人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数培优课件

三角函数概念的发展前后经历了4000多年，早期在天文学中应用的三角学知识可以追溯至古巴比伦年代或者更早．三角学最早的创建者是希腊数学家喜帕恰斯，被称为三角学之父．为了定量地解决天体的位置问题，他将球面三角方法引用于此，并且制作了弦表.16世纪，三角学从天文学中分离了出来，成为数学的一个独立分支，但是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数.1729年欧拉研究插值的方法时用三角级数表示了函数，函数的思想成了三角学的组成部分，变量数学占据了核心地位．随着解析几何和微积分的建立，三角函数的严格解析理论建立起来．三角函数的内容包括任意角和弧度制，三角函数的定义、图象、性质、同角、诱导、和差角、二倍角公式、正弦型函数等．三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，它们在数学和其他领域中都具有重要作用．高考对三角函数的考查，从题型题量上看，常以“两小(选择题、填空题)一大(解答题)”的方式考查．从考查内容上看，求三角函数值，探究正弦型三角函数的解析式、性质、图象及变换等以选择题、填空题为主，三角恒等变换和三角函数性质的综合常以解答题形式出现．5．1任意角和弧度制5．1.1任意角[学习目标]

1.体会角的推广的必要性，了解任意角的概念．2.理解两个任意角的相等和加减法的概念．3.掌握终边相同角的关系及集合表示，并能解决简单问题．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

如何定义正角、负角、零角？问题2

对任意角α，β，如何定义α＋β，α－β？问题3

终边相同的角有何关系？[预习自测]1．两节课中间有10分钟休息时间，这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是(

)A．30°

B．－30°C．60° D．－60°解析：10分钟的时间，分针顺时针旋转了60°.D2．下列命题正确的是(

)A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的角一定相等C．钝角一定是第二象限角D．小于90°的角是锐角C解析：A选项，终边与始边重合的角是与零角终边相同的角，错误．B选项，终边和始边都相同的角是终边相同的角，不一定相等，错误．C选项，钝角的终边落在第二象限，正确．D选项，小于90°的角中包含零角和负角，错误．3．421°是第________象限角．解析：421°＝360°＋61°，即421°是与61°角终边相同的角．故421°是第一象限角．一4．在－360°～0°范围内与45°终边相同的角为________．解析：与45°终边相同的角可写为β＝45°＋k·360°，k∈Z.令k＝－1，得β＝－315°.－315°任意角的概念1．角的概念角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形．2．角的分类按旋转方向，角可以分成三类：

、

、

．正角负角零角3．相等的角设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成，如果它们的

，那么就称α＝β.4．角的加法、减法(1)角的加法：设α，β是任意两个角，我们规定，

，这时终边所对应的角是α＋β.旋转方向相同且旋转量相等把角α的终边旋转角β(2)相反角的概念：我们把射线OA绕端点O________________________所成的两个角叫做___________，角α的相反角记为－α.(3)角的减法：像实数减法的“_________________________________”一样，我们有_______________，这样，角的减法可以转化为角的加法．按不同方向旋转相同的量互为相反角减去一个数等于加上这个数的相反数α－β＝α＋(－β)[例1]

(1)将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是(

)A．10° B．15°C．30° D．－30°B(2)如图(1)(2)从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．

分析：角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．390°

－150°

60°1.正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的．2．在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：(1)要明确旋转方向；(2)要明确旋转角的大小；(3)要明确射线未做任何旋转时的位置；(4)要注意由旋转方向来确定角的符号．

1.下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________．①④

②③解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β；在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β.同理可知，③中γ＝α－β.④中γ＝α＋β.象限角在直角坐标系中，若角的顶点与

重合，角的始边与

轴的非负半轴重合，那么，角的

在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果

，那么就认为这个角不属于任何一个象限．坐标原点x终边角的终边落在坐标轴上[例2]

(多选)下列四个命题中正确的是(

)A．－135°是第二象限角 B．240°是第三角限角C．－40°是第四象限角 D．－315°是第一象限角分析：利用象限角的定义判断．BCD数形结合法判断角的象限在平面直角坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．

