同济第六版《高等数学》备课教案整编-第12章微分方程

_第十二章 微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。感谢阅读2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。感谢阅读3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。精品文档放心下载4．会用降阶法解下列微分方程：y(n)f(x)， yf(x,y)和yf(y,y)感谢阅读5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微感谢阅读分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性精品文档放心下载微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。感谢阅读9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。感谢阅读教学重点：1、 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、 可降阶的高阶微分方程y(n)f(x)， yf(x,y)和yf(y,y)谢谢阅读_3、 二阶常系数齐次线性微分方程；4、 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线感谢阅读性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微谢谢阅读分方程的特解。4、欧拉方程§121 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性谢谢阅读进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不精品文档放心下载能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其精品文档放心下载导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函精品文档放心下载数来这就是解微分方程_例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方精品文档放心下载程解设所求曲线的方程为yy(x)根据导数的几何意义可知未知函数yy(x)应满足关系式感谢阅读(称为微分方程)dy2x(1)dx此外未知函数yy(x)还应满足下列条件x1时y2简记为y|x12(2)把(1)式两端积分得(称为微分方程的通解)y2xdx即yx2C(3)其中C是任意常数把条件“x1时y2”代入(3)式得212C由此定出C1把C1代入(3)式得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)谢谢阅读yx21例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度感谢阅读04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?谢谢阅读解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数精品文档放心下载ss(t)应满足关系式_d2s0.4(4)dt2此外未知函数ss(t)还应满足下列条件t0时s0vds20简记为s|t0=0s|t0=20(5)dt把(4)式两端积分一次得vds0.4tC(6)dt1再积分一次得s02t2CtC(7)12这里C1C2都是任意常数把条件v|t020代入(6)得20C1把条件s|t00代入(7)得0C2把C1C2的值代入(6)及(7)式得v04t20(8)s02t220t (9)在(8)式中令v0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间谢谢阅读t020.450(s)再把t50代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程精品文档放心下载s025022050500(m)_解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米s04并且s|t0=0s|t0=20感谢阅读把等式s04两端积分一次得s04tC1即v04tC1(C1是任意常数)精品文档放心下载再积分一次得s02t2C1tC2(C1C2都C1是任意常数)由v|t020得20C1于是v04t20由s|t00得0C2于是s02t220t精品文档放心下载令v0得t50(s)于是列车在制动阶段行驶的路程谢谢阅读s025022050500(m)几个概念微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程感谢阅读常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程谢谢阅读偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程精品文档放心下载微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶感谢阅读x3yx2y4xy3x2y(4)4y10y12y5ysin2x感谢阅读_y(n)10一般n阶微分方程F(xyy