集合间的基本关系

1.2集合间的基本关系知识点一子集1.概念:一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集.2.Venn图图示:BA或ABA或A（B）3.性质：①反身性：任何一个集合都是它自身的子集，即A⊆A.②传递性：对于集合A，B，C，由A⊆B，B⊆C，可得A⊆C.若有A⊆B，在题目无特殊说明下要对A进行三种分类讨论：①A是空集；②A是由B的部分元素组成的集合；③A是由B的全部元素组成的集合.知识点二真子集1.概念：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A），读作“A真包含于B”（或“B真包含于A”）.2.图示：BABA3.性质：传递性：对于集合A，B，C，由A⊊B，B⊊C可得A⊊C.A⊆B中有A=B和A⊊B两种情况.知识点三空集1.概念:把不含任何元素的集合叫做空集,记为∅.2.规定：①空集是任何集合的子集,即∅⊆A.②空集是任何非空集合的真子集,即∅⊊A(A≠∅).1.在遇到“A⊆B”或“A⊊B”时，需考虑A是否为空集，这是易错点切勿忽视！2.{0}、∅、{∅}之间的区别和联系：{0}是含有一个元素0的集合，{∅}是含有一个元素∅的集合，而面对{∅}，∅要分两种情况看待：①当∅表示一个符号，即作为一个元素时，∅∈{∅}；②当∅作为一个集合，∅⊊{∅}.题型一子集、真子集例1、已知集合，则集合的子集有（

）A．7个 B．6个 C．4个 D．3个答案：C【分析】列举出集合的子集即可得解.【详解】因为集合，所以集合的子集有共个.故选：C.例2、设集合，则的子集数量是（

）A． B． C． D．答案：A【分析】解出集合，则得到其子集数量.【详解】，解得，又因为，所以，所以其子集数量为.故选：A.例3、已知集合，则集合的真子集个数为（

）A．8 B．7 C．6 D．5答案：B【分析】先求出集合中包含的元素个数，再求真子集个数.【详解】集合，所以集合的真子集个数为：.故选：B.变式训练1、已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为．答案：36【分析】写出其所有非空子集，再计算其元素之和即可.【详解】集合A的非空子集分别是：，，，，，，．故所求和为为．故答案为：36.变式训练2、满足的集合的个数为（

）A． B． C． D．答案：B【分析】列举出符合题意的集合即可.【详解】，，，满足题意的集合有：，，，，，，，，共个.故选：B.题型二集合的包含关系例1、已知集合，集合，则集合与的关系是．答案：⊊【分析】根据集合间的关系，可做出判断.【详解】解：在数轴上表示出集合A，B，如图所示，易知⊊.

故答案为：⊊.例2、设，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【分析】利用数轴结合即可得到参数范围.【详解】因为，所以利用数轴表示，如图，可知．

故选：B.变式训练1、若集合，，且，则实数的值是（

）A． B． C．或 D．或或0答案：D【分析】根据子集的定义可判断.【详解】解：当时，可得，符合题意，当时，，当时，，综上，的值为或或.故选：D.变式训练2、已知，，若，则实数m的取值范围（

）A． B．C． D．答案：B【分析】解不等式可得集合A，根据可得在上恒成立，结合二次函数的单调性即可求得答案.【详解】解不等式，即，即，又，，故在上恒成立，即在上恒成立，而在上单调递减，故，故，即实数m的取值范围为，故选：B题型三集合相等例1、下列集合中表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，答案：B【分析】根据集合相等的概念逐项判断即可.【详解】对于A，表示不同的点，故A不正确；对于B，集合与集合相同，故B正确；对于C，为点的集合，为数的集合，两者不相同，故C不正确；对于D，为点的集合，为数的集合，两者不相同，故D不正确.故选：B.例2、已知集合，集合，若，则.答案：或【分析】由题意，是方程的两根，再由列方程组求解（注意集合元素的无序性产生分类）.【详解】由集合知，是方程的两根，则，由，或解得或，则或.故答案为：或.变式训练1、若集合，实数的值为答案：【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案．【详解】令,,，,,，,,，，，若，则，则,,，,,，满足要求；若，则，而中元素，矛盾；若，则，则,,，,,，满足要求；故实数的值为.故答案为：变式训练2、（1）集合与相等集合．（填“是”或“不是”）（2）若集合，集合且，则，．答案：是1【分析】（1）解出集合A，并判断与B是否相等；（2）找到相等的对应情况，解方程即可．【详解】（1）因为，所以或．又，所以．（2）由题意知，，故，∴，则，此时，由于，∴.题型四空集例1、下列集合中为的是（

）A． B．C． D．答案：C【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意；对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意；对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意；对于D中，不等式，解得，，不符合题意.故选：C.例2、若关于x的方程的解集是空集，求k的值（

）A． B． C． D．答案：C【分析】先对方程进行整理，然后结合一次方程的解集存在条件可求．【详解】方程整理得，当时，方程的解集为空集，显然成立；当时，有，解方程得,显然不符合题意．综上．故选：C．变式训练1、以下四个选项表述正确的有（

