菱形的判定专项练习30题

菱形的判定专项练习30题1.(1)根据题意，易知BA=AD=DC=BC，且BE=EC，因此△ABE和△ECD是等腰三角形，∠AEB=∠DEC，又因为AD∥BC，所以∠AED=∠BEC，因此△AED和△BEC全等，所以AE=BE，同理可得DE=CE，因此四边形ABED是菱形。(2)因为BD=4cm，且BA=AD，所以△ABD是等腰直角三角形，AB=AD=√2×BD=√2×4=4√2，又因为AF⊥BC，所以∠AFC=90°，因此△AFC和△ABD相似，AF/AB=AC/AD=1/√2，所以AF=AB/√2=2√2。2.连接OM，ON，由BM=MO，AO=ON，得BM=ON，又因为AC⊥BD，所以△AOC和△BOD相似，因此AC/BD=AO/BO=ON/OD=1/2，所以BC=2DN。3.(1)因为AB=AC，且DE和EF分别是BC和AC的中线，所以DE=EF=FC=BF，因此四边形AEDF是菱形。(2)因为AB=AC=12cm，且四边形AEDF是菱形，所以周长为4AE=4×6=24cm。4.(1)因为BE=BP，且EF∥BD，所以△BPF和△BCE相似，因此∠E=∠F。(2)因为BE=BP，且∠E=∠F，所以四边形ABCD是菱形。5.(1)因为AE∥CF，所以△ABF和△AEC相似，因此AF/AC=BF/EC，又因为AC=2AD，所以AF=DC。(2)因为∠BAC=90°，所以四边形AFBD是菱形。6.因为BD平分∠ABC，所以△ABD和△CBD相似，因此AB/BC=BD/BD=1，所以AB=BC，又因为对角线互相平分，所以四边形ABCD是菱形。7.因为△ABC和△ABF全等，所以∠FAC=30°，又因为△DEC是沿着AB翻转得到的，所以∠DEC=∠BAC=90°，因此△DEC和△ABC相似，因此DE/AB=EC/AC=1/2，所以AD=2DG，同理可得CE=2GH，因此四边形ADCE是菱形。四边形ABCG是平行四边形，因为AF∥CE，所以∠BFC=∠BAC=90°，因此四边形ABCG是矩形。8.因为DE⊥AB，DF⊥BC，且DE=DF，所以四边形ABCD是菱形。9.(1)因为DE∥BC，所以∠B=∠ADE，又因为AE=AD，所以△ADE是等腰三角形，因此∠AED=∠ADE=∠B/2，因此∠A=180°-2∠B，又因为EH=EC，所以∠HCE=∠B，因此∠GCB=∠AED=∠B/2，因此∠GCE=∠B/2，又因为AE∥FG，所以∠GCE=∠FAD=∠A/2，因此∠GCB=∠GCE，所以△GCB是等腰三角形，因此BC=BG=2DN。(2)四边形ADFE是平行四边形，因为AD∥FE，DE∥AF，且DE=AF，所以四边形ADFE是菱形。10.(1)因为AC⊥CD，所以∠AFC=90°，又因为AE是∠BAC的平分线，所以∠EAF=∠CAF，因此△AEG和△AEC相似，因此AE/AC=EG/EC，又因为AC=CD，所以AE/CD=EG/EC，因此AE=CD，又因为AD=AB，所以∠AED=∠AEB=∠DEC，因此四边形GECF是菱形。(2)∠CEF=∠BAC/2=45°，因此△CEF是等腰直角三角形。(3)因为∠AEC=∠GEC=∠FCE，且AE=EC=FC，所以四边形GECF是菱形。11.因为AB=AC，且D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，所以DE∥BC，EF∥AB，FD∥AC，因此四边形DEFC是平行四边形，因为DE=FC，且∠B=∠C，所以四边形DEFC是菱形。12.在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点。我们要证明四边形MENF是菱形。13.已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE。我们要证明四边形ABED是菱形。14.在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点。我们要证明四边形AMON是菱形。15.在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F。我们要证明四边形AEFG是菱形。16.矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF，AB交EC于点N，CD交AF于点M。我们要证明四边形ANCM是菱形。18.已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。我们要判断四边形AEDF是否为菱形。19.在△ABC中，BD是角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F。我们要证明四边形BFDE是菱形。20.在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F。我们要证明四边形AFCE是菱形。21.在矩形ABCD中，EF垂直平分BD。(1)我们要判断四边形BEDF的形状，并说明理由。(2)已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长。22.在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAF，过点E作EF∥AB。我们要证明四边形ABEF为菱形。23.在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F。