y(n))0谢谢阅读y(n)f(xyyy(n1))精品文档放心下载微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微谢谢阅读分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上精品文档放心下载F[x(x)(x)(n)(x)]0精品文档放心下载那么函数y(x)就叫做微分方程F(xyyy(n))0在区间I上的解谢谢阅读通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样感谢阅读的解叫做微分方程的通解初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如xx0时yy0yy0精品文档放心下载一般写成yyyyxx0xx000特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解感谢阅读初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题感谢阅读如求微分方程yf(xyf(x,y)y y xx0 0

y)满足初始条件y y的解的问题记为xx0 0_积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线精品文档放心下载例3验证函数xC1cosktC2sinkt是微分方程d2xk2x0dt2的解解求所给函数的导数dxkCsinktkCcosktdt12d2xk2Ccosktk2Csinktk2(CcosktCsinkt)dt21212将d2x及x的表达式代入所给方程得dt2k2(C1cosktC2sinkt)k2(C1cosktC2sinkt)0谢谢阅读这表明函数xC1cosktC2sinkt满足方程d2xk2x0因此所给函数是所给方程的解谢谢阅读dt2例4已知函数xCcosktCsinkt(k0)是微分方程d2xk2x0的通解求满足初始条件12dt2x|t0Ax|t00的特解解 由条件x|t0A及xC1cosktC2sinkt得感谢阅读C1A再由条件x|t00及x(t)kC1sinktkC2coskt得感谢阅读_C20把C1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中得谢谢阅读xAcoskt§122 可分离变量的微分方程观察与分析1求微分方程y2x的通解为此把方程两边积分得感谢阅读yx2C一般地方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数)谢谢阅读2求微分方程y2xy2的通解因为y是未知的所以积分2xy2dx无法进行方程两边直接积分不能求出通解为求通解可将方程变为1dy2xdx两边积分得y21x2C或y1yx2C可以验证函数y1是原方程的通解x2C一般地如果一阶微分方程y(x,y)能写成精品文档放心下载g(y)dyf(x)dx形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程感谢阅读_G(y)F(x)C由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解感谢阅读对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(xy)dxQ(xy)dy0在这种方程中变量x与y是对称的若把x看作自变量、y看作未知函数则当Q(x,y)0时有谢谢阅读dy P(x,y) dx Q(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数则当P(x,y)0时有感谢阅读dx Q(x,y)dy P(x,y)可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))谢谢阅读的形式就是说能把微分方程写成一端只含y的函数和dy另一端只含x的函数和dx那么原感谢阅读方程就称为可分离变量的微分方程讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)yxy是ydyxdx212(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx_(3)(x2y2)dxxydy=0 不是(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)谢谢阅读(5)y10xy 是10ydy10xdx谢谢阅读(6)xy不是yyx可分离变量的微分方程的解法第一步 分离变量

将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式第二步 两端积分

g(y)dy

f(x)dx

设积分后得G(y)F(x)C第三步 求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)谢谢阅读G(y)F(x)Cy(x)或x(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解精品文档放心下载例1求微分方程dydx2xy的通解解 此方程为可分离变量方程分离变量后得dy2xdxy两边积分得1ydy2xdxln|y|x2C1从而 yex2C1eC1ex2谢谢阅读因为eC1仍是任意常数把它记作C便得所给方程的通解谢谢阅读yCex2_解 此方程为可分离变量方程分离变量后得dy2xdxy两边积分得1ydy2xdxln|y|x2lnC从而 