数学实验之Pi的近似计算课件

在本次试验中，我们将追溯关于圆周率的计算历程。通过对割圆术、韦达公式、级数加速法、迭代法等计算方法的介绍和计算体验，感受数学思想和数学方法的发展过程，提高对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识，同时使我们看到数学家对科学真理的永无止境的追求。实验目的主页上一页下一页2023/9/3在本次试验中，我们将追溯关于圆周率的计算历程。通过对割主要内容四、利用级数计算二、韦达(VieTa)公式三、数值积分方法一、割圆术六、拉马努金(Ramanujan)公式五、蒙特卡罗(MonteCarlo)法2023/9/3主要内容四、利用级数计算二、韦达(VieTa)公式实验指导

π是使人们最经常使用的数学常数。人们对π的研究已经持续了2500多年。在今天，这种探索还在继续……2023/9/3实验指导π是使人们最经常使用的数学常数。人们对π的研究世界上数学家们一致公认：“历史上一个国家计算圆周率的准确度，可以作为衡量这个国家当时数学水平的一个标志。”实验指导2023/9/3世界上数学家们一致公认：“历史上一个国家计算圆周率的准确π值——算法美的追求

π作为圆周率的符号，是由著名数学家Euler于公元1737年首先使用的。古代的希伯来人，在描述所罗门庙宇中的“熔池”时曾经这样写道：“池为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其周长为三十腕尺。”可见，古希伯来人认为圆周率等于3。不过，那时的建筑师们，似乎没有人不明白，圆周长与直径的比要比3大一些。公元前3世纪古希腊大数学家阿基米德求出了223/71<π

<22/7。2023/9/3π值——算法美的追求π作为圆周率的符号，是由“割圆术”中学问多

我国2000多年前的《周髀算经》称“周三径一”，这是π的第一个近似值，叫做“古率”。据说，汉代大科学家、文学家张衡，有“圆周率一十之面”的推算。清代李潢考证这句话意思为π≈sqrt(10)。魏晋间刘徽由圆内接正六边形依次倍增到正192边形，计算周长与直径之比，得3.141024<π<3.142704实际应用时取3.14，或分数值157/50。2023/9/3“割圆术”中学问多我国2000多年前的《周髀“割圆术”中学问多他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这是比求π值更可宝贵的。从方法上说，他得到了重要的“刘徽不等式”。

设单位圆内接正n边形的边长为an，圆内接正n边形的面积为Sn。根据勾股定理，边长有如下递推公式：2023/9/3“割圆术”中学问多他的割圆术已含有无限逼近的“割之弥细，失之弥少，割之又割，则与圆合体而无所失矣。”面积与边长有如下关系：圆面积S与多边形的面积Sn之间有如下关系：2023/9/3“割之弥细，失之弥少，割之又面积与边长有如下刘徽不等式借助于计算机来完成刘徽的工作：a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2;fori=2:6a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)^2));b(i)=3*2^(i-2)*a(i);

c(i)=2*b(i)-b(i-1);endn=[3,6,12,24,48,96];size(b)result=[n;a;b;c]result’2023/9/3刘徽不等式借助于计算机来完成刘徽的工作：2023/8/1刘徽不等式ans=3.00001.73212.598106.00001.00003.00003.401912.00000.51763.10583.211724.00000.26113.13263.159448.00000.13083.13943.146196.00000.06543.14103.14272023/9/3刘徽不等式ans=2023/8/1割圆术的意义刘徽创立的割圆术，其意义不仅在于计算出了Pi的近似值，而且还在于提供了一种研究数学的方法。这种方法相当于今天的“求积分”，后者经16世纪英国的牛顿和德国的莱布尼茨作系统总结而得名。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称做“中国数学史上的牛顿”，并把他所创造的割圆术称为“徽术”。2023/9/3割圆术的意义刘徽创立的割圆术，其意义不仅在于计算出了Pi韦达（VieTa）公式

