《概率论》第04章-随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征第一节随机变量的数学期望第二节随机变量的方差第三节协方差与相关系数第四节矩与协方差矩阵习题第一节

随机变量的数学期望

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.

最常用的数字特征数学期望方差协方差及相关系数矩一、离散型随机变量的数学期望1、概念的引入：我们来看一个引例.

例

某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？我们先观察小张100天的生产情况

(假定小张每天至多出三件废品)若统计100天的结果是：

32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;

可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.可以得到n天中每天的平均废品数为

一般来说,若统计n天的结果是：

n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.以频率为权的加权平均

当N很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为以概率为权的

加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值

.定义1

设X是离散型随机变量，它的分布律是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…请注意:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。数学期望简称期望，又称为均值。若级数绝对收敛，则称级数即的和为随机变量X的数学期望，记为,例1

0

1

20.10.20.70120.60.30.1解：例2（泊松分布的期望）到站时刻

8:108:308:509:109:309:50概率1/63/62/6一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.

例3

按规定,某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：

X

1030507090

例4

某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式,记使用寿命为X(以年计),规定: X1,一台付款1500元;

1<X2,一台付款2000元;

2<X3,一台付款2500元;

X>3,一台付款3000元.

设寿命X服从指数分布,概率密度为试求该商店一台收费Y的数学期望.解先求出寿命X落在各个时间区间的概率：一台收费Y的分布律为Y1500200025003000pk0.09520.08610.07790.7408得E(Y)=2732.15即平均一台收费2732.15元.定义2

设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果积分绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望,即请注意:

连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.二、连续型随机变量的数学期望例5（均匀分布的期望）

例6若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计)N的数学期望.的分布函数为(1)当X为离散型时,它的分布律为P(X=xk)=pk;(2)当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若定理

设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)三、随机变量函数的数学期望该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.推广到两个或两个以上随机变量的函数：例7例8

课堂练习:

设随机变量X的概率密度为解:Y是随机变量X的函数,四、数学期望的性质

1.设C是常数，则E(C)=C;

4.设X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（诸Xi相互独立时）请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立性质3和性质4的证明例9

一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立)五、数学期望性质的应用按题意注意这种解题思路：先将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望.练习：把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.由于E(Xk)=P(Xk=1)解:设巧合个数为X，引入

k=1,2,…,n则故例11

设一电路中电流I(A)与电阻R(W)是两个相互独立的随机变量,其概率密度为试求电压V=IR的均值.解：第二节

随机变量的方差

上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：哪台仪器好一些呢？

甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近

乙仪器测量结果又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.

中心中心由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.一、方差的定义设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在,称E[(X-E(X)]2为X的方差.记为D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2若X的取值比较分散，则方差D(X)较大.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；因此，D(X)是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。X为离散型，分布律P{X=xk}=pk由定义知，方差是随机变量X的函数

g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.二、方差的计算X为连续型，X概率密度f(x)计算方差的一个简化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

展开证：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性质称X*为X的标准化变量.例1

设随机变量X具有数学期望E(X)=m,方差D(X)=s20.求X*=(X-m)/s的期望和方差.解：例2设随机变量X具有(0-1)分布，其分布率为求D(X).解由公式因此,0-1分布例3解X的分布率为上节已算得因此,对泊松分布有：例4解因此,均匀分布例5设随机变量X服从指数分布,其概率密度为解由此可知,指数分布变量代换三、方差的性质

1.设C是常数,则D(C)=0;

2.若C是常数,则D(CX)=C2

D(X);

3.设X与Y是两个随机变量，则

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

4.

D(X)=0P{X=C}=1,这里C=E(X)性质3的证明：若X,Y相互独立,由数学期望的性质得此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.例6

设X~B(n,p)，求E(X)和D(X).若设i=1,2，…，n

则是n次试验中“成功”的次数下面我们举例说明方差性质的应用.解X~B(n,p),“成功”次数.则X表示n重努里试验中的于是i=1,2，…，n

由于X1,X2,…,Xn

相互独立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=

p(1-p),例7解于是分部积分例如,例8解由于故有四、进阶练习1、设随机变量X服从几何分布，概率分布为P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…其中0<p<1,求E(X),D(X)2、1、解：记

q=1-p求和与求导交换次序无穷递缩等比级数求和公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

+E(X)2、解第三节

协方差与相关系数前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本节要讨论的协方差和相关系数量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y)，即

一、协方差Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定义(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab

Cov(X,Y)a,b

是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(4)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(5)若X与Y独立，Cov(X,Y)=0(6)Cov(X,X)=E(X2)-E(X)2=D(X)(7)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)2.简单性质

证明：由定义得(1)(2)(3)(4)，由(4)得(5)(6)

，由方差性质得(7)。协方差

计算公式协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数

.二、相关系数为随机变量X和Y的相关系数

.定义:

设D(X)>0,D(Y)>0,称在不致引起混淆时，记

为

.相关系数的性质：证:由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y

)令，则上式为

D(Y-bX)=

因方差D(Y)为正,故必有1-≥0,所以||≤1。2.X和Y独立时，

=0，但其逆不真.证：由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y独立.请看下述反例：由X的密度函数例1

设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cosX.因而=0，此时称X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立.存在常数a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1线性相关.考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，以均方误差e=E{[Y-(a+bX)]2}来衡量以a+bX近似表示Y

的好坏程度:e值越小表示a+bX

与Y的近似程度越好.

用微积分中求极值的方法，求出使e

达到最小时的a,b相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得

这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X这一逼近的剩余是若

=0，Y与X无线性关系，即不相关;Y与X以概率1存在线性关系;若若0<|

|<1,|

|的值越接近于1,Y与X的线性相关程度越高;||的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.E[(Y-L(X))2]=D(Y)(1-

)对一般二维随机变量(X,Y)：独立

不相关。对服从二维正态分布的随机变量(X,Y)：书上证明了X,Y的相关系数就是r。前面证明过：X,Y独立

r=0。故：

X,Y独立

X,Y不相关。三、课堂练习1、2、1、解2、解第四节

矩与协方差矩阵一、