大学物理电荷与真空中的静电场

2023/9/3第9章电荷与真空中的静电场9.1电荷库仑定律9.2电场和电场强度9.3电通量真空中静电场的高斯定理9.4静电场力的功真空中静电场的环路定理9.5电势9.6电场强度和电势的关系内容提要2023/9/39.1电荷库仑定律9.1.1电荷的量子化1.实验表明:自然界只存在两种电荷，分别称为正电荷和负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。2.电荷的量子化：电荷量不连续的性质.C(库仑)为电量的单位.通常的计算中,e取:带电体所带的电量：q=ne(n=±1,±2,……)2023/9/39.1.2电荷守恒定律

一个孤立系统（即与外界无电荷交换的系统）的总电荷数（正负电荷的代数和）保持不变，即电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一个部分转移到物体的另一部分。自然界的基本守恒定律之一．2023/9/39.1.3真空中的库仑定律1.点电荷

在具体问题中，当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可以忽略时，可以把带电体看作点电荷.2.库仑定律

真空中两个静止的点电荷之间存在着相互作用力,其大小与两点电荷的电量乘积成正比，与两点电荷间的距离平方成反比；作用力的方向沿着两点电荷的连线，同性电荷互相排斥，异性电荷互相吸引．其数学表达形式:——静电力(库仑力)2023/9/3矢量形式:电荷q2对q1的作用力F12

:真空中的电容率（介电常数）说明(1)库仑定律只适用于真空中静止的点电荷；(2)静电力(库仑力)满足牛顿第三定律；(3)在原子中，一般2023/9/39.2电场和电场强度9.2.1电场

后来:

法拉第提出近距作用,并提出力线和场的概念.

早期：电磁理论是超距作用理论.电荷

电荷

电荷

电荷

电场

电场是物质存在的一种形态,它分布在一定范围的空间里,并和一切物质一样,具有能量、动量、质量等属性.

电场的特点:(1)对位于其中的带电体有力的作用;(2)带电体在电场中运动,电场力要做功.2023/9/39.2.2电场强度1.试验电荷q0带电量足够小点电荷例:将同一试验电荷q0

放入电场的不同地点：q0

所受电场力大小和方向逐点不同.电场中某点P处放置不同电量的试验电荷:

所受电场力方向不变，大小成比例地变化.——电场力不能反映某点的电场性质.2023/9/3比值与试验电荷无关，仅与该点处电场性质有关.2.电场强度E

电场中某点的电场强度

E的大小,等于单位试验电荷在该点所受到的电场力的大小,其方向与正的试验电荷受力方向相同.

单位：牛顿/库仑(N/C)或伏特/米(V/m).2023/9/39.2.3点电荷与点电荷系的电场强度1.点电荷的电场强度

qq0试验电荷q0所受的电场力为:由场强的定义可得场强为:——点电荷的场强

(1)的大小与q成正比，与r2成反比；(2)的方向取决于q

的符号.讨论2023/9/3

点电荷的电场是辐射状球对称分布电场.2023/9/32.点电荷系的电场强度

设空间电场由点电荷q1、q2、…qn激发.则各点电荷在P点激发的场强分别为:P点的总场强为:

点电荷系在某一点产生的场强，等于每一个点电荷单独存在时在该点分别产生的场强的矢量和．——电场强度叠加原理2023/9/33.连续分布的任意带电体场强整个带电体在P点产生的总场强为:在带电体上任取一个电荷元dq，dq在某点P处的场强为:

:电荷线密度

:电荷面密度

:电荷体密度2023/9/3矢量积分步骤：(1)选取坐标系;(5)分别积分：;(6)写出合场强：.(4)根据几何关系统一积分变量;(2)选积分元，写出;(3)写出的投影分量式:;2023/9/39.2.4电场强度的计算例：电偶极子的场强