2.给出下列角：－300°，－240°，－90°，－45°，124°，210°，305°，则第一象限角有________，第二象限角有__________________，第三象限角有________，第四象限角有________________，不属于任何一个象限的角有________．－300°

－240°，124°

210°－45°，305°

－90°终边相同的角一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合

，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成

．S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}角α与整数个周角的和[例3]

已知角α＝2020°.(1)把α改写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.分析：先求出β，判断角α所在的象限；用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ.1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．利用终边相同的角判断象限角的方法第一步，将α写成α＝k·360°＋β(0°≤β<360°，k∈Z)的形式；第二步，判断角β的终边所在的象限；第三步，根据角β的终边所在的象限即为角α的终边所在象限，确定角α是第几象限角．3．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3.已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；解：因为－1845°＝315°＋(－6)×360°，即－1845°角与315°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角为315°.

(2)最大的负角；解：(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角．解：(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.1.写出终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°~360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．几个常用的终边落在直线上的角的集合终边落在x轴上角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}；终边落在坐标轴上角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．3．若所求角的终边在某条射线上，则角的集合为{α|α＝k·360°＋β，k∈Z}．4．写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合有两种方法：一是分别写出每条终边所代表的角的集合，再取并集；二是在其中一条终边上找出一个角，然后再加上180°的整数倍．{β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}5.已知α为锐角，则2α为(

)A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．小于180°的角解析：因为α为锐角，所以0°<α<90°，则0°<2α<180°.D表示区域角的三个步骤1．先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．2．按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α<x<β}，其中β－α<360°.3．起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．6.写出如图所示阴影部分(包括边界)的角α的范围．1．知识清单：(1)任意角的概念．(2)象限角的判定．(3)终边相同的角的集合．(4)象限角及区域角的表示．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：锐角与小于90°的角的区别；表示终边相同的角时易漏掉k∈Z；区域角表示时出错．课时作业巩固提升5.1.2弧度制[学习目标]

1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性．2.能熟练进行弧度和角度的互化．3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积公式．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

角度制与弧度制的度量单位是什么？如何定义？问题2

角度与弧度的换算关系是什么？问题3

弧度制下扇形的弧长、面积公式分别是什么？CB3．如果角α＝2，则α的终边在第________象限．二长度等于半径长的圆弧所对的圆心角3．弧度数(1)在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么______．其中α的正负由α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．(2)正角的弧度数是___________；负角的弧度数是___________；零角的弧度数是____．一个正数一个负数0(3)弧度制确立了任意角的弧度数与实数间的一一对应关系．[例1]

在大小不同的圆中，1rad的圆心角所对的(

)A．弦长相等 B．弦长等于所在圆的半径C．弧长相等 D．弧长等于所在圆的半径分析：考查1弧度角的定义．[解析]

由弧度制的定义，1弧度的角就是所对弧长与半径之比等于1的角，所以1rad的圆心角所对的弧长等于所在圆的半径．DB角度与弧度的换算1．角度与弧度的互化ABD用弧度制表示角用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为β＝α＋2kπ，k∈Z.这些角所组成的集合为

．{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}D[例4]

用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．分析：先将角度制化为弧度制，再解决有关问题．2．用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．3．用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．Dl＝αR

弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π).其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式．

4.已知扇形的圆心角为α，α>0，半径为R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？1．知识清单：(1)弧度制的概念．(2)角度与弧度的换算．(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系．(4)扇形中的弧长公式与面积公式．2．方法归纳：转化化归、数形结合．3．常见误区：角度与弧度的混用．课时作业巩固提升5．2三角函数的概念5．2.1三角函数的概念第一课时三角函数的概念(1)[学习目标]

1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.理解三角函数的概念．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

单位圆是如何定义的？如何利用单位圆来研究一个角的三角函数值？问题2

角α的终边与非单位圆的交点的纵坐标是否是角α的正弦？问题3

终边落在y轴上的角的正切函数值是0吗？BC三角函数的概念1．三角函数的定义(单位圆法)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y).纵坐标y横坐标x正弦函数余弦函数三角函数B

