高等量子力学补充专题二次量子化简介课件

§3.6轨道角动量

经典物理中，粒子的轨道角动量为L=x×p。量子化后，根据位置与动量的对易关系，容易验证L满足角动量的基本对易关系:即轨道角动量是一类角动量。其实，不考虑内禀（自旋）角动量时，粒子的角动量J即与轨道角动量L=x×p相同。此外，将作用于|x’y’z’>，有正是绕z轴无穷小转动的结果。即若p是平移的生成元，则L是转动的生成元。§3.6轨道角动量经典物理中，粒子的轨道角动量为L=x×一、坐标空间中的轨道角动量对无自旋粒子的任意态|α>，其波函数为<x’y’z’|α>。绕z轴转无穷小角δΦ后，其波函数为用球坐标：即或在坐标空间与直接用Lz=xpy-ypx

结果相同；利用球坐标推导更容易看出Lz作为转动生成元的作用。一、坐标空间中的轨道角动量对无自旋粒子的任意态|α>，其波函由利用球坐标可得类似可得再由，得方括号中微分算符与拉普拉斯算符在球坐标表示的角度部分仅差一因子1/r2(即轨道角动量与转动部分的动能相联系)由二、球谐函数无自旋粒子受球对称势作用,波动方程在球坐标下可分离变量,能量本征函数可写为n是径向量子数，l、m为轨道和磁量子数。由于球对称，H与L2及Lz对易，能量本征态也可同时是L2和Lz的本征态，L2的本征值为，Lz的本征值为角度部分对所有球对称问题都是共同的，应单独考虑:

是方向本征态矢。由此可称是在由θΦ确定的方向找到由l,m标记的态的几率振幅。二、球谐函数三、球谐函数的求解由轨道角动量本征矢的相关关系，可写出对应的关于球谐函数的关系。如

故依赖于Φ的部分为exp(imΦ)(波函数单值:m必为整数)又由知归一化条件：

三、球谐函数的求解由轨道角动量本征矢的相关关系，可写出对应的此外，可得：Θ部分为sinΘ**|m|*(cosΘ的l-|m|阶多项式）规定：l必须为整数:是波函数单值、非奇异、Ylm构成完备集等基本性质的要求(m≥0)此外，(m≥0)四、球谐函数与转动矩阵设，有：则(包含所有l)因

即转动算符矩阵元：对m=0，四、球谐函数与转动矩阵设§3.8角动量的加法

一、LS的叠加例子对粒子的描述应同时考虑空间(整数角动量)与内禀自由度。如自旋1/2粒子的基矢属于由位置本征矢展开的无穷维空间和自旋本征矢构成的二维空间的直积位置空间的算符与自旋空间的任意算符对易：波函数空间部分基矢用|nlm>，对应L2和Lz的本征值分别为自旋部分|±>对应的S2和Sz本征值分别为转动算符：上面的态矢表示形式对应于以L2,Lz

,

S2和Sz的共同本征矢为基。后面会介绍态矢也可用J2,Jz

,

L2和S2的共同本征矢为基展开。

§3.8角动量的加法一、LS的叠加例子二、SS的叠加例子两自旋1/2粒子如两电子在不考虑轨道自由度时,总自旋算符为S=S1+S2.由可导出由此知相关算符的本征值：两电子的任意自旋态可用1)S1z和S2z

或2)S2和Sz的本征矢展开：1)|++>,|+->,|-+>,|-->;2)在2)中，前者为自旋三重态而后者为自旋单态。两组基矢由即将介绍的Clebsch-Gordan(CG)系数相联系二、SS的叠加例子两自旋1/2粒子如两电子在不考虑轨道自由度三、角动量叠加的形式理论考虑两不同子空间的角动量算符J1和J2，其分量满足各自的角动量对易关系：但作用于子空间1和2的无穷小转动算符可写为定义总角动量为，简记为有限转角的形式：上述转动算符具有通常角动量作为转动生成元的形式。易证：因此，以前所述关于的特征与行为均成立。三、角动量叠加的形式理论考虑两不同子空间的角动量算符J1和四、基函数1）无耦合表象相互对易,取其共同本征矢|j1j2;m1m2>为基2）耦合表象相互对易,取其共同本征矢|j1j2;jm>为基(|jm>)由于J2与J1z(J2z)不对易，|j1j2;m1m2>不是J2的本征矢，|jm>不是J1z(J2z)的本征矢。|j1j2;m1m2>和|jm>各是一组完备基,包含了最大相互对易算符组的集合。3）表象变换：由于对给定的（j1,j2）,m1和m2的完整组合是完备的，

有：展开系数称为Clebsch-Gordan系数四、基函数1）无耦合表象五、CG系数的基本特征1)由可知只有m=m1+m2的CG系数才可能不为零2)由矢量叠加模型可知，只有满足的CG系数才可能不为零。3)CG系数约定取实数（可能性见下面的递推关系），故<j1j2;m1m2|j1j2;jm>=<j1j2;jm|j1j2;m1m2>4)由于CG系数为两基组的变换矩阵，组成(实)幺正矩阵,即正交矩阵：

类似地，五、CG系数的基本特征1)由六、CG系数的递推关系由得