yCex2例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0时铀的含量为M0求在精品文档放心下载衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dMdt谢谢阅读由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程dMdtM其中(>0)是常数前的曲面号表示当t增加时M单调减少即dMdt0精品文档放心下载由题意初始条件为M|t0M0将方程分离变量得dMMdt两边积分得dMM()dt精品文档放心下载_即MtCMCe由初始条件得M0Ce0C所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et感谢阅读例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度感谢阅读为零求降落伞下落速度与时间的函数关系解 设降落伞下落速度为v(t)降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)根据牛顿第二谢谢阅读运动定律Fma得函数v(t)应满足的方程为精品文档放心下载mdvmgkvdt初始条件为v|t00方程分离变量得dvdtmgkvm两边积分得dvdtmgkvmk1ln(mgkv)mtC1vmgCemkt(CekC1)精品文档放心下载kk将初始条件v|t00代入通解得Cmgk于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vmgk(1emkt)例4求微分方程dydx1xy2xy2的通解谢谢阅读_解方程可化为dydx(1x)(1y2)分离变量得dy(1x)dx1y2两边积分得1dy(1x)dx即arctany1x2xC1y22于是原方程的通解为ytan(12x2xC)感谢阅读例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时精品文档放心下载容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律感谢阅读解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算精品文档放心下载QdVdt0.62S2gh其中062为流量系数S为孔口横截面面积g为重力加速度现在孔口横截面面积S1cm2故精品文档放心下载dVdt0.622gh或dV0.622ghdt精品文档放心下载另一方面设在微小时间间隔[ttdt]内水面高度由h降至hdh(dh0)则又可得到精品文档放心下载dVr2dh其中r是时刻t的水面半径右端置负号是由于dh0而dV0的缘故又因谢谢阅读r1002(100h)2 200hh2精品文档放心下载所以 dV(200hh2)dh_通过比较得到0.622ghdt(200hh2)dh感谢阅读这就是未知函数hh(t)应满足的微分方程此外开始时容器内的水是满的所以未知函数hh(t)还应满足下列初始条件精品文档放心下载h|t1000将方程0.622ghdt(200hh2)dh分离变量后得精品文档放心下载dt(200h1h30.6222)dh2g两端积分得t130.62(200h2h2)dh2g即t(400h32h50.6222)C2g35其中C是任意常数由初始条件得t(4001003250.6221002)C2g35C(400000200000)141050.622g350.622g15因此t350.62(7105103h23h2)2g_上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系谢谢阅读§123齐次方程齐次方程如果一阶微分方程dyf(x,y)中的函数f(x,y)可写成dxy的函数即f(x,y)(y)则称这方程为齐次方程xx下列方程哪些是齐次方程？(1)xyyy2x20是齐次方程dyyy2x2dyy(y)21dxxdxxx(2)1x2y1y2不是齐次方程dy1y2dx1x2xdxxydydyx2y2dyxy(3)(2y2)0是齐次方程dxxydxyx(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程dy2xy4dxxy1(2xshy3ychy)dx3xchydy0是齐次方程精品文档放心下载xxxyydy2xshx3ychxdy2thyydxydx3xx3xchx齐次方程的解法_在齐次方程dydx(xy)中令uxy即yux有精品文档放心下载uxdudx(u)分离变量得dudx(u)ux两端积分得dudx(u)ux求出积分后再用xy代替u便得所给齐次方程的通解谢谢阅读例1解方程y2x2dyxydydxdx解原方程可写成dyy2(y)2xdxxyx2yx1因此原方程是齐次方程令xyu则yuxdydudxuxdx于是原方程变为duu2uxdxu1xdudxuu1分离变量得(1u1)dudxx_两边积分得uln|u|Cln|x|或写成ln|xu|uCy代上式中的u便得所给方程的通解xln|y|xyC例2有旋转曲面形状的凹镜假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与感谢阅读旋转轴平行求这旋转曲面的方程解设此凹镜是由xOy面上曲线Lyy(x)(y>0)绕x轴旋转而成光源在原点在L上任取一点感谢阅读M(x,y)作L的切线交x轴于A点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线由光学及几谢谢阅读何原理可以证明OAOM因为

OAAPOPPMcot

OP