三角函数定义的推广(坐标法)设α是一个任意角，它的终边上有任意一点P(x，y)(不与原点重合)，点P到原点的距离是r(r＝_________).那么，sinα＝_____，cosα＝_____，tanα＝_____．DA1．知识清单：(1)三角函数定义．(2)三角函数定义的推广．(3)三角函数概念的综合应用．2．方法归纳：由特殊到一般、转化与化归、分类讨论．3．常见误区：角的终边落在直线上时，应分两种情况求值，常按一种情况求值．课时作业巩固提升第二课时三角函数的概念(2)[学习目标]

1.会判断给定角的三角函数值的符号．2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

怎样判断任意角三角函数在各个象限的符号？问题2

终边相同的角的同名三角函数值有什么关系？

DC3．已知sinα<0，则角α的终边在___________________________．解析：由sinα<0，角α的终边在第三、四象限或y轴负半轴．第三、四象限或y轴负半轴三角函数值在各象限的符号1．正弦函数、余弦函数、正切函数在各象限的符号2．三角函数值在各象限的符号记忆口诀“_________________________________”．注意：该口诀仅适用于判断终边在四个象限中的角的三角函数值的符号．对于终边落在坐标轴上的角的三角函数值的符号，可根据三角函数的定义进行判断．一全正，二正弦，三正切，四余弦

1.已知角判断其三角函数值的符号的一般步骤(1)判断已知角是第几象限的角．(2)依据各象限内角的三角函数值的正负判断所求三角函数值的符号．2．由三角函数值的符号判断角所在象限的方法根据三角函数值的符号逆推出角所在的象限(或坐标轴)，当已知该角的两个三角函数值时应取其所在象限的交集．诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：_________________________________．由此得到一组公式：终边相同的角的同一三角函数的值相等sinαcosαtanα利用诱导公式一求值的一般方法1．先借助诱导公式一把已知角转化为[0，2π)范围内的角，然后求值．2．熟记特殊角的三角函数值是解题的基础．2.求值：(1)sin(－1740°)cos1470°＋cos(－660°)sin750°＋tan405°＝__________；2三角函数与单位圆的综合应用设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为(cos

α，sinα)，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．1.角α终边与单位圆相交于点P，则点P的坐标为(cos

α，sinα).2．角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．1．知识清单：(1)三角函数值在各象限的符号．(2)诱导公式一．(3)三角函数与单位圆的综合应用．2．方法归纳：由特殊到一般、转化与化归、数形结合．3．常见误区：判断角所在象限时忽略终边在坐标轴的情况，特殊角的三角函数值记忆不清楚．课时作业巩固提升5．2.2同角三角函数的基本关系第一课时同角三角函数的基本关系(1)[学习目标]

1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．2.能熟练地用同角三角函数的基本关系求值．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

如何用三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系？问题2

用同角三角函数的平方关系求值时，开方涉及正负号，如何取舍？问题3

已知一个角的正弦和余弦值求正切值，需要考虑角的象限吗？AD3sinα同角三角函数的基本关系sin2α＋cos2α＝1××√××√√利用同角三角函数的基本关系求值1．利用同角三角函数的基本关系，知道一个角α的任何一个三角函数值，就可以求出α其余两个三角函数值．简称“知一求二”．1－cos2α1－sin2αcosα·tanα关于sinα，cos

α的齐次分式求值求关于sinα，cos

α的齐次分式的值，可利用同角三角函数的商数关系，将sinα，cos

α转化为

的表达形式再求值．tanαA1．知识清单：(1)同角三角函数的基本关系：①平方关系；②商数关系．(2)利用同角三角函数的基本关系求值：sinα，cos

α，tanα知一求二．(3)关于sinα，cos

α的齐次分式求值．2．方法归纳：(1)方程的思想．(2)分类讨论的方法．(3)“1”的代换．3．常见误区：求值时忽略α的范围．如果α的范围无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论．课时作业巩固提升第二课时同角三角函数的基本关系(2)[学习目标]

1.掌握同角正、余弦的和差与积的转化关系．2.会用同角三角函数基本关系化简和证明．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升AAsinα利用sinα±cos

α与sinαcos

α之间的关系求值(sinα＋cos

α)2＝_______________，(sinα－cos

α)2＝_______________．1＋2sinαcos

α1－2sinαcos

αA利用同角三角函数基本关系化简三角函数式1．利用同角三角函数基本关系化简三角函数式，一般利用商数关系tanα＝_______进行弦切互化，再利用平方关系______________或其等价变形求解．2．常见平方关系的等价变形，如(1＋sinα)(1－sinα)＝_______，(1＋cosα)(1－cos

