线面积分整章课件

第一节对弧长的曲线积分一、问题的提出二、对弧长的曲线积分的概念三、对弧长曲线积分的计算四、几何与物理意义五、小结思考题第一节对弧长的曲线积分一、问题的提出一、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值精确值一、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限二、对弧长的曲线积分的概念1.定义二、对弧长的曲线积分的概念1.定义被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量2.存在条件：3.推广2.存在条件：3.推广注意：注意：4.性质4.性质三、对弧长曲线积分的计算定理三、对弧长曲线积分的计算定理注意:特殊情形注意:特殊情形推广:推广:例1解例3解例1解例3解例4解由对称性,知例4解由对称性,知四、几何与物理意义四、几何与物理意义线面积分整章课件五、小结1.对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算3.对弧长曲线积分的应用五、小结1.对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算3.思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度.思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度.练习题练习题线面积分整章课件练习题答案练习题答案第二节对坐标的曲线积分一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标曲线积分的计算四、小结思考题第二节对坐标的曲线积分一、问题的提出一、问题的提出实例:

变力沿曲线所作的功常力所作的功分割一、问题的提出实例:变力沿曲线所作的功常力所作的功分割求和取极限近似值精确值求和取极限近似值精确值二、对坐标的曲线积分的概念1.定义二、对坐标的曲线积分的概念1.定义类似地定义类似地定义2.存在条件：3.组合形式2.存在条件：3.组合形式4.推广4.推广5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算定理三、对坐标的曲线积分的计算定理特殊情形特殊情形线面积分整章课件(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上）(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上可用向量表示有向曲线元；可用向量表示有向曲线元；例1解例1解线面积分整章课件例2解例2解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同例3解例3解线面积分整章课件问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相四、小结1．对坐标曲线积分的概念2．对坐标曲线积分的计算3．两类曲线积分之间的联系四、小结1．对坐标曲线积分的概念2．对坐标曲线积分的计算3．思考题思考题思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.练习题练习题线面积分整章课件线面积分整章课件练习题答案练习题答案线面积分整章课件第三节格林公式一、问题的提出二、格林公式三、简单应用四、小结思考题第三节格林公式一、问题的提出一、区域连通性的分类

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD一、区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭

设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域;

如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通区域.GGG一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于二、格林公式定理1二、格林公式定理1边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边证明(1)yxoabDcdABCE证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxodDcCE同理可证yxodDcCE证明(2)D两式相加得证明(2)D两式相加得线面积分整章课件GDFCEAB证明(3)由(2)知GDFCEAB证明(3)由(2)知线面积分整章课件xyoL1.简化曲线积分三、简单应用AB

xyoL1.简化曲线积分三、简单应用AB线面积分整章课件2.简化二重积分xyo2.简化二重积分xyo线面积分整章课件解解xyoLyxoxyoLyxoxyo(注意格林公式的条件)xyo(注意格林公式的条件)3.计算平面面积3.计算平面面积解解线面积分整章课件四、小结1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用.——格林公式;四、小结1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.

若区域

如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题若区域如图为复连通域，试描述格林公思考题解答由两部分组成外边界：内边界：思考题解答由两部分组成外边界：内边界：第四节格林公式的应用一、问题的提出二、曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积四、小结思考题第四节格林公式的应用一、问题的提出Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域G内有Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域G内有二、曲线积分与路径无关的条件定理2二、曲线积分与路径无关的条件定理2两条件缺一不可有关定理的说明：两条件缺一不可有关定理的说明：三、二元函数的全微分求积定理3三、二元函数的全微分求积定理3线面积分整章课件解解解解线面积分整章课件四、小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题四、小结与路径无关的四个等价命题条件等练习题练习题线面积分整章课件线面积分整章课件线面积分整章课件练习题答案练习题答案线面积分整章课件第五节对面积的曲面积分一、概念的引入二、对面积的曲面积分的定义三、计算法四、小结思考题第五节对面积的曲面积分一、概念的引入一、概念的引入实例