yyxOMx2y2于是得微分方程yxx2y2y整理得dxx(x)21这是齐次方程dyyy问题归结为解齐次方程dxx(x)21dyyy令xv即xyv得vydvvv21ydy即ydvv21dy分离变量得dvdyyv21_两边积分得ln(vv21)lnylnC,vv21y,(yv)2v21,CCy22yv1C2C以yvx代入上式得y22C(xC)2这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为谢谢阅读y2z22C(xC2)这就是所求的旋转曲面方程例3设河边点O的正对岸为点A河宽OAh两岸为平行直线水流速度为a有一鸭子谢谢阅读从点A游向点O设鸭子的游速为b(b>a)且鸭子游动方向始终朝着点O求鸭子游过的迹线精品文档放心下载的方程例3设一条河的两岸为平行直线水流速度为a有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O设感谢阅读鸭子的游速为b(b>a)且鸭子游动方向始终朝着点O已知OAh求鸭子游过的迹线的方程谢谢阅读解取O为坐标原点河岸朝顺水方向为x轴y轴指向对岸设在时刻t鸭子位于点P(x,y)谢谢阅读则鸭子运动速度(,v)(dx,dy)故有dxvxdtdtdyvyxy另一方面vab(a,0)b(x,y)v(abx,by)x2y2x2y2x2y2x2y2因此dxvxa(x)21x即dxa(x)21xdyvbyydybyyy_问题归结为解齐次方程dxa(x)21xdybyyxyu即xyu得yduau21dyb分离变量得duadyu21by两边积分得arshuba(lnylnC)谢谢阅读将uxy代入上式并整理得x21C[(Cy)1ba(Cy)1ba]谢谢阅读以x|yh0代入上式得C1h故鸭子游过的轨迹方程为谢谢阅读xh[(y1ay1a]0yh2)b(h)bhuxy代入arshuba(lnylnC)后的整理过程精品文档放心下载arshxyba(lnylnC)xyshln(Cy)baxy12[(Cy)ba(Cy)ba]精品文档放心下载x2y[(Cy)ba(Cy)ba]x21C[(Cy)1ba(Cy)1ba]谢谢阅读§12.4线性微分方程一、 线性方程线性方程_方程dydxP(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程谢谢阅读如果Q(x)0则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程谢谢阅读方程dydxP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程dydxP(x)yQ(x)的齐次线性方程感谢阅读下列方程各是什么类型方程？(x2)dydxydydxx12y0是齐次线性方程精品文档放心下载3x25x5y0y3x25x是非齐次线性方程感谢阅读yycosxesinx是非齐次线性方程精品文档放心下载dydx10xy不是线性方程(5)(y1)2dyx30dyx30或dx(y1)2dxdx(y1)2dy不是线性方程x3齐次线性方程的解法齐次线性方程dydxP(x)y0是变量可分离方程分离变量后得谢谢阅读dyyP(x)dx两边积分得ln|y|P(x)dxC1yCeP(x)dx(CeC1)这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）例1 求方程(x2)dyy的通解感谢阅读dx_dydxy x2两边积分得ln|y|ln|x2|lnC方程的通解为yC(x2)非齐次线性方程的解法将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x)把谢谢阅读u(x)eP(x)dx设想成非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得精品文档放心下载u(x)eP(x)dxu(x)eP(x)dxP(x)P(x)u(x)eP(x)dxQ(x)化简得u(x)Q(x)eP(x)dxu(x)Q(x)eP(x)dxdxC谢谢阅读于是非齐次线性方程的通解为yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdxC]精品文档放心下载yCeP(x)dxeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx谢谢阅读非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和精品文档放心下载例2求方程dy2y(x1)52的通解感谢阅读dx x1解 这是一个非齐次线性方程_先求对应的齐次线性方程dy2y0的通解感谢阅读dx x1分离变量得dyyx2dx1两边积分得lny2ln(x1)lnC齐次线性方程的通解为yC(x1)2用常数变易法把C换成u即令yu(x1)2代入所给非齐次线性方程得精品文档放心下载2 5u(x1)22u(x1) u(x1)2(x1)2谢谢阅读x11u(x1)2两边积分得u32(x1)32C再把上式代入yu(x1)2中即得所求方程的通解为感谢阅读(x1)2[23(x1)32C]感谢阅读解这里P(x)2Q(x)(x1)52x1因为P(x)dx(2)dx2ln(x1)x1eP(x)dxe2ln(x1)(x1)2Q(x)eP(x)dxdx(x1)52(x1)2dx(x1)12dx2(x1)233_所以通解为eP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdxC](x1)2[23(x1)32C]谢谢阅读例3有一个电路如图所示其中电源电动势为E Emsin t(Em、 都是常数)电阻R和感谢阅读电感L都是常量求电流i(t)解 由电学知道当电流变化时L上有感应电动势Ldtdi由回路电压定律得出感谢阅读ELdiiR0dt即diREdtLiL把EEmsint代入上式得diRiEmsintdtLL初始条件为i|t00方程diRiEmsint为非齐次线性方程其中dtLLP(t)RQ(t)EmsintLL由通解公式得()eP(t)dt[()P(t)dt]eRdt(EmRdtdtC)itQtedtCLLsinteLELmeRLt(sinteRLtdtC)精品文档放心下载Em(RsintLcost)CeRLtR22L2其中C为任意常数_将初始条件i|t00代入通解得CLEm222RL因此所求函数i(t)为i(t)LEmeRLtEm(RsintLcost)R22L2R22L2二、伯努利方程伯努利方程方程dydxP(x)yQ(x)yn(n01)感谢阅读叫做伯努利方程下列方程是什么类型方程？dydx13y13(12x)y4是伯努利方程感谢阅读dydxyxy5dydxyxy5是伯努利方程谢谢阅读yxyxyy1xyxy1是伯努利方程感谢阅读dydx2xy4x是线性方程不是伯努利方程精品文档放心下载伯努利方程的解法以yn除方程的两边得yndydxP(x)y1nQ(x)令z y1 n 得线性方程dz(1n)P(x)z(1n)Q(x)感谢阅读dx解以y2除方程的两端得_即令zy1