α)＝_______，1＋2sinαcosα＝_______________，1－2sinαcos

α＝_______________．

sin2α＋cos2α＝1cos2αsin2α(sinα＋cos

α)2(sinα－cos

α)21.三角函数式的化简思路三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值．2．同角三角函数式化简的常用技巧(1)对于含有根号的式子，常把被开方数(或式子)化为完全平方数(或式子)，去掉根号达到化简的目的．(2)对于含有高次幂的三角函数式，往往借助因式分解或利用“sin2θ＋cos2θ＝1”，来降低函数式的次数，达到化简的目的．(3)对于含有绝对值的式子，应根据角的范围，判断函数值的正负(有时需要分情况讨论角的范围)，去掉绝对值符号，达到化简的目的．化简往往和求值结合在一起，一般先化简再求值．证明三角恒等式与三角函数式的化简有相通的地方，但是证明三角恒等式的目标性更明确，即尽量使等式两边的式子往同一个式子靠拢．常用的技巧有“1”的代换和化切为弦．1．知识清单：(1)利用同角正、余弦和差与积的关系求值．(2)利用同角三角函数的基本关系化简三角函数式．(3)利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式．2．方法归纳：分类讨论、方程的思想、“1”的代换．3．常见误区：化简根式时忽视被开方式的符号．课时作业巩固提升5．3诱导公式第一课时诱导公式(1)[学习目标]

1.借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出－α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．2.能熟练地利用诱导公式求值．3.能利用诱导公式化简三角函数式或证明三角恒等式．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

角－α，π＋α，π－α与角α的终边有何对称关系？问题2

尝试从函数名称、符号两方面归纳诱导公式一～诱导公式四的共性．问题3

请归纳用诱导公式一～诱导公式四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤.

BB－1诱导公式一～四公式二：sin(π＋α)＝_________，cos

(π＋α)＝_________，tan(π＋α)＝________；公式三：sin(－α)＝_________，cos

(－α)＝________，tan(－α)＝_________；公式四：sin(π－α)＝________，cos

(π－α)＝_________，tan(π－α)＝_________．－sinα－cos

αtanα－sinα

cos

α－tanαsinα－cos

α－tanα×××√√1.点P(x，y)关于x轴，y轴、坐标原点对称的点的坐标为：2．诱导公式一、二、三、四记忆的口诀为：函数名不变，符号看象限．“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.1.下列等式恒成立的是(

)A．cos(－α)＝－cosαB．sin(360°－α)＝sinαC．tan(2π－α)＝tan(π＋α)D．cos(π＋α)＝cos(π－α)D1分析：(1)已知α的正切值，可将所求三角函数式进行化简转化为齐次式，再利用弦化切进行求值．(2)利用诱导公式求出sinα，再利用诱导公式及同角三角函数的关系式求值．(3)解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．注意可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2．知值求值问题的求解方法(1)观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式，将不同的角化为相同的角是解决问题的关键．(2)对于有条件的三角函数求值问题，求解的一般方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式完成求值．(3)当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系．B利用诱导公式一～四进行三角函数式的化简、证明利用诱导公式一～四化简、证明三角函数式，先分析函数式中

的特征，恰当选择诱导公式将其化为同一个

的三角函数式，再利用同角基本关系化简、证明．角角1．知识清单：(1)诱导公式一～四的推导、记忆．(2)利用诱导公式进行求值、给角求值、给值求值．(3)利用诱导公式进行三角函数式的化简、证明．2．方法归纳：数形结合、等价转化．3．常见误区：诱导公式应用的过程中符号的确定．课时作业巩固提升第二课时诱导公式(2)必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升ACcosα诱导公式五、六cosαcosαsinα－sinα×××××××√利用诱导公式进行三角函数式的化简、证明利用诱导公式化简、证明三角函数式，先分析函数式中角的特征，恰当选择诱导公式将其化为同一个角的三角函数式，再利用同角基本关系化简、证明．利用诱导公式求值诱导公式五、六的作用：实现