1593年，韦达首次给出了计算Pi的精确表达式：韦达公式看起来有些神秘，其实它的导出过程所用的都是朴实简洁的数学方法。2023/9/3韦达（VieTa）公式1593年，韦达首次给出了计算Pi韦达（VieTa）公式1、从sint开始2023/9/3韦达（VieTa）公式1、从sint开始2023/8/1韦达（VieTa）公式所以，对任意N，总有2023/9/3韦达（VieTa）公式所以，对任意N，总有2023/8/1韦达（VieTa）公式2、从cos(pi/4)开始2023/9/3韦达（VieTa）公式2、从cos(pi/4)开始2023/韦达（VieTa）公式3、使用VieTa公式计算Pi的近似值思考：如何利用韦达公式构造出一种迭代算法？2023/9/3韦达（VieTa）公式3、使用VieTa公式计算Pi的近似值数值积分法计算Pi定积分计算出这个积分的数值，也就得到了Pi的值。2023/9/3数值积分法计算Pi定积分计算出这个积分的数值，也就得到了Pi数值积分法计算Pi1、梯形公式2023/9/3数值积分法计算Pi1、梯形公式2023/8/1数值积分法计算Pi2、辛普森（Simpson）公式2023/9/3数值积分法计算Pi2、辛普森（Simpson）公式2023/利用级数计算Pi1、莱布尼茨级数（1674年发现）2023/9/3利用级数计算Pi1、莱布尼茨级数（1674年发现）2023/利用级数计算Pi

1844年，数学家达什在没有计算机的情况下利用此式算出了Pi的前200位小数。使用误差估计式计算一下要精确到Pi的200位小数需要取级数的多少项？2023/9/3利用级数计算Pi1844年，数学家达什在没有计算机的情况利用级数计算Pi2、欧拉的两个级数（1748年发现）这两个级数收敛也非常缓慢，计算时实用价值不大。2023/9/3利用级数计算Pi2、欧拉的两个级数（1748年发现）这两个级利用级数计算Pi3、基于arctanx的级数对泰勒级数即为莱布尼茨级数，直接使用时收敛速度极慢，必须考虑加速算法。2023/9/3利用级数计算Pi3、基于arctanx的级数即为莱布尼茨级利用级数计算Pi观察级数可知，x的值越接近于0，级数收敛越快。由此可以考虑令2023/9/3利用级数计算Pi观察级数可知，x的值越接近于0，级数收敛利用级数计算Pi因此，β＝4α－pi/4非常接近0。2023/9/3利用级数计算Pi因此，β＝4α－pi/4非常接近0。2023利用级数计算Pi加速效果非常明显！2023/9/3利用级数计算Pi加速效果非常明显！2023/8/1蒙特卡罗（MonteCarlo）法单位圆的面积等于Pi，使用蒙特卡罗法，即用随机投点的方法来求出这个面积Pi的近似值。具体方法如下：在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,0)，C(1,1)，B(0,1)为四个顶点作一个正方形，其面积S＝1。以原点O为圆心的单位圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角的扇形，面积为S1＝Pi/4。2023/9/3蒙特卡罗（MonteCarlo）法单位圆的面积等于Pi蒙特卡罗（MonteCarlo）法在这个正方形内随机地投入n个点，设其中有m个点落在单位扇形内。则

想随机投点如何来实现？2023/9/3蒙特卡罗（MonteCarlo）法在这个正方形内随机地蒲丰（Buffon）掷针实验另一种用蒙特卡罗法来计算Pi的方法是1777年法国数学家蒲丰（Buffon）提出的随机掷针实验。其步骤如下：（1）取一张白纸，在上面画出许多间距为d的等距平行线。（2）取一根长度为的均匀直针，随机地向画有平行线的纸上掷去，一共掷n次。观察针和直线相交的次数m。2023/9/3蒲丰（Buffon）掷针实验另一种用蒙特卡罗法来计算Pi蒲丰（Buffon）掷针实验（3）由几何概率知道针和直线相交的概率为，取m/n为p的近似值，则特别取针的长度时，π=n/m。2023/9/3蒲丰（Buffon）掷针实验（3）由几何概率知道针和直线拉马努金（Ramanujan)公式目前，计算pi的一个极其有效的公式为这个级数收敛得非常快，级数每增加一项，可提高大约8位小数的精度。2023/9/3拉马努金（Ramanujan)公式目前，计算pi的一个极拉马努金（Ramanujan)公式