有两个电荷相等、符号相反、相距为l的点电荷+q和-q，它们在空间激发电场。若场点P到这两个点电荷的距离比l大很多时，这两个点电荷构成的电荷系称为电偶极子.+q-q由-q指向+q的矢量称为电偶极子的轴．称为电偶极子的电偶极矩(电矩)，用表示．(1)电偶极子轴线延长线上一点的电场强度;下面分别讨论：(2)电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度.2023/9/3解:(1)延长线上:2023/9/3（2)中垂线上：

-q+qlyPEE+E-yxO2023/9/3aPxyO它在空间一点P产生的电场强度.（P点到杆的垂直距离为a)解:dqr

由图上的几何关系:

2

1例:长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为

.求:2023/9/3(1)a>>L

杆可以看成点电荷讨论(2)无限长带电直线aPxyOdqr

2

12023/9/3圆环轴线上任一点P

的电场强度.RP解:dqOxr

例:半径为R的均匀带电细圆环，带电量为q.求:圆环上电荷分布关于x轴对称x2023/9/3(1)当

x=0（即P点在圆环中心处）时，

(2)当

x>>R

时,可以把带电圆环视为一个点电荷.讨论RPdqOxr

x2023/9/3求面密度为

的带电薄圆盘轴线上的电场强度．解：PrxO例：R2023/9/3(1)当R>>x

，圆盘可视为无限大薄板(2)E1E1E1E2E2E2(3)补偿法pxO讨论2023/9/39.3电通量真空中静电场的高斯定理9.3.1电场线（电力线）

1)曲线上一点的切线方向表示该点场强的方向；2)在垂直于场强方向的面积元dS⊥上通过的电场线数

dN正比于该点场强E

的大小.1.电场线的概念:

在电场中画一系列曲线，使得:——电场线密度2023/9/32.静电场中电场线的性质1）电场线起始于正电荷，终止于负电荷；2）电场线永不闭合；3）电场线永不相交.+-++-++q-q2023/9/39.3.2电通量通过电场中某一曲面的电场线数.1.电场强度通量的定义：2.电场强度通量的计算:1)均匀电场中平面S的法向矢量与场强成

角

平面S与场强垂直则:则:

2023/9/32)非均匀电场中在S上任取一小面元dS,有:非闭合曲面凸为正，凹为负闭合曲面向外为正，向内为负(2)电通量是代数量为正

为负

对闭合曲面:方向的规定：(1)讨论2023/9/39.3.3真空中静电场的高斯定理CarlFriedrichGauss(1777~1855)德国数学家和物理学家高斯定理讨论的是:封闭曲面的电通量与该曲面内包围的电荷之间的关系2023/9/3R+q1.点电荷的情况1)通过以点电荷为球心,

半径为R的球面的电通量:与方向相同,即:对以q为中心而R不同的任意球面而言,其电通量都相等.

推论：2023/9/32)点电荷不位于球面的中心3)点电荷位于任意形状的封闭曲面内结论:

e

与曲面的形状及

q

在曲面内的位置无关.

以q为中心作一球面S’通过S’的电力线都通过S.+qS+qS同理:4)点电荷位于封闭曲面外穿入、穿出S的电力线数相等S’S’2023/9/32.多个点电荷的情况q1q2q3q4q5P根据场强叠加原理:推广:

点电荷系的情况2023/9/33.静电场的高斯定理（Gausstheorem）（不连续分布的带电体）

（连续分布的带电体）

(1)高斯定理反映了静电场的性质——有源场;

在真空静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的所有电量的代数和的倍.