与

的相互转化．正弦函数余弦函数对给定的式子进行化简求值时，寻找已知角与所求角之间的关系是解题的关键，有时可利用互余、互补等关系进行求解．D1．知识清单：(1)诱导公式五、六．(2)利用诱导公式进行求值、化简、证明．2．方法归纳：角的构造、转化化归．3．常见误区：(1)看不出角之间的关系，不能灵活应用诱导公式解决问题．(2)诱导公式五、六记忆错误，对正弦函数与余弦函数的相互转化没有搞清楚．课时作业巩固提升第三课时公式的综合应用[学习目标]能综合运用同角三角函数基本关系和诱导公式，熟练地求值、化简、证明．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

如何记忆诱导公式？问题2

互余、互补的两角的三角函数值之间分别有何关系？问题3

运用诱导公式能解决哪些数学问题？ACDB－cosα利用互补(互余)关系求值的步骤1．定关系：确定已知角与所求角之间的关系是互补(或互余)关系．2．定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．3．得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果．B利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简、求值解决与诱导公式有关的三角函数式的化简或求值问题，关键是正确地应用诱导公式把不同角的三角函数转化为同一个角的三角函数，再利用同角三角函数基本关系进行化简或求值．利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简、求值的一般思路1．观察角的特点，利用诱导公式将三角函数化为同角三角函数．2．应用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．利用诱导公式和同角三角函数基本关系证明三角恒等式利用诱导公式和同角三角函数基本关系证明三角恒等式，需先灵活运用诱导公式，一定要牢记诱导公式的特点，尤其要注意

是否变化，

选取是否正确．然后再结合同角三角函数基本关系进行证明．函数名符号证明三角恒等式的常用方法1．从一边开始，使得它等于另一边，遵循由繁到简的原则．2．左右归一法：即证明左、右两边都等于同一个式子．3．作差法：即证明“左边－右边＝0”．4．代入法：对于有已知条件的证明问题，一般先将已知条件化简，再将等式的一边化简，最后将条件代入，推出被证等式的另一边．1．知识清单：(1)诱导公式一～六的综合应用．(2)综合运用诱导公式与同角三角函数基本关系进行化简、求值、证明．2．方法归纳：公式法、转化的思想．3．常见误区：角与角的关系构造出现失误．

课时作业巩固提升5．4三角函数的图象与性质5．4.1正弦函数、余弦函数的图象[学习目标]

1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法，会用“五点(画图)法”画正弦函数的图象．2.会用正弦函数图象作出余弦函数图象，会用“五点(画图)法”画余弦函数的图象．3.通过三角函数图象的三种画法[描点法、几何法、“五点(画图)法”]，体会用“五点(画图)法”作图给我们的学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数的图象．4.会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

在[0，2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0，sinx0)?问题2

根据函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，你能想象函数y＝sinx，x∈R的图象吗？问题3

你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？B2．函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是(

)解析：y＝sin(－x)＝－sinx，故函数图象与y＝sinx的图象关于x轴对称．B3．函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝1的交点有________个．12正弦函数图象的几何作图法利用

，使x0在区间[0，2π]上取

的值，画出足够多的点T(x0，sinx0).单位圆足够多几何作图法是利用单位圆和三角函数定义取足够多的点作图，故解决此类问题时要充分利用图形和正弦函数的定义．1.(1)在同一平面直角坐标系内，函数y＝sinx，x∈[0，2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象(

)A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y轴对称D．形状不同，位置不同B“五点(画图)法”作正弦函数图象用“五点(画图)法”作正弦曲线的一般步骤(1)先描出(0，0)，_______，_______，__________，(2π，0)这五个点；(2)把这五个点用一条_____________连接起来，就得到y＝sinx在[0，2π]上的简图；(3)通过左、右平移(每次平移___个单位长度)，即得到正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象．(π，0)光滑的曲线2π[例2]画出函数y＝sinx－1，x∈[0，2π]的简图．分析：列表(求点)、描点、连线．

2.在[0，2π]内用“五点(画图)法”作出y＝－sinx－1的简图．左cosx(0，1)(π，－1)(2π，1)[解]

