2n=64，得n=6．于是y≈C60+C61?+C62=1﹣0.18+0.0135≈0.834．故答案为：4【点评】本题考查二项式系数和公式是2n；利用二项式定理的展开式求二项式的近似值．13.记集合A={(x,y)︱x2+y2≤16}，集合B={(x,y)︱x+y-4≤0,(x,y)∈A}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2．若在区域Ω1内任取一点P(x,y)，则点落在区域Ω2中的概率为____．参考答案：如图，集合A表示的点集是圆内部（含边界），集合表示的点集是直线下方的弓形区域，，，因此所求概率为．14.若无穷数列{an}满足：，当，时．（其中表示，，…，中的最大项），有以下结论：①若数列{an}是常数列，则；②若数列{an}是公差的等差数列，则；③若数列{an}是公比为q的等比数列，则；④若存在正整数T，对任意，都有，则是数列{an}的最大项．则其中正确的结论是_____（写出所有正确结论的序号）参考答案：①②③④【分析】①令n=2，＝，若数列是常数列，则，所以，即得；②若数列是等差数列，则＝max{，，…，}=|d|，有最大值，只能递减；③若数列是等比数列，令n=2，＝，所以或（舍）；④，为周期数列，可先假设最大，由易证得，所以最大.【详解】解：①若数列是常数列，则＝max{，，…，}=0，所以（），①正确；②若数列是公差d≠0的等差数列，则＝max{，，…，}=|d|，所以有最大值，因此不可能递增且d≠0，所以d＜0，②正确；③若数列是公比为q的等比数列，则，且＝＝，所以，所以或，又因为，所以,所以q＞1，③正确；④若存在正整数T，对任意，都有，假设在中最大，则中都是最大，则＝，且，即＝，所以，所以是数列的最大项，④正确.故答案为：①②③④.【点睛】本题考查了数列的综合问题，涉及到常数数列、等差数列、等比数列、周期数列，对知识熟练度和推理分析能力要求较高，属于难题.15.不等式的解集是参考答案：（1，2）16.直线与抛物线相交于不同两点，若是中点，则直线的斜率

.参考答案：17.若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是 ．参考答案：﹣考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：求出表达式的平方的值，根据角的范围确定表达式的符号，求出值即可．解答： 解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ﹣sinθ=，故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围三角函数的符号的确定，是本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数：(1)证明:；(2)若存在，使得成立，求m的取值范围。参考答案：19.（本小题满分12分）一个口袋中装有大小形状完全相同的个乒乓球，其中1个乒乓球上标有数字1，2个乒乓球上标有数字2，其余个乒乓球上均标有数字3（），若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是.（1）求的值；（2）从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之积，求的分布列和数学期望．参考答案：(1)由题设，即，解得………4分(2)取值为2，3,4,6,9.

的分布列为：

23469=

………12分20.已知函数y＝sinx＋cosx，x∈R.（1）求函数y的最大值，以及当函数y取得最大值时，自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?参考答案：解：（1）y＝sinx＋cosx＝2（sinxcos＋cosxsin）＝2sin（x＋），x∈R，y最大值=2y取得最大值必须且只需x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z.所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝（2）变换的步骤是：①把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图象；②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝2sin（x＋）的图象；经过这样的变换就得到函数y＝sinx＋cosx的图象.略21.椭圆的离心率为，椭圆与直线相交于点P、Q，且.求椭圆的方程.参考答案：22.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；⑵假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后