1985年，数学家比尔.高斯帕依使用这个公式在计算机上算出了pi的1750万位小数。这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数学家拉马努金(Ramanujan,1887-1929).2023/9/3拉马努金（Ramanujan)公式1985年，数学家比尔拉马努金（Ramanujan)公式另一个经过改进的计算公式为：级数每增加一项，可提高14位小数的精度。2023/9/3拉马努金（Ramanujan)公式另一个经过改进的计算公迭代公式迭代公式1：1989年，BorWein发现了下列收敛于1/pi的迭代公式：2023/9/3迭代公式迭代公式1：2023/8/1迭代公式迭代误差可以由下式估计迭代4次可精确到693位小数！8次后可以保证精确到小数点178814位！！！2023/9/3迭代公式迭代误差可以由下式估计迭代4次可精确到693位小迭代公式迭代公式2：

1996年，Baiey发现了另一个收敛于1/pi的迭代公式：2023/9/3迭代公式迭代公式2：2023/8/1迭代公式迭代误差可以由下式估计2023/9/3迭代公式迭代误差可以由下式估计2023/8/1结束语随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与创新，计算Pi的世界纪录正在迅速地被刷新。目前，Pi的数值已计算到小数点后2061.5843亿位。这一记录是日本东京大学教授金田康正和他的助手于1999年9月创造的。计算用了37h21min，检验用了46h7min.虽然这样高的精确度已经没有太多的实际意义。但这反映了现代数学科学的日新月异，反映了人类智慧向极限的挑战。2023/9/3结束语随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与创新，计算圆周率的探索者们

Archimedes(BC287-BC212)祖冲之(430-501)

2023/9/3圆周率的探索者们Archimedes(BC287-BC2LudolphvanCeulen(1540-1610)

JohnMachin(1680-1751)

2023/9/3LudolphvanCeulenJohnMachinJohannHeinrichLambert(1728-1777)

Adrien-MarieLegendre(1752-1833)

2023/9/3JohannHeinrichAdrien-MarieLJohannCarlFriedrichGauss(1777-1855)2023/9/3JohannCarl2023/8/1CarlLouisFerdinandvonLindemann(1852-1939)

SrinivasaRamanujan(1887-1920)

2023/9/3CarlLouisFerdinandSrinivasaENIAC(1946)2023/9/3ENIAC(1946)2023/8/1创造者小数点后位数所用方法

-------------------------------------------------------

前2000古埃及人0

前1200中国0

前500

《圣经》

0（周三径一）

前250阿基米德3

263刘徽5古典割圆术

480祖冲之7

1429

Al-Kashi

14

1593

Romanus

15

1596鲁道夫20古典割圆术

1609鲁道夫35

1699夏普71夏普无穷级数

1706马青100马青公式

1719德·拉尼[法]

127(112位正确)夏普无穷级数

1794乔治·威加[奥地利]

140欧拉公式

1824威廉·卢瑟福[英]

208(152位正确)勒让德公式

1844

Strassnitzky&Dase

200

1847

Clausen

248

1853

Lehmann

261

1853

Rutherford

440

1874威廉·山克斯707(527位正确)

2023/9/3创造者小数点后位数所用方法

--------------20世纪后

年月纪录创造者所用机器小数点后位数

1946弗格森[英]

620

19471弗格森[英]

710

19479

Ferguson&Wrench

808

1949

Smith&Wrench

1,120

1949

Reitwiesneretal

ENIAC

2,037

1954

Nicholson&Jeenel

NORC

3,092

1957

FeltonPegasus

7,480

19581

Genuys

IBM704

10,000

19585

FeltonPegasus

10,021

1959

Guilloud

IBM704

16,167

1961

Shanks&Wrench

IBM7090

100,265

1966

Guilloud&Filliatre

IBM7030

250,000

1967

Guilloud&Dichampt

CDC6600

500,000

1973

Guilloud&Bouyer

CDC7600

1,001,250

1981

Miyoshi&Kanada

FACOMM-200

2,000,036

1982

Guilloud

2,000,050

1982

Tamura

MELCOM900II

2,097,144

1982

Tamura&Kanada

HITACHIM-280H

4,194,288

1982

Tamura&Kanada

HITACHIM-280H

8,388,576

1983

Kanada,Yoshino&Tamura

HITACHIM-280H

16,777,206

198510

Gosper

Symbolics3670

17,526,200

2023/9/320世纪后

年月纪录创造者所用机器小数点后位数

1919861

Bailey

CRAY-2

29,360,111

19869

Kanada&Tamura

HITACHIS-810/20

33,554,414

198610

Kanada&Tamura

HITACHIS-810/20

67,108,839

19871

Kanada,Tamura&Kubo

etalNE