第二节可分离变量微分方程课件

转化可分离变量微分方程第二节解分离变量方程可分离变量方程第七章下页转化可分离变量微分方程第二节解分离变量方程可分离变量方分离变量方程的解法(简推)设y＝

(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式(详见教材P300)即左右两边可同时进行积分运算.下页②左边配元,得分离变量方程的解法(简推)设y＝(x)是方程①的解,例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增解也可能减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)下页例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得得由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为下页即例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得得由初始条件得例3.求微分方程的通解:解:

令则故有即解得(C为任意常数)所求通解下页例3.求微分方程的通解:解:令则故有即解得(C练习:解法1分离变量即(C<0

)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解积分下页练习:解法1分离变量即(C<0)解法2故有积分例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原下页例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t

足够大时下页例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程*例6.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变解:由水力学知,水从孔口流出的流量为即求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由h降到下页*例6.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量下页对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量下页两端积分,得利用初始条件,得则得容器内水面高度h与时间t的关系可见水流完所需时间为因此下页两端积分,得利用初始条件,得则得容器内水面高度h与时内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x

及

y=C

下页内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P298题5(2))

2)根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤例4例5*例6下页找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1思考与练习求下列方程的通解:提示:(1)

分离变量(2)方程变形为下页思考与练习求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(作业(习题7-2,P304)1(1),(5),(6),(10);2(3);6结束作业(习题7-2,P304)结束分离变量方程的解法(详推)设y＝

(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G

(y)

g(y)

0时,的隐函数y＝

(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F

(x)=f(x)