y2dydx1xy1alnx谢谢阅读d(y1)1y1alnxdxx谢谢阅读则上述方程成为dxdz1xzalnx这是一个线性方程它的通解为zx[Ca2(lnx)2]以y1代z得所求方程的通解为yx[Ca2(lnx)2]1经过变量代换某些方程可以化为变量可分离的方程或化为已知其求解方法的方程精品文档放心下载例5 解方程dydxx1y解 若把所给方程变形为dydxxy即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解但这里用变量代换来解所给方程谢谢阅读令xyu则原方程化为dudx1u1即dudxuu1感谢阅读分离变量得dudxu1两端积分得_uln|u1|xln|C|以uxy代入上式得yln|xy1|ln|C|或xCeyy1感谢阅读§125 全微分方程全微分方程一个一阶微分方程写成P(x,y)dxQ(x,y)dy0形式后如果它的左端恰好是某一个函数uu(x,y)的全微分谢谢阅读du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy精品文档放心下载那么方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0就叫做全微分方程这里感谢阅读uxP(x,y)uyQ(x,y)精品文档放心下载而方程可写为du(x,y)0全微分方程的判定若P(x,y)、Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数且谢谢阅读P Q y x则方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0是全微分方程感谢阅读全微分方程的通解_若方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0是全微分方程且谢谢阅读du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy感谢阅读则 u(x,y)CxP(x,y)dxyQ(x0,y)dxC((x0,y0)G)谢谢阅读x0 y0是方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0的通解感谢阅读例1求解(5x43xy2y3)dx(3x2y3xy2y2)dy0谢谢阅读解这里Py6xy3y2Qx所以这是全微分方程取(x0,y0)(0,0)有谢谢阅读u(x,y)x(5x43xy2y3)dxyy2dy谢谢阅读0 0x532x2y2xy313y3感谢阅读于是方程的通解为x532x2y2xy313y3C精品文档放心下载积分因子若方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0不是全微分方程但存在一函数精品文档放心下载(x,y)((x,y)0)使方程感谢阅读(x,y)P(x,y)dx(x,y)Q(x,y)dy0精品文档放心下载是全微分方程则函数(x,y)叫做方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0的积分因子谢谢阅读例2通过观察求方程的积分因子并求其通解:_(1)ydxxdy0(2)(1xy)ydx(1xy)xdy0解(1)方程ydxxdy0不是全微分方程谢谢阅读因为d(x)ydxxdyy y2所以1是方程ydxxdy0的积分因子于是精品文档放心下载y2ydxxdy0是全微分方程所给方程的通解为xCy2y(2)方程(1xy)ydx(1xy)xdy0不是全微分方程精品文档放心下载将方程的各项重新合并得(ydxxdy)xy(ydxxdy)0再把它改写成d(xy)x2y2(dxxdyy)0谢谢阅读这时容易看出 1 为积分因子乘以该积分因子后方程就变为精品文档放心下载(xy)2d(xy)dxdy0(xy)2 x y积分得通解1ln|x|lnC即x1Cexyxyyy_我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程yP(x)yQ(x)谢谢阅读可以验证(x)eP(x)dx是一阶线性方程yP(x)yQ(x)的一个积分因子在一阶线性方程的谢谢阅读两边乘以(x)eP(x)dx得yeP(x)dxyP(x)eP(x)dxQ(x)eP(x)dx精品文档放心下载yeP(x)dxy[eP(x)dx]Q(x)eP(x)dx谢谢阅读亦即[yeP(x)dxP(x)dx]Q(x)e两边积分便得通解yeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC谢谢阅读yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdxC]感谢阅读3用积分因子求dydx2xy4x的通解感谢阅读方程的积分因子为(x)e2xdxex2方程两边乘以ex2得ye2xey4xe即(ey)4xex2x2x2x2x2于是 ex2y4xex2dx2ex2C谢谢阅读因此原方程的通解为y4xex2dx2Cex2感谢阅读_§126可降阶的高阶微分方程一、y(n)f(x)型的微分方程解法 积分n次y(n1)f(x)dxC1y(n2)[f(x)dxC1]dxC2感谢阅读例1求微分方程ye2x