2023天津高中学业水平合格考数学模拟试卷（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023年高中学业水平合格性考试模拟练习数学学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间90分钟．参考公式：球的体积公式，其中表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集，集合，，则（

）．A． B． C． D．2．已知命题：，，则命题的否定为（

）．A．， B．，C．， D．，3．的值为（

）．A．1 B．0 C． D．不存在4．对于实数，“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．下列函数中，在上单调递减的是（

）．A． B． C． D．6．复数等于A． B． C．1 D．7．在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=A． B． C． D．8．从数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为（

）A． B． C． D．9．函数是（

）．A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数10．三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（）A． B． C． D．11．口袋中有个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为，则摸出黑球的概率为（

）．A． B． C． D．12．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的表达式为（

）．A． B．C． D．13．函数的零点一定位于下列哪个区间（

）A． B． C． D．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角 D．A1C1与B1C成60°角15．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为，则（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．16．某区三个学校共有高中学生2000人，其中校高中学生700人，现采用分层抽样的方法从这三个学校所有高中学生中抽取一个容量为60人的样本进行学习兴趣调查，则校应抽取人．17．半径为3的球的体积等于.18．在中，，，，则．19．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，，则甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率．20．若，则的最小值是．三、解答题：（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知.(1)求的值(2)求的值.22．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．23．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

(1)求三棱柱的表面积；(2)求证：平面．24．设，，函数．(1)求不等式的解集；(2)若在上的最大值为，求的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】根据并集的运算法则可求出，再由补集运算即可求出结果.【详解】由，可得，再由以及补集概念可知.故选：D2．B【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】命题的否定为，.故选：B3．C【分析】利用诱导公式求出答案.【详解】.故选：C4．A【分析】根据，得到答案.【详解】，但，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A5．B【分析】A选项，画出函数图象，得到A正确；B选项，根据函数解析式直接得到函数单调性；CD选项，在处无意义，CD错误.【详解】A选项，的图象如下：

故在上单调递增，A错误；B选项，在上单调递减，B正确；C选项，定义域为，在处无意义，C错误；D选项，定义域为，在处无意义，D错误.故选：B6．D【分析】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得.故选：D．7．C【详解】试题分析：由余弦定理有：.所以.考点：余弦定理.8．C【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从数字中任取三个不同的数字，方法有：共种，其中所抽取的三个数字之和能被整除的有：共种，故所求概率为.故选：C9．D【分析】根据二倍角公式和周期公式，由函数奇偶性定义即可判断出结论.【详解】利用二倍角公式可得，易知其定义域为；显然，所以是偶函数，最小正周期为，因此是周期为的偶函数.故选：D10．C【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【详解】解：∵0＜0.312＜0.310=1，log20.31＜log21=0，20.31＞20=1，∴b＜a＜c．故选：C．【点睛】熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键．11．A【分析】首先求出袋子中白球的数量，从而得到黑球的数量，即可得解.【详解】口袋中有个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为，口袋中有个黑球，摸出黑球的概率．故选：A．12．C【分析】利用函数图象平移规则可知，向右平移个单位即将替换即可得到结果.【详解】根据三角函数图象平移规则可知，将的图象向右平移个单位可以得到，即可得到.故选：C13．B【分析】根据零点存在性定理，即可求解.【详解】由题意可知，，，故，又因函数在上单调递增，所以函数的零点一定位于区间.故选：B.14．D【分析】由正方体的性质及异面直线的概念依次验证选项即可.【详解】A项，如下图在正方体中，，在等腰直角中，与成角，故A项错误；B项，，故B项错误；C项，因为，在中，为与CD所成的角，令正方体的棱长为1，则，，，即与CD所成的角不是，故C项错误；D项，如下图，连接，则，为与所成的角，在中，，即为等边三角形，所以，，即与成角，故D项正确.故选D.【点睛】本题主要考查正方体中各直线间的位置关系，属于中档题.15．B【解析】根据频率分布直方图读出众数a，计算中位数b，平均数c，再比较大小.【详解】由频率分布直方图可知：众数；中位数应落在70-80区间内，则有：，解得：；平均数

=4.5+8.25+9.75+22.5+21.25+4.75=71所以故选：B【点睛】从频率分布直方图可以估计出的几个数据：(1)众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；(2)平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；(3)中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．16．21【分析】利用样本容量可计算出抽样比为，即可计算出校应抽取的高中学生人数.【详解】根据题意可知，2000人中抽取容量为60人的样本，抽样比为，设校应抽取的人数为，又校高中学生700人，所以按照抽样比可知，解得.所以校应抽取21人.故答案为：2117．【分析】由球的体积公式代入运算即可.【详解】解：因为球的半径为3，则球的体积为，故答案为.【点睛】本题考查了球的体积公式，属基础题.18．【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算作答.【详解】在中，，，，由正弦定理，得.故答案为：19．##【分析】利用题意可知，两人恰好命中一次包括“甲投中乙未投中”和“乙投中甲未投中”两种情况，由互斥事件的加法公式即可求得结果.【详解】根据题意可设事件“甲在罚球线投球命中”，“乙在罚球线投球命中”；即;则两人各投一次，恰好命中一次的概率.故答案为：20．0【分析】由题意可得，将原式变形利用基本不等式即可求得当时取最小值0.【详解】由可得，则，又，利用基本不等式可得；当且仅当时，等号成立；故答案为：021．(1)(2)【分析】（2）由平方关系求得，再根据二倍角得余弦公式即可得解；（2）由（1）求得，再根据两角差得正切公式即可得解.【详解】（1）解：因为，所以，所以，又因为，所以；（2）解：由（1）得，所以，所以.22．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．23．(1)(2)证明见解析【分析】（1）分别求三棱柱每个面的面积相加即可；（2）利用线面平行的判定定理证明即可.【详解】（1）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，所以侧面，，均为矩形．因为，所以底面，均为直角三角形．因为，，所以．所以三棱柱的表面积为．（2）连接交于点，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点．因为为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．

24．(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据题意可知，将不等式分解可得，求出该不等式对应方