(1)我们要证明AECF是菱形。(2)我们要求四边形AECF的面积。24.平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。我们要判断四边形AFCE是否为菱形。25.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边AB和CD的延长线上的点，且BE=DF，连接EF交AC于O。(1)AC与EF是否互相平分？为什么？(2)连接CE和AF，再添加什么条件，四边形AECF是菱形？为什么？解答：(1)我们可以使用向量法证明AC与EF互相平分。设向量$\vec{AB}=\vec{a}$，向量$\vec{BC}=\vec{b}$，则向量$\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}$。又设向量$\vec{BE}=\lambda\vec{a}$，则向量$\vec{EF}=(1+\lambda)\vec{a}+\vec{b}$。由于BE=DF，所以向量$\vec{DF}=-\lambda\vec{a}+\vec{b}$。因此，向量$\vec{OF}=\vec{OC}+\vec{CF}=\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{EF}=\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}(1+\lambda)\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}=\frac{3}{2}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\lambda\vec{a}$，向量$\vec{OE}=\vec{OA}+\vec{AE}=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}+\lambda\vec{a}$。因此，向量$\vec{OF}-\vec{OE}=\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\lambda\vec{a}$。又因为$\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}$，所以$\vec{OF}-\vec{OE}=\frac{1}{2}\vec{AC}+\frac{1}{2}\lambda\vec{a}$。因此，向量$\vec{OF}-\vec{OE}$与向量$\vec{AC}$平行，即AC平分EF。因此，AC与EF互相平分。(2)四边形AECF是菱形的充要条件是AC平分EF且CE=AF。由于AC平分EF，所以$\vec{OF}-\vec{OE}=\frac{1}{2}\vec{AC}$，即$\frac{3}{2}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\lambda\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}=\vec{a}+\vec{b}$，即$\lambda=1$。因此，BE=DF=AB+AF，即四边形AECF是菱形。26.已知：如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF。求证：四边形BFCE是菱形。解答：由于AB=DC，AC=BD，所以△ABC和△DBC是全等三角形。因此，∠BAC=∠BDC，∠ABC=∠DCB。又因为∠BEC的平分线交BC于O，所以∠BEO=∠CEO，∠BFO=∠CFO。因此，∠BEC=∠BEO+∠CEO=2∠BEO=2∠CFO=∠BFO。因此，四边形BFCE是菱形。27.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F和E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE。(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)请连接BF和CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；(3)在（2）下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件？并说明理由。解答：(1)因为D是BC边的中点，所以BD=DC，因此△BDC是等腰三角形。又因为CF∥BE，所以∠BDE=∠DCF。又因为DE=DF，所以△BDE≌△CDF。(2)四边形BECF是平行四边形，因为CF∥BE，且BF=CE。(3)四边形BECF是菱形的充要条件是BE=CF且∠BEC=90°。因为BF=CE，所以BECF是平行四边形。又因为D是BC边的中点，所以AD是BC边的中线，因此AE=EC和AF=FB。因此，BE=AE+AB=EC+BC=CF。又因为CF∥BE，所以∠BEC=90°。因此，四边形BECF是菱形。28.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE。(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；(2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论。