为电荷体密度，V为高斯面所围体积.讨论:(2)

是所有电荷产生的，

e

只与内部电荷有关.2023/9/39.3.4高斯定理的应用球对称柱对称面对称球体球面(点电荷)无限长柱体无限长柱面无限长线无限大的平板无限大的平面

对带电体电荷的分布具有某种对称性的情况下，利用高斯定理求E较为方便.常见均匀带电体的对称性：

2023/9/3利用高斯定理解题的一般步骤：

2)选择适当的闭合曲面（高斯面）

3)计算4)计算1)分析电场所具有的对称性质5)由求E.2023/9/3

R求均匀带电球体内、外任一点的场强.(已知球体半径为R,带电量为Q,

电荷体密度为

)例:解：（1）求球体外任一点的场强(

r≥R)r作如图所示高斯面,由高斯定理有:电场分布具有球对称性2023/9/3

R（2）求球体内任一点的场强r（r<R）rER作如图所示高斯面,由高斯定理有:

若为一均匀带电球面，总电量为Q，半径为R,结果又如何?电场分布曲线2023/9/3求无限长均匀带电直线在空间任一点的场强.（已知线电荷密度为）例:rlP解:电场分布具有柱对称性过直线外任一点P作一个以带电直线为轴，以l为高的圆柱形闭合曲面S作为高斯面.r2023/9/3解:电场分布具有面对称性

选取一个圆柱形高斯面已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为

.电场强度分布求:例:xOEx电场分布曲线2023/9/3例:已知一厚度为d的无限大平板电荷体密度为

.板外：板内：解:选取如图的圆柱面为高斯面求:电场强度分布

dSSdxxOEx电场分布具有面对称性

电场分布曲线2023/9/3选取高斯面的原则：

2)高斯面是简单的几何面（球面、圆柱面或长方体面等）或是它们的组合；3)选取高斯面时，可以将E从积分号内提出.1)所求的场点必须在高斯面上；2023/9/39.4静电场力的功真空中静电场的环路定理9.4.1静电场力做功的特点1.单个点电荷产生的电场中BAL

q0OC电场力对q0作的元功为：已知点电荷的电场强度为：由图中几何关系：2023/9/32.点电荷系产生的电场中电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有:ABL••由场强叠加原理:(与路径无关)(与路径无关)同理:

对连续分布带电体可得同样结果.2023/9/3

结论

一试验电荷q0在静电场中从一点沿任意路径运动到另一点时,静电场力对它所做的功,仅与试验电荷q0

及路径的起点和终点的位置有关,而与该路径的形状无关.

静电力——保守力;

静电场——保守力场

ABL••2023/9/39.4.2静电场的环路定理在静电场中,沿闭合路径移动q0,电场力做功可表示为：BDAC——静电场的环路定理

在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分(环流)为零.2023/9/3(1)环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场.不是静电场abcd讨论(2)环路定理要求电力线不能闭合.(3)静电场是有源、无旋场，可引进电势能.2023/9/39.5电势9.5.1电势能力学保守力场引入势能静电场保守力场引入静电势能重力等力静电场力取势能零点:E“0”=0q0在电场中某点A的电势能：点电荷q0在电场中某点处电势能,在数值上等于把它从该点移到零势能处静电场力所做的功.表明：2023/9/3(1)电势能应属于q0

和产生电场的源电荷系统共有;说明(3)选势能零点原则：(2)电荷在某点电势能的值与零点选取有关,而两点的差值与零点选取无关;•实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点.•当(源)电荷分布在有限范围内时，势能零点一般选在无穷远处;•无限大带电体势能零点一般选在有限远处一点;2023/9/3试计算在带电量为Q的点电荷所产生的静电场中，电量为q

的点电荷在A点处的电势能.解：例:qAQ2023/9/39.5.2电势和电势差比值与试验电荷无关,反映了电场在A

点的性质.定义A点的电势UA：

在电场中某一点A的电势UA,在数值上等于把单位正试验电荷从点A移到势能零点处时,静电场力所做的功.表明：1.电势电势的单位为J/C，称为伏特，记作V.2023/9/32.电势差（电压）电场中点Ａ和点B两点间的电势差(电压)为:

