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文档简介

4.3代数插值的牛顿形式我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为缺点：新增节点时，难以从原插值多项式计算新的多项式，必须重新计算。插值多项式为优点：形式对称，结构紧凑，便于理论分析与上机计算。为此，引进另一种形式的插值多项式—Newton插值多项式。一、Newton插值多项式n次Lagrange插值多项式，将其改写为上式表明，一个k个节点的插值多项式可以由k-1个节点的插值多项式加上一个k次多项式得到。（i=0,1,2,…,k-1）且有为计算，注意到它是k次多项式，且满足于是根据插值条件

………..于是可以依次解出……………………..再继续下去待定系数的形式将更复杂为此我们引入差商的概念。定义依此类推，称显然可以证明，一般地有k=0,1,…,n于是我们可以得到Lagrange插值多项式的另一种形式—Newton插值多项式，记为Nn(x)。即牛顿插值多项式和Lagrange插值多项式是相同的多项式只是表现形式不同。二、差商的性质：差商在Newton插值多项式中起着重要作用，下面讨论它的性质。该性质证明可以应用数学归纳法。以下的证明省略。(2)差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变如该性质的证明可根据性质(1)得到。(3)证明：由差商定义上式分子中必有因子,因而左端是m-1次多项式。证明：三、差商的计算—差商表差商的计算方法(表格法):差商表例题

已知x=1,2,3,4,5对应的函数值为f(x)=1,4,7,8,6，求4次牛顿插值多项式。解：做差商表1/24-1/6(-2-1)/(5-3)=-3/2(6-8)/(5-4)=-265-1/3(1-3)/(4-2)=-1(8-7)/(4-3)=184(3-3)/(3-1)=0(7-4)/(3-2)=373(4-1)/(2-1)=34211四阶差商三阶差商二阶差商一阶差商所以，牛顿插值多项式为

4.4差分与等距节点插值公式即且h为正常数，称为步长此时，牛顿多项式可得到进一步化简。牛顿插值多项式为则一、差分定义定义依此类推，称类似地还可以定义向后差分和中心差分。差分表例题5544142533089222111-50066

681630i解：构造差分表二、差分的性质：性质1则差分与差商有如下关系证明：用数学归纳法，m=1时结论成立。设m=r时结论成立，则m=r+1时，由差商定义所以，由归纳法结论成立。性质2证明：由差商与导数的关系式

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