解答：(1)因为∠ACB=90°，所以BC的垂直平分线DE是△ABC的中线，因此AD=DC，即AB=BC。又因为AF=CE，所以AE=BF。因此，四边形ACEF是平行四边形。(2)四边形ACEF是菱形的充要条件是AC平分EF且AE=CE。因为∠ACB=90°，所以AC垂直于BC。因此，BC是AC的垂线。因为DE是BC的垂直平分线，所以DE也是AC的垂线。因此，DE平分AC。又因为F在DE上，且AF=CE，所以AE=CF。因此，AC平分EF且AE=CE。因此，当∠B=90°时，四边形ACEF是菱形。29.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F。求证：四边形AEDF是菱形。解答：因为AD是∠BAC的平分线，所以BD=DC，因此△ABD≌△ACD。又因为EF垂直平分AD，所以AE=ED=DF=FC。因此，四边形AEDF是菱形。30.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。(1)探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由。解答：(1)因为MN∥BC，所以∠BON=∠COF。又因为∠BOC=2∠BAC，所以∠BON=∠COF=∠BAC。因此，OF平分∠BAC，即OF是∠BAC的平分线。又因为∠BAC=2∠EAF，所以OF是∠EAF的平分线。因此，OF平分∠AEO。同理，OE也平分∠AFO。因此，OE与OF相等。(2)四边形AECF是正方形的充要条件是AE=CE且∠AEC=90°。因为OE与OF相等，所以E和F到OA的距离相等。因此，E和F在OA的垂线上。又因为MN∥BC，所以∠BAC=∠AEO=∠FEA。因此，△ABC和△AFE相似。因此，$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{2AE}$，即$AE^2=AB\timesAF$。因此，当点O在AC的中点时，且AB=AC时，四边形AECF是正方形。(3)四边形BCFE是菱形的充要条件是BE=CF且∠BEC=∠CFA。因为MN∥BC，所以∠BAC=∠AEO=∠FEA。因此，△ABC和△AFE相似。因此，$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{2AE}$，即$AE^2=AB\timesAF$。因此，当点O在AC的中点时，四边形BCFE是菱形。但是，当AB≠AC时，BE和CF不相等，因此四边形BCFE不是菱形。∴∠ADE=∠CDF=90°，又∵AE=CD，DE=DF，∴△ADE≌△CDF（HL），∴AD=CF，又∵∠DAB=∠BCF，∴∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，又∵AD=CF，∴四边形ACDF是菱形。3.因为D，E分别是BC，AB的中点，所以DE∥AC且DE=AF=AC。同理，DF∥AB且DF=AE=AB。又因为AB=AC，所以DE=DF=AF=AE，因此四边形AEDF是菱形。菱形AEDF的周长为4×6=24cm，因为E是AB中点，所以AE=AB=6cm。4.因为BE=BP，所以∠E=∠BPE。因为BC∥AF，所以∠BPE=∠F，因此∠E=∠F。因为EF∥BD，所以∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，因此∠ABD=∠ADB，所以AB=AD。因为四边形ABCD是平行四边形，所以□ABCD是菱形。5.(1)因为E是AD的中点，所以AE=DE。因为AF∥BC，所以∠1=∠2。在△AEF和△DEC中，因为△AFE≌△DCE（AAS），所以AF=DC。(2)因为D是BC的中点，所以DB=CD=BC。因为AF=CD，所以AF=DB。因为AF∥BD，所以四边形AFBD是平行四边形。因为∠BAC=90°，D为BC中点，所以AD=CB=DB，因此四边形AFBD是菱形。6.因为对角线BD平分∠ABC，所以∠1=∠2。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC，因此∠3=∠1，所以∠3=∠2，因此DC=BC。又因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形。7.(1)因为将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，所以△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，因此∠FAC=60°，所以AD=DC=AC。又因为△ABC≌△EFC，所以CA=CE。因为∠ECF=60°，所以AC=EC=AE，因此AD=DC=CE=AE，所以四边形ADCE是菱形。(2)因为△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，所以∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，因此BC=AC。因为EC=CB，所以EC=AC，因此E为AC中点，所以DE⊥AC，因为AE=EC，所以AG∥BC，因此∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，因此△AEG≌△CEB，所以AG=BC，因此四