cosx的通解感谢阅读解对所给方程接连积分三次得y12e2xsinxC1y14e2xcosxC1xC2精品文档放心下载y18e2xsinx12C1x2C2xC3精品文档放心下载这就是所给方程的通解y12e2xsinx2C1y14e2xcosx2C1xC2谢谢阅读y81e2xsinxC1x2C2xC3谢谢阅读这就是所给方程的通解例2质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动设力F仅是时间t的函数FF(t)在感谢阅读_开始时刻t0时F(0)F0随着时间t的增大此力F均匀地减小直到tT时F(T)0如果开始时质点位于原点且初速度为零求这质点的运动规律精品文档放心下载解设xx(t)表示在时刻t时质点的位置根据牛顿第二定律质点运动的微分方程为感谢阅读d2xF(t)dt2由题设力F(t)随t增大而均匀地减小且t0时F(0)F0所以F(t)F0kt又当tT时F(T)0谢谢阅读从而F(t)F0(1Tt)于是质点运动的微分方程又写为d2xF0(1t)dt2 m T其初始条件为x|0dx|0t0dtt0把微分方程两边积分得dxdtFm0(t2tT2)C1精品文档放心下载再积分一次得xFm0(12t26tT3)C1tC2精品文档放心下载由初始条件x|t00dx|0dtt0得C1C20于是所求质点的运动规律为xFm0(12t26tT3)0tT谢谢阅读_解设xx(t)表示在时刻t时质点的位置根据牛顿第二定律质点运动的微分方程为mxF(t)由题设F(t)是线性函数且过点(0F0)和(T0)感谢阅读F(t)t1即F(t)F(1t)谢谢阅读F0T0T于是质点运动的微分方程又写为xFm0(1Tt)其初始条件为x|t00x|t00把微分方程两边积分得xFm0(t2tT2)C1再积分一次得xFm0(12t26tT3)C2谢谢阅读由初始条件x|t00x|t00得C1C20于是所求质点的运动规律为xFm0(12t26tT3)0tT感谢阅读二、yf(xy)型的微分方程_解法设yp则方程化为pf(xp)设pf(xp)的通解为p (xC1)则谢谢阅读dydx(x,C1)原方程的通解为y(x,C1)dxC2例3求微分方程(1 x2)y2xy满足初始条件y|x01y|x03的特解解所给方程是yf(xy)型的设yp代入方程并分离变量后有感谢阅读dp2xdxp 1x2两边积分得ln|p|ln(1x2)C即 pyC1(1x2) (C1eC)由条件y|x03得C13所以 y3(1x2)_两边再积分得yx33xC2又由条件y|x1得C10 2于是所求的特解为yx33x1例4设有一均匀、柔软的绳索两端固定绳索仅受重力的作用而下垂试问该绳索在平衡谢谢阅读状态时是怎样的曲线?三、yf(yy)型的微分方程解法设yp有dpdpdydpydxdydxpdy原方程化为pdpdyf(y,p)设方程pdpf(y,p)的通解为yp(yC1)则原方程的通解为dydy(y,C1)xC2例5求微分yy y20的通解解设yp则ypdpdy精品文档放心下载代入方程得ypdpdyp20_在y0、p0时约去p并分离变量得谢谢阅读dp dypy两边积分得ln|p|ln|y|lnc即 pCy或yCy(Cc)再分离变量并两边积分便得原方程的通解为ln|y|Cxlnc1或 yC1eCx(C1c1)例5求微分yy y20的通解解设yp则原方程化为ypdpdyp20当y0、p0时有dp1p0dyy于是p1dyCyey1即yC1y0从而原方程的通解为yC2eC1dxC2eC1x_例6一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面求它落感谢阅读到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）§127 高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例1设有一个弹簧上端固定下端挂一个质量为m的物体取x轴铅直向下并取物体感谢阅读的平衡位置为坐标原点给物体一个初始速度v00后物体在平衡位置附近作上下振动在振动过程中物体的位置精品文档放心下载x是t的函数xx(t)设弹簧的弹性系数为c则恢复力fcx又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比比例系数为则感谢阅读Rdxdt由牛顿第二定律得md2xcxdxdt2 dt移项并记2nmk2mc谢谢阅读则上式化为d2x2ndxk2x0dt2dt这就是在有阻尼的情况下物体自由振动的微分方程如果振动物体还受到铅直扰力_FHsinpt的作用则有d2x2ndxk2xhsinpt谢谢阅读dt2 dt其中hHm这就是强迫振动的微分方程例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路其中R、L、及C为常谢谢阅读数电源电动势是时间t的函数EEmsint这里Em及也是常数精品文档放心下载设电路中的电流为i(t)电容器极板上的电量为q(t)两极板间的电压为uc自感电动势为EL由感谢阅读电学知道idquqELdidtcCLdt根据回路电压定律得ELdiqRi0dtC即LCd2ucRCducuEsintdt2dtcm或写成d2uc2duc2uEmsintdt2dt0cLC其中R1这就是串联电路的振荡方程2L0LC如果电容器经充电后撤去外电源(E0)则上述成为d2uc2duc2u0dt2dt0c二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为_yP(x)yQ(x)yf(x)若方程右端f(x)0时方程称为齐次的否则称为非齐次的感谢阅读二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程yP(x)yQ(x)y0即d2yP(x)dyQ(x)y0感谢阅读dx2 