所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.一、概念的引入实例所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平二、对面积的曲面积分的定义1.定义二、对面积的曲面积分的定义1.定义2.对面积的曲面积分的性质2.对面积的曲面积分的性质三、计算法则按照曲面的不同情况分为以下三种：三、计算法则按照曲面的不同情况分为以下三种：则则则则例1解例1解线面积分整章课件解依对称性知：解依对称性知：线面积分整章课件线面积分整章课件例3例3解解（左右两片投影相同）（左右两片投影相同）线面积分整章课件例4解例4解线面积分整章课件四、小结2．对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算.（按照曲面的不同情况投影到三坐标面上）1．对面积的曲面积分的概念;注意：一投、二代、三换．四、小结2．对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积思考题

在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中思考题解答是曲面元的面积,故是曲面法线与轴夹角的余弦的倒数.思考题解答是曲面元的面积,故练习题练习题线面积分整章课件练习题答案练习题答案第六节对坐标的曲面积分一、基本概念二、概念的引入三、概念及性质四、计算法五、两类曲面积分之间的联系六、小结思考题第六节对坐标的曲面积分一、基本概念一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面莫比乌斯带典型单侧曲面:播放莫比乌斯带典型单侧曲面:播放曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.线面积分整章课件1.分割则该点流速为.法向量为.1.分割则该点流速为.法向量为.2.求和2.求和3.取极限3.取极限三、概念及性质三、概念及性质被积函数积分曲面类似可定义被积函数积分曲面类似可定义存在条件:组合形式:物理意义:存在条件:组合形式:物理意义:性质:性质:四、计算法四、计算法线面积分整章课件注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.解解线面积分整章课件五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系线面积分整章课件两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式向量形式解解线面积分整章课件六、小结1.对坐标曲面积分的物理意义2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.曲面的侧b.“一投,二代,三定号”六、小结1.对坐标曲面积分的物理意义2.对坐标曲面积分的计算思考题思考题思考题解答此时的左侧为负侧，而的左侧为正侧.思考题解答此时练习题练习题线面积分整章课件练习题答案练习题答案莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带第七节高斯公式通量与散度一、高斯公式二、简单的应用三、物理意义----通量与散度四、小结思考题第七节高斯公式通量与散度一、高斯公式一、高斯公式一、高斯公式证明证明根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法线面积分整章课件同理------------------高斯公式和并以上三式得：同理------------------高斯公式和并以上三式Gauss公式的实质

表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式：Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其二、简单的应用解二、简单的应用解线面积分整章课件使用Guass公式时应注意:使用Guass公式时应注意:线面积分整章课件解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封闭曲面根据对称性可知根据对称性可知故所求积分为故所求积分为线面积分整章课件证利用高斯公式，即得证利用高斯公式，即得线面积分整章课件沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件我们有以下结论：我们有以下结论：三、物理意义----通量与散度1.通量的定义:三、物理意义----通量与散度1.通量的定义:2.散度的定义:2.散度的定义:散度在直角坐标系下的形式积分中值定理,两边取极限,散度在直角坐标系下的形式积分中值定理,两边取极限,高斯公式可写成高斯公式可写成四、小结3．应用的条件4．物理意义2．高斯公式的实质1．高斯公式四、小结3．应用的条件4．物理意义2．高斯公式的实质1．高斯思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？思考题解答曲面应是分片光滑的闭曲面.思考题解答曲面应是分片光滑的闭曲面.练习题练习题线面积分整章课件线面积分整章课件练习题答案练习题答案第八节斯托克斯公式环通量与旋度一、斯托克斯(stokes)公式二、简单的应用三、物理意义----环通量与旋度四、小结思考题第八节斯托克斯公式环通量与旋度一、斯托克斯(sto一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式

是有向曲面的正向边界曲线右手法则证明如图是有向曲面的右手法则证明如图思路曲面积分二重积分曲线积分12思路曲面积分二重积分曲线积分1211根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线同理可证故有结论成立.同理可证故有结论成立.另一种形式便于记忆形式另一种形式便于记忆形式Stokes公式的实质:

表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公