二面角专题习题

学习文档仅供参考学习文档仅供参考求二面角专题I、如图，-平山EAD」甲出ABCDrADE;是等过三角形，ABCD是矩形,F,G&别是AEAD的中点,ECS平面.AHCD成用好角＞(I)求正」EGI平面ABCD；⑵若AD=2,求二一血角E-FC-G的生数.2.如图，在校长为a的正方体OABCOAEC中，JF分别是棱AE、BC上的动点？旦A&BR⑴求证:AFCE⑵当三极锥中-REF的体积展得最大值时,求二面角B--EF-B的大小(结果用反三仙函数表示).3、如图，已知平行六面体ABCD-ABC]D1的底血ABCD是菱形一旦Z（：lCE=ZClCD^/BCD=60^⑴证明;C|C_BD；g=-⑵假定CD=2， 2，记面GBD为a,面CBD为b,求8i角a-BD-b的-平面角的余弦值；CDa）：“CC]的值为多少对，能使％CLPinjGBD?如凰拉CD-ARCD捉长方体，侧棱A4长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱用中马求血3DE与面CDE所成二面角的正切位.A1C

A1C尔图：已知四棱锥P—ABCD的戊面为巨角梯形,AD//BC,ZBCD=9()TPA=PB,PC=PD.1)・征叨平面PAB_L¥面ABCD;2)如果CD=AD+BC,二面角P—BC—A等十60’，求一，面角P—CD—A的1,过正方形ABCD的顶点A作尸4人平面A8CD.设PA二AB二日，求二面角8-PC-。的大小。.如图所示，四棱锥F-A4CD的底面ABC。是边长为1的菱形，NBCO=60‘，E是8的中点，PAL底面ABCD,PA=4i.(I)证明:平面FNE_L平面PABi(11)求二面角从一3£一尸的大小.如图，在底面为直角梯形的四棱锥八工38中泊£)〃叱ZABC=yO0,PA_L平而AECOPA=3,AD=2rAB=lJi再c=6.(I)求证：8口L平面产AC；(II)求二面角P-BD-A的大小.

4:如图，在四棱锥尸-MOQ中，P4_L底面从RCDABLAD.ACLCD,ZABC-60°PA=AB=BCtE是尸C的中点.（I）求FB和平面逐日所成的角的大小；（II）证明同包平面吒巴cm）求二面角%-F。=匚的大小.与.初图，在四横领户一中，底面与是矩形.已知AE="An=2,产q=2,PL>=2V2,上户a状—6cr_CI）证明八^-L平面「八片：CIT）求:冲面耳线产U与AD所成的角的人小。略过MCIU）求二面角片一"D-A的正切俏一

如何用空间向量求解二面角求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等假设干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题.对于空间向量a、b，有cos<a,石>=♦,力.利用这一结论，我们可以।a।.⑻较方便地处理立体几何中二面角的问题.例1在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面丫人口是正三角形，平面VAD，底面ABCD.求面丫人口与面丫口8所成的二面角的大小.证明：建立如图空间直角坐标系，并设正方形边得AS=(0,1,0),是面丫人口的法向量，得AS=(0,1,0),是面丫人口的法向量，设a=(1,y,2)是面丫口8的法向量，则3n・班=0,nn3n・班=0,nn•Va=0.%：3nn=(1，-1，z———3..COS<AA，n〉An=-21,,7IABI-InI学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考学习文档仅供参考又由题意知，面丫人口与面VDB所成的二面角为锐角，所以其大小为arccos<21arccos<21例2如图，直三棱柱ABC—A例2如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，NACB=90。,AC=1,CB=j2，侧棱人人=1，侧面人人4劣的两条对角线交点为D，B1c1的中点为M.⑴求证CD，平面BDM；⑵求面BBD与面CBD所成二面角的大小.1解：⑴略⑵如图，以C为原点建立坐标系.设BD中点为G,连结B1G,则依吟，依吟，4，4），BD=（一弓，2，2），叩=（—5叩=（—5，—3，4），二・BD•BG=0,ABD±BG.又CD，BD,・・・CD与bG的夹角6等于所1求二面角的平面角.,八CDBG 33・・cos6= 1 =—2_._._. 3ICDI-IBGI1所以所求二面角的大小等于兀—arccosg.例3如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD，底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EFLPB交PB于点尸.求二面角C—PB—D的大小

解：如下图建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=aTOC\o"1-5"\h\z设点F的坐标为(x,y,z)解：如下图建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=afS=k1TB，贝U(x，y，z—a)=k(a，a，-a)•000从而x=ka,y=ka,z=(1-k)a.所以0 0 0a(-i2-y0,a-z)=(-ka,(--k)a,(k-i)a(-i2-y0,・••点F的坐标为(3,a2a. 日ffbaaa a、一，——)，日PE=(——，一，一—)，3 3 36 6由条件EF，PB知，TE,P・••点F的坐标为(3,a2a. 日ffbaaa a、一，——)，日PE=(——，一，一—)，3 3 36 6ffSaaa2aFD=(一一，——，———)，3 3 3•tts.tts•tts.tts a2a22a2・•PB FD=----+ =0，3 3 3即PB1FD，故/EFD是二面角C—PB—D的平面角.・・拓•—PB—D的平面角.・・拓•FD==竺-竺+竺=竺,918a2a2a2<6—十—+—=--a，93636 6I叫a+?+葛罟a,PlS-TDPlS-TD•・cos/EFD= ITEIIFDIa2~6<6 6—a,-

6 31 兀—二一,••/EFD=一•2 3a所以,二面角CTB-D的大小为g.例4已知三棱柱OAB—OAB中，平面OBBO，平面OAB，N1 1 1AOB=90°，/OOB=60°，且OB=OO=2,1 1OA=<3，求二面角O—AB—o的大小.1解：以O为原点，分别以OA，OB所在的直线为x,y轴，过。点且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系.如图,则o（0，0，0），O（0，1，⑸），A（.,3，0,10），A（.\3，1，v3），B（0，2，0）.1•二AO=（一<3，1，.<3），~AB=（一<3，2，0）.1显然O为平面AOB的法向量，取n=（0,0,1），设平面OAB的1 1法向量为n2=（x,y,z）,贝IJn•叫=0,4,~aS=0.z=1,则nj(2,v3