dx定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解其中C1、C2是任意常数齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理证明[C1y1C2y2]C1y1C2y2精品文档放心下载[C1y1C2y2]C1y1C2y2谢谢阅读因为y1与y2是方程yP(x)yQ(x)y0所以有谢谢阅读y1P(x)y1Q(x)y10及y2P(x)y2Q(x)y20谢谢阅读从而 [C1y1C2y2]P(x)[C1y1C2y2]Q(x)[C1y1C2y2]精品文档放心下载C1[y1P(x)y1Q(x)y1]C2[y2P(x)y2Q(x)y2]000这就证明了yC1y1(x)C2y2(x)也是方程yP(x)yQ(x)y0的解精品文档放心下载_函数的线性相关与线性无关设y1(x)y2(x)yn(x)为定义在区间I上的n个函数如果存在n个不全为零的常数k1k2感谢阅读kn使得当xI时有恒等式k1y1(x)k2y2(x) knyn(x)0谢谢阅读成立那么称这n个函数在区间I上线性相关否则称为线性无关谢谢阅读判别两个函数线性相关性的方法对于两个函数它们线性相关与否只要看它们的比是否为常数如果比为常数那么它们感谢阅读就线性相关否则就线性无关例如1cos2xsin2x在整个数轴上是线性相关的函数1xx2在任何区间(a,b)内是线性谢谢阅读无关的定理2如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程谢谢阅读yP(x)yQ(x)y0的两个线性无关的解那么yC1y1(x)C2y2(x)(C1、C2是任意常数)感谢阅读是方程的通解例3验证y1cosx与y2sinx是方程yy0的线性无关解并写出其通解感谢阅读解因为y1y1cosxcosx0_y2y2sinxsinx0所以y1cosx与y2sinx都是方程的解精品文档放心下载因为对于任意两个常数k1、k2要使k1cosxk2sinx0只有k1k20所以cosx与sinx在(,)内是线性无关的精品文档放心下载因此y1cosx与y2sinx是方程yy0的线性无关解感谢阅读方程的通解为yC1cosxC2sinx例4验证y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解并写出其通解感谢阅读解因为(x1)y1xy1y10xx0精品文档放心下载(x1)y2xy2y2(x1)exxexex0精品文档放心下载所以y1x与y2ex都是方程的解因为比值ex/x不恒为常数所以y1x与y2ex在(,)内是线性无关的感谢阅读因此y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解感谢阅读方程的通解为yC1xC2ex推论如果y1(x)y2(x)yn(x)是方程谢谢阅读y(n)a1(x)y(n1)an1(x)yan(x)y0谢谢阅读的n个线性无关的解那么此方程的通解为_yC1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x)精品文档放心下载其中C1C2Cn为任意常数谢谢阅读二阶非齐次线性方程解的结构我们把方程yP(x)yQ(x)y0叫做与非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程定理3设y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解Y(x)是对应的齐次方程的通解那么谢谢阅读yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解证明提示[Y(x)y*(x)]P(x)[Y(x)y*(x)]Q(x)[Y(x)y*(x)]精品文档放心下载[YP(x)YQ(x)Y][y*P(x)y*Q(x)y*]精品文档放心下载0f(x)f(x)例如YC1cosxC2sinx是齐次方程yy0的通解y*x22是yyx2的一个特解因感谢阅读_此yC1cosxC2sinxx22是方程yyx2的通解定理4设非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)的右端f(x)几个函数之和如精品文档放心下载yP(x)yQ(x)yf1(x)f2(x)感谢阅读而y1*(x)与y2*(x)分别是方程yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)感谢阅读的特解那么y1*(x)y2*(x)就是原方程的特解谢谢阅读证明提示[y1y2*]P(x)[y1*y2*]Q(x)[y1*y2*]感谢阅读[y1*P(x)y1*Q(x)y1*][y2*P(x)y2*Q(x)y2*]感谢阅读f1(x)f2(x)§129 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数精品文档放心下载_如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是它的精品文档放心下载通解我们看看 能否适当选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将yerx代精品文档放心下载入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解谢谢阅读特征方程方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根r1、r2可用公式精品文档放心下载r1,2p2p24q求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时函数y1er1x、y2er2x是方程的两个线性无关谢谢阅读的解这是因为函数yer1x、yer2x是方程的解又yerxe(r1r2)x不是常数11122er2x_因此方程的通解为yC1er1xC2er2x(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微精品文档放心下载分方程的两个线性无关的解这是因为 