静电场中A、B两点的电势差UAB,在数值上等于把单位正试验电荷从点A移到点B时,静电场力所做的功.表明：把q从点A移到点B

时，静电场力做的功可表示为:2023/9/3如图所示,在带电量为

Q

的点电荷所产生的静电场中，有一带电量为q

的点电荷.解:选无穷远为电势能零点q在a点和

b点的电势能.求:例:选

C点为电势能零点两点的电势能差：bacQ2023/9/39.5.3点电荷的电势电势的叠加原理

取无限远处为零电势参考点，a点电势为：(1)q>0：各点的电势为正，离q愈远电势愈低，在无限远处电势最低并为零；(2)

q<0：各点的电势为负，离q愈远电势愈高，在无限远处电势最高并为零.讨论：电力线的方向指向电势降落的方向1.点电荷电场中的电势2023/9/32.电势叠加原理(1)对q1、q2、

qn构成的点电荷系:a

点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点建立的电势的代数和.——电势叠加原理2023/9/3(2)电荷连续分布带电体电场中的电势

任取一电荷元dq，a点的电势为:说明(2)选电势为零的参考点原则：(1)电荷在某点电势的值与电势为零的参考点选取有关,而两点的差值与电势为零的参考点选取无关;•实际应用中取大地、仪器外壳等的电势为零.•当(源)电荷分布在有限范围内时，电势为零的参考点一般选在无穷远处;•无限大带电体电势为零的参考点一般选有限远处一点;2023/9/39.5.4电势的计算方法（2）已知电荷分布（1）已知场强分布2023/9/3

(1)O点到四个顶点的距离均为:

例:求:(1)正方形中心O处的电势；(2)如果将试验电荷q0从无限远处移到O点，电场力做功多少？四个电量均为q的点电荷，分别放在边长为a的正方形的四个顶点上.解：(2)2023/9/3均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为

.解:建立如图坐标系，选取电荷元dq.例:圆环轴线上一点的电势.求:RPOxdqr2023/9/3P0Rx求圆盘轴上一点的电势.drr取微元:例:解：当x>>R时,2023/9/3例：求均匀带电球壳的电场的电势分布.解：设无限远处为电势零点,则距离球心rP的P点处电势为：R根据高斯定理可得：2023/9/3讨论：(1)球壳内任一点的电势与球壳的电势相等(等势);(2)球壳外的电势与球壳上的电荷集中于球心的点电荷的电势相同.2023/9/3半径为R，带电量为q的均匀带电球体.解:根据高斯定理可得：求:带电球体的电势分布.例:++++++RrP对球外一点P：

对球内一点P1：P1rUR2023/9/3

求电荷线密度为

的无限长带电直线的电势分布.解：

分析:

选择某一定点为电势零点,

现选距离线长为a处的P0点为电势0点.rP0a例:2023/9/39.6电场强度和电势的关系9.6.1等势面电场中电势相等的点所构成的面称为等势面.等势面的性质:(1)

沿等势面移动电荷,电场力不做功;(2)

等势面处处与电场线正交;q

0E

0dl

0(3)

等势面稠密处

——电场强度大.规定:

电场中任意两个相邻等势面之间的电势差都相等

2023/9/3点电荷+等量异号点电荷+-匀强电场平行板电容器2023/9/39.6.2电场强度与电势梯度取两个相邻的等势面，等势面法线方向为把点电荷从P移到Q，电场力做功为：，设的相同，方向与UU+dUPQ任意一场点P处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减小的方向。2023/9/3在直角坐标系中:另一种理解:电势沿等势面法线方向的变化率最大.

电场强度在l方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值.2023/9/3

某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电场强度与电势梯度的关系.例:求:（2，3，0）点的电场强度.

已知:解:2023/9/3讨论：(3)电势为零处,场强不一定为零；场强为零处，电势也不一定为零;(1)静电场各点场强的大小等于该点电势空间变化率的最大值，方向垂直于等势面指向电势降落的方向;(2)在电势不变的空间,电势梯度为零,则场强必为零;(4)为我们了提供一种计算场强的方法.2023/9/3静电场的基本定律——库仑定律静电场的两条基本定理——高斯定理和环路定理描述静电场的两个基本物理量——电场强度和电势本章主要内容:第9章电荷与真空中的静电场小结2023/9/31.库仑定律矢量形