平移正弦曲线法：②描点，并用光滑曲线连接起来．平移正弦曲线法画余弦函数图象，先利用诱导公式，将余弦化为正弦，画出正弦曲线，平移可得余弦曲线．五点(画图)法画余弦函数图象，先列出五个关键点，再描点连线可得．

3.画出y＝2＋cos

x，x∈[0，2π]的简图．描点，连线，如图所示．正弦函数、余弦函数图象的应用应用正弦函数、余弦函数图象解决求图象交点个数、方程解的个数、函数的零点、解简单的三角不等式等问题时，画出对应

的图象，根据图象得出结论．三角函数(0，π)1.用三角函数图象解三角不等式的方法：(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象．(2)作出相应直线，找到函数边界值对应的角．(3)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集．2．求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用基本三角函数的图象直观地求得解集．41.对于三角函数图象与直线的交点问题，正确画出图象是解决问题的关键．2．对于含三角函数的方程的解的个数问题，一般无法直接求解，我们常转化为两个函数的图象的交点个数问题求解，这就要求我们要对三角函数的图象熟练掌握．5.(1)函数y＝|cos

x|，x∈[0，2π]与直线y＝1的交点的横坐标之和为________．3π

(2)已知函数y＝a＋cos

x在区间[0，2π]上有且只有一个零点，则a＝__．11．知识清单：(1)正弦函数图象的几何作图法．(2)五点(画图)法作正弦函数图象．(3)平移正弦曲线法和五点(画图)法作余弦函数图象．(4)正弦函数、余弦函数图象的应用．2．方法归纳：几何作图法、五点(画图)法、转化与化归．3．常见误区：作简图时五点选取错误，作图不准确．课时作业巩固提升5．4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时周期性与奇偶性[学习目标]

1.了解周期函数与最小正周期的意义．2.会利用周期性的定义和诱导公式求三角函数的周期．3.会判断三角函数的奇偶性．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

正弦函数y＝sinx是周期函数吗？余弦函数y＝cos

x是周期函数吗？若是，最小正周期是多少？问题2

函数y＝sinx和y＝cos

x的奇偶性如何？

[预习自测]1．若函数f(x)的周期为3，且f(1)＝－2，则f(7)为(

)A．1

B．－1C．2 D．－2解析：f(7)＝f(4＋3)＝f(4)＝f(1＋3)＝f(1)＝－2.DB3．函数y＝－sinx是________．(填奇偶性)解析：∀x∈R，有－x∈R，f(－x)＝－sin(－x)＝－(－sinx)＝－f(x)，故原函数为奇函数．4．函数y＝1＋cos

x是________．(填奇偶性)解析：∀x∈R，有－x∈R，f(－x)＝1＋cos

(－x)＝1＋cos

x＝f(x)，故原函数为偶函数．奇函数偶函数周期函数的定义1．周期函数条件①对于函数f(x)，存在一个

常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有

＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期非零f(x＋T)2.最小正周期条件如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_____结论这个最小_____叫做f(x)的最小正周期正数正数1.由周期函数的定义，将所求函数值转化到已知区间内，再代入函数解析式求解．2．T是函数f(x)的周期，可以证明kT(k∈Z，k≠0)也是函数f(x)的周期．正弦函数、余弦函数的周期性正弦函数f(x)＝sinx和余弦函数f(x)＝cos

x都是周期函数(k∈Z且k≠0).三角函数所有周期最小正周期f(x)＝sinx_____________________f(x)＝cosx_____________________2kπ，k∈Z且k≠02π2kπ，k∈Z且k≠02π求三角函数周期的最基本方法定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．正弦函数、余弦函数的奇偶性三角函数奇偶性对称性f(x)＝sinx_______图象关于______对称f(x)＝cosx_______图象关于______对称奇函数原点偶函数y轴判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数解析式化简后再判断．3.函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0，2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝x

cos

x中，奇函数的个数为(

)A．1

B．2C．3 D．4解析：①③④是奇函数．C图象法和公式法求三角函数的周期函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R及函数y＝A

cos

(ωx＋φ)，x∈R(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期_________．AC1．知识清单：(1)周期函数的定义．(2)正弦函数、余弦函数的周期性．(3)正弦函数、余弦函数的奇偶性．2．方法归纳：换元法、定义法、公式法、图象法．3．常见误区：判定函数奇偶性时易忽略函数定义域．课时作业巩固提升第二课时对称性、周期性和奇偶性的应用[学习目标]

1.了解三角函数图象的对称性，会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝A

cos

(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)图象的对称中心坐标和对称轴方程．2.会利用对称性、周期性、奇偶性解决与三角函数有关的综合问题．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

(1)正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由．(2)正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由．问题2

(1)余弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由．(2)余弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由.