y1er1x是方程的解又(xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2r1xr12)er1xp(1xr1)er1xqxer1x谢谢阅读er1x(2r1p)xer1x(r12pr1q)0精品文档放心下载所以yxer1x也是方程的解且yxerxx不是常数212yer1x因此方程的通解为yC1er1xC2xer1x(3)特征方程有一对共轭复根r1,2i时函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性精品文档放心下载无关的复数形式的解函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的精品文档放心下载解函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解而由欧拉公式得谢谢阅读y1e(i)xex(cosxisinx)谢谢阅读y2e(i)xex(cosxisinx)谢谢阅读yy2excosxexcosx1(yy)12212yy2iexsinxexsinx1(yy)122i12_故excosx、y2exsinx也是方程解精品文档放心下载可以验证y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解谢谢阅读因此方程的通解为yex(C1cosxC2sinx)求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为感谢阅读第一步 写出微分方程的特征方程r2prq0第二步 求出特征方程的两个根r1、r2第三步 根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解精品文档放心下载例1求微分方程y2y3y0的通解谢谢阅读解所给微分方程的特征方程为r22r30即(r1)(r3)0其根r11r23是两个不相等的实根因此所求通解为精品文档放心下载yC1exC2e3x例2求方程y2yy0满足初始条件y|x04、y|x02的特解精品文档放心下载解所给方程的特征方程为r22r10即(r1)20其根r1r21是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为感谢阅读_y(C1C2x)ex将条件y|x04代入通解得C14从而谢谢阅读y(4C2x)ex将上式对x求导得y(C24C2x)ex再把条件y|x02代入上式得C22于是所求特解为感谢阅读x(42x)ex例3求微分方程y2y5y0的通解感谢阅读解所给方程的特征方程为r22r50特征方程的根为r112ir212i是一对共轭复根感谢阅读因此所求通解为yex(C1cos2xC2sin2x)n阶常系数齐次线性微分方程方程y(n)py(n1)py(n2)pypy012n1n称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p1p2pn1pn都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次精品文档放心下载线性微分方程上去_引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpn谢谢阅读则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpn)y0或L(D)y0感谢阅读注D叫做微分算子D0yyDyyD2yyD3yyDnyy(n)谢谢阅读分析令yerx则L(D)yL(D)erx(rnp1rn1p2rn2pn1rpn)erxL(r)erx谢谢阅读因此如果r是多项式L(r)的根则yerx是微分方程L(D)y0的解感谢阅读阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)rnp1rn1p2rn2pn1rpn0谢谢阅读称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项Cerx一对单复根r12i对应于两项ex(C1cosxC2sinx)谢谢阅读k重实根r对应于k项erx(C1C2xCkxk1)谢谢阅读一对k重复根r12i对应于2k项谢谢阅读ex[(C1C2xCkxk1)cosx(D1D2xDkxk1)sinx]谢谢阅读例4求方程y(4)2y5y0的通解感谢阅读_解 这里的特征方程为r42r35r20即r2(r22r5)0感谢阅读它的根是r1r20和r3412i感谢阅读因此所给微分方程的通解为yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x)谢谢阅读例5求方程y(4)4y0的通解其中0精品文档放心下载解 这里的特征方程为r440它的根为r(1i)r(1i)1,223,42因此所给微分方程的通解为xCsinxCsinx)ye2x(Ccosx)e2x(Ccos12223242§1210 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数精品文档放心下载二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和谢谢阅读_yY(x)y*(x)当f(x)为两种特殊形式时方程的特解的求法一、f(x)Pm(x)ex型当f(x)Pm(x)ex时可以猜想方程的特解也应具有这种形式 因此 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