）A． B．⫋C． D．答案：BC【分析】由元素与集合的关系判断AD；由空集的规定与真子集概念判断B；由子集的概念判断C.【详解】对选项A，由不是的元素，故A错误；对选项B，由规定：空集是任何集合的子集，则且存在，故⫋，B正确；对选项C，由子集概念，中的任意一个元素都是的元素，则，C正确；对选项D，由不是的元素，D错误.故选：BC.变式训练2、设集合，只有一个子集，则满足要求的实数．答案：0【分析】由题意可得A是空集即可求解.【详解】集合，只有一个子集，则，，所以方程无解，即．故答案为：0．一、单选题1．已知集合，集合且，则集合的子集个数为（

）A．4 B．8 C．16 D．32答案：B【分析】求出集合及子集可得答案.【详解】由题意可得，故子集为，共有8个.故选：B.2．已知集合，，，则实数m的值为（

）A．－1 B．0 C．1 D．2答案：B【分析】根据集合与的关系可以得到或或，排除后两种情况即可得解.【详解】或（不可能，舍去）或（不可能，舍去）故选：B3．若集合的所有子集个数是，则的取值是（

）A． B． C． D．或答案：D【分析】分析可知，集合有且只有一个元素，分、两种情况讨论，在第一种情况下直接验证即可，在第二种情况下，由求出的值，综合即可得解.【详解】因为集合的所有子集个数是，则集合有且只有一个元素，①当时，即当时，则，合乎题意；②当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解，则，解得.综上所述，或.故选：D.二、多选题4．已知集合，，若，则实数的取值可以是（

）A．0 B．1 C． D．答案：AC【分析】分和两种情况讨论集合中的原式，即可求解.【详解】当时，，满足条件，当时，若，则，无解，若，则，无解，若，则，无解，若，则，得，综上可知，或，只有AC符合条件.故选：AC5．设集合，集合，若，则可能是（

）A． B． C． D．答案：ACD【分析】根据，可得或或，进而可求出的值．【详解】因为，所以或或，则或或，解得或或.故选：ACD.三、填空题6．已知集合A={1，2，3，4，5}，则至少含一个偶数的集合A的子集个数为.答案：24【分析】分别列出偶数中只含有2的子集，只含有4的子集，含有2，4的子集，根据分类加法计数原理，相加即可得出答案.【详解】偶数中只含有2的子集有共8个；偶数中只含有4的子集有共8个；偶数中含有2，4的子集有共8个.所以，总的子集个数有.故答案为：24.满足的集合的个数为．答案：8【分析】又题意可知集合中至少有2个元素，最多有5个元素,分别写出来即可.【详解】∵∴集合中至少有2个元素，最多有5个元素.当集合中有2个元素时，集合可为：;当集合中有3个元素时，集合可为：,,;当集合中有4个元素时，集合可为：,,;当集合中有5个元素时，集合可为：;故答案为：8.若集合，且，则实数a取值的集合为答案：【分析】根据题意可知：集合可以是，逐一分析求解即可.【详解】由，所以集合可以是，当时，则，解得；当时，可得；当时，可得；所以取值的集合为.故答案为：.9．已知集合中有8个子集，则的一个值为.答案：4或9（写出一个即可）【分析】由题意可知，集合中有三个元素，则有三个因数，即可求出的值.【详解】集合中有8个子集，由知，集合中有三个元素，则有三个因数，因为，，除1和它本身外，还有1个，所以的值可以为4，9.故答案为：4或9（写出一个即可）四、解答题10．已知，若，求实数a的值.答案：1或4【分析】根据一元二次方程，解得集合，根据根的判别式以及根与系数关系，可得答案.【详解】由已知可得，因为，则或或或，当时，，无解，当时，则，解得，当时，则，无解，当时，则，解得，综上，实数a的值为1或4.11．已知集合，且，求实数a的取值范围．答案：【分析】根据一元二次不等式的解法求B，再根据集合间包含关系结合三个二次关系计算参数即可.【详解】解不等式，又因为，所以有两个零点，不妨设，则，即.12．设函数，集合(1)证明:.(2)当时，求.答案：(1)证明见解析；(2).【分析】（1）按与分类讨论，结合集合包含关系的定义推理作答.（2）根据给定条件，结合韦达定理求出，再代入解方程作答.【详解】（1）当时，方程无实根，即无实根，，此时恒成立，又方程，即，，显然，而，因此方程无实根，，则，当时，任取，则，于是，即有，因此，所以。（2）由，得是方程的二根，由，解得，于是，方程，即，整理得，解得，所以.13．不等式的解集是，集合．(1)求实数a，b的值；(2)若集合A是B的子集．求实数m的取值范围．答案：(1)(2)【分析】（1）由题意知，且方程的两个根为，代入求解即可；（2）由（1）化简集合，再分类讨论，利用集合的包含关系求参数即可得解.【详解】（1）由题意知，且方程的两个根为，代入得，解得.（2）由（1）知