BABC3．正弦函数图象的对称中心为_______________，对称轴方程为_______________．4．余弦函数图象的对称中心为_______________，对称轴方程为_______________．(kπ，0)(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)正弦函数、余弦函数图象的对称性(kπ，0)(k∈Z)1.正、余弦函数的图象都是中心对称图形，对称中心有无数个，它们是图象与x轴的交点．2．正、余弦函数的图象都是轴对称图形，对称轴有无数条，它们分别是过图象最高点或最低点且垂直于x轴的直线．1.(1)求函数y＝－3sin2x图象的对称轴方程及对称中心坐标；(kπ，0)(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)f(2a－x)＝f(x)A－1C

AC

BDD1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．3课时作业巩固提升第三课时单调性与最值[学习目标]

1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质．2.掌握y＝sinx，y＝cos

x的单调性，并能利用单调性比较大小．3.掌握y＝sinx，y＝cos

x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．4.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝A

cos

(ωx＋φ)(Aω≠0)的单调区间．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升问题2函数y＝cosx在[0，π]和[π，2π]上的单调性如何？如何利用周期性，把单调性推广到整个定义域？问题3

y＝sinx与y＝cosx取得最大(小)值时相应的自变量的取值集合如何？问题4函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)的单调性和最值问题，如何求解？CACD－2正弦函数、余弦函数的单调性解析式y＝sinxy＝cosx单调性在_________________________上单调递增，在________________________上单调递减在_____________________上单调递增，在_____________________上单调递减[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z求与正、余弦函数有关的单调区间的策略1．结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．2．在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．3．(1)ω＜0时，一般用诱导公式转化为－ω＞0后求解；(2)若A＜0，则单调性相反．4．求限定范围的单调区间问题，可以先整体考虑，再与限定区间求交集，从而解决问题．正弦函数与余弦函数单调性的应用1．利用单调性比较三角函数大小时，先化三角函数为

三角函数，再将角转化到同一个单调区间内．2．已知三角函数的单调性，求有关参数问题，一般先求出函数相应的单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式(组)求解．同名比较三角函数值的大小时，先化三角函数为同名三角函数，再将角转化到同一个单调区间内，利用单调性比较大小．有时可先大致判断函数值的符号，若符号不同，则大小易判．(2)sin194°与cos160°.A对于已知形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝A

cos

(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间的某一部分确定参数ω的取值范围的问题，要明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子区间．解决此类问题常见方法有两种：方法一：子集法，由x的取值范围确定ωx＋φ的取值区间A，然后根据A是y＝sinz(或y＝cos

z)的相应单调区间的子集列不等式(组)求解．方法二：求出函数相应的单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式(组)求解．C与正弦函数、余弦函数有关的最值问题解析式y＝sinxy＝cosx最值当_____________________时，ymax＝1；当_____________________时，ymin＝－1当_____________时，ymax＝1；当___________________时，ymin＝－1x＝2kπ，k∈Zx＝π＋2kπ，k∈Z分析：第(1)(2)两个题，利用整体思想将问题转化为求余弦函数、正弦函数的最大(小)值问题．第(2)题，要注意x的取值范围．第(3)题，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求最值，要注意t的取值范围．1.求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝A

cos

(ωx＋φ)的三角函数值域(或最值)问题，要注意利用整体代换思想．对有限定范围的求值域(或最值)问题，要注意x的取值范围，一般情况下先利用x的取值范围，求出ωx＋φ的范围，再求三角函数的值域(或最值).2．求形如y＝Asin2x＋B

sinx＋C，A≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性(有时也用t来替换cos

x).B1．知识清单：(1)y＝sinx，y＝cos

x的单调区间．(2)y＝sinx，y＝cos

x的最大(小)值及相应的自变量x的取值集合．(3)三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间及最值问题．(4)形如y＝Asin2x＋B

sinx＋C，A≠0，x∈R的函数的值域或最值问题．2．方法归纳：换元法、转化法．3．常见误区：(1)求三角函数最值时易忽视自变量的取值范围．(2)求复合函数的单调区间时易忽视复合函数的单调性．课时作业巩固提升5．4.3正切函数的性质与图象[学习目标]

1.理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性．2.会利用正切函数的定义及正切函数的性质作正切函数的图象．3.了解“三点两线法”作正切函数的图象．4.能够运用正切函数的图象和有关性质解决相关问题．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的性质与图象？问题2

你能用不同的方法研究正切函数吗？

BC3．函数y＝tanx的定义域为________________________．4．下列命题正确的有________．(填序号)①正切函数y＝tanx在其定义域上为增函数．②正切函数y＝tanx的值域为R.③正切函数y＝tanx为奇函数．④tanx＝0的解集为{x|x＝2kπ，k∈Z}．②③kπ，k∈Z且k≠0πCD奇

紧扣奇函数、偶函数的定义解决问题，特别要注意正切函数的定义域．

2.已知函数f(x)＝x＋tanx＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝(

)A．0

B．－1C．－2 D．3解析：设g(x)＝x＋tanx，显然函数g(x)为奇函数．因为f(a)＝g(a)＋1＝2，所以g(a)＝1，所以f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.A对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tanx＞a的不等式的步骤：正切函数的单调性与值域正切函数y＝tanx在每一个开区间________________________上都单调递增，其值域为_____．R正切函数图象的对称性正切函数y＝tanx的图象是中心对称图形，对称中心的坐标为_____________．CA1．知识清单：(1)正切函数的定义域、周期性、奇偶性．(2)正切函数的图象．(3)正切函数的单调性与值域．(4)正切函数图象的对称性．2．方法归纳：换元法、三点两线法(画正切函数图象)、转化与化归．3．常见误区：(1)忽略正切函数的定义域．(2)易错误地认为正切函数的对称中心为(kπ，0)(k∈Z).课时作业巩固提升5．5三角恒等变换5．5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一课时两角差的余弦公式[学习目标]

1.结合实例，经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义．2.理解两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用．3.能够合理地运用两角差的余弦公式解决证明、求值、求角等有关问题．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升AD两角差的余弦公式cos(α－β)＝

(C(α－β)).cos

αcos

β＋sinαsinβ[例1]判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)cos(70°－40°)＝cos70°＋cos40°.(

)(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．(

)(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．(

)(4)cos30°cos60°＋sin30°sin60°＝1.(

)分析：利用公式特点，采用特殊值等方法进行推理和判断．××√×

要正确地识记公式结构，公式右端的两部分分别为同名三角函数积，左端为两角差的余弦．1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos

αcos

β－sinαsin

β.(

)(2)存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos

α－cos

β.(

)(3)对任意角α，β，都有cos(α＋β)＝cos

α＋cos

β.(

)×√×分析：(1)利用诱导公式，将求值问题转化为锐角三角函数的求值问题，再将非特殊角写成两个特殊角的差，从而利用两角差的余弦公式求值；(2)(3)观察式子特点，逆用公式求值．(4)注意式子中的数与特殊角的三角函数值的关系，再逆用公式．利用两角差的余弦公式求值的一般思路1．把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．2．在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)；给值求值cos(α－β)＝____________________；cos(α＋β)·cos

β＋sin(α＋β)·sinβ＝_______．cos

αcos

β＋sinαsin

βcos

αAA给值求角给值求角问题的步骤为：(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．给值求角，实质是转化为给值求值，先求未知角的某一函数值，再求未知角的范围，最后确定角的值．1．知识清单：(1)两角差的余弦公式C(α－β).(2)给角求值．(3)给值求值．(4)给值求角．2．方法归纳：数形结合、角的变换、转化与化归．3．常见误区：(1)忽视角的范围．(2)拆角、凑角失误．课时作业巩固提升第二课时两角和与差的正弦、余弦公式[学习目标]

1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式的方法．2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．3.能灵活运用两角和与差的正弦、余弦公式，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？问题2

如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？问题3

怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？CA3．cos74°sin