离散型随机变量高等数学

离散型随机变量高等数学第1页，课件共50页，创作于2023年2月§2.1一维离散随机变量

一、定义：设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z或、、等表示。第2页，课件共50页，创作于2023年2月

：引入适当的随机变量描述下列事件：①将3个球随机地放入三个格子中，事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全有球}。②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}例1第3页，课件共50页，创作于2023年2月随机变量随机变量的分类第4页，课件共50页，创作于2023年2月二、一维离散型随机变量1、定义2.1

若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

为X的分布律或概率分布。可表为

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或X

x1 x2

…

xK …

Pk p1 p2 … pk …第5页，课件共50页，创作于2023年2月(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X的分布列。

2.分布律的性质第6页，课件共50页，创作于2023年2月

某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。例2:第7页，课件共50页，创作于2023年2月3、几个常用的离散型分布（1）(0-1)分布(p63)

若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)

X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或第8页，课件共50页，创作于2023年2月（2）二项分布(p63)

若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布，记作X～B（n,p)。其分布律为：第9页，课件共50页，创作于2023年2月

.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.例3第10页，课件共50页，创作于2023年2月例4.某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。

普哇松定理(p65)：

设随机变量Xn～B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，记=np，则

第11页，课件共50页，创作于2023年2月上题用普哇松定理取

=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.（3）普哇松(Poisson)分布P(

)(p64)X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)第12页，课件共50页，创作于2023年2月

普哇松定理表明，普哇松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的普哇松分布第13页，课件共50页，创作于2023年2月

.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为

的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。

例5第14页，课件共50页，创作于2023年2月§2.2二维离散型随机变量

一、

多维随机变量

定义2.2：将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量(X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。第15页，课件共50页，创作于2023年2月

1、若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。

2、若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称

P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律。可记为

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj}＝pij(i,j=1,2,…)，二、二维离散型随机变量及其联合分布律

第16页，课件共50页，创作于2023年2月XY

y1y2

…yj

…

p11p12...

P1j...

p21p22...

P2j...

pi1pi2...

Pij...

........................

3、联合分布律的性质

(1)pij

0,i,j＝1,2,…

；

(2)x1x2xi二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:第17页，课件共50页，创作于2023年2月

：袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令求(X,Y)的分布律。XY1010例1第18页，课件共50页，创作于2023年2月4、边际分布律

若随机变量X与Y的联合分布律为(X,Y)～

P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，i,j＝1,2,…，则称

P{X＝xi}＝pi.＝，i＝1,2,…为(X,Y)关于X的边际分布律；

P{Y＝yj}＝p·j＝，j＝1,2,…。为(X,Y)关于Y的边际分布律。边际分布律自然也满足分布律的性质。第19页，课件共50页，创作于2023年2月.已知(X,Y)的分布律为x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求X、Y的边际分布律。

例2第20页，课件共50页，创作于2023年2月问题：联合分布列与边际分布列有什么关系？

例3：袋中有5张外型相同的卡片，其中3张写上数字0，另两张写着数字1现从袋中任取两张，分别以X、Y表第一张与第二张上的数字，对有放回与不放回两种方式，分别求（X，Y）的联合分布列。第21页，课件共50页，创作于2023年2月三、随机变量的相互独立性

定义2.3：设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为P{X=xi,Y=yj}=Pij,i,j=1,2,…。若对任意i,j，有Pij=Pi

P

j。则X与Y相互独立。第22页，课件共50页，创作于2023年2月例4：判断例3中的X与Y是否相互独立。

例5：已知随机变量(X,Y)的分布律为且知X与Y独立，求a、b的值。XY12010.15

0.15ab第23页，课件共50页，创作于2023年2月一、一维离散型随机变量函数的分布律§2.3离散型随机变量函数的分布1、

设X一个随机变量，分布律为

X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.例:已知XPk-101求：Y=X2的分布律YPk10第24页，课件共50页，创作于2023年2月或

Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk，k＝1,2,…（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）一般地XPkY=g(X)第25页，课件共50页，创作于2023年2月

例2．1：设X服从参数为的普哇松分布的随机变量，又

试求的Y=f(X)分布列。

第26页，课件共50页，创作于2023年2月二、二维离散型随机变量函数的分布律设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝yj)＝pij，i,j＝1,2,…则Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或第27页，课件共50页，创作于2023年2月

例：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1分布，其分布律均为

X

0

1

Piqp(1)求W＝X＋Y的分布律;(2)求V＝max(X,Y)的分布律；(3)求U＝min(X,Y)的分布律。(4)求w与V的联合分布律。第28页，课件共50页，创作于2023年2月例2．12：设X、Y是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为的普蛙松分布，求Z=X+Y的分布列。

说明：（1）普蛙松分布具有可加性；（2）习题2.27可证明二项分布也具有可加性。第29页，课件共50页，创作于2023年2月§2.4数学期望的定义与性质

数学期望——描述随机变量取值的平均特征第30页，课件共50页，创作于2023年2月

1.若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…n,则称

定义2.若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。，则称为r.v.X的数学期望定义一.数学期望的定义第31页，课件共50页，创作于2023年2月

掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。

例2:第32页，课件共50页，创作于2023年2月1.0-1分布的数学期望EX=p2.二项分布B(n,p)二.几个重要r.v.的期望第33页，课件共50页，创作于2023年2月3.普哇松分布第34页，课件共50页，创作于2023年2月例1：设随机变量X的分布律为求随机变量Y=X2的数学期望。XPk-101三.随机变量函数的期望第35页，课件共50页，创作于2023年2月

2.2：若X～P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且则Y=g(X)的期望E(g(X))为

定理2.3:若(X,Y)～P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,且则Z=g(X，Y)的期望定理第36页，课件共50页，创作于2023年2月

设随机变量(X,Y)的分布列如下，求E(XY)。例4：XY12

01

0.150.150.450.25第37页，课件共50页，创作于2023年2月1.E(c)=c,c为常数;2.E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),a,b为常数;3.若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).四.数学期望的性质第38页，课件共50页，创作于2023年2月解:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则例3：若X~B(n,p),求E(X)。第39页，课件共50页，创作于2023年2月一.方差的定义方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。如何定义？§2.5方差的定义及性质第40页，课件共50页，创作于2023年2月

：

若E(X),E(X2)存在，则称E[X-E(X)]2为r.v.X的方差，记为D(X),或Var(X).称

为r.v.X的标准差易见：1.定义推论：D(X)=E(X2)-[E(X)]2.第41页，课件共50页，创作于2023年2月

(1)D(c)=0反之，若D（X）=0，则存在常数C，使P{X=C}=1,且C=E(X);

(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；二、方差的性质(3)若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);第42页，课件共50页，创作于2023年2月1.二项分布B(n,p)：三、几个重要r.v.的方差第43页，课件共50页，创作于2023年2月2.普哇松分布p(

)：第44页，课件共50页，创作于2023年2月

例2：设随机变量X1、X2、X3、X4相互独立，且有EXi=i，DXi=5-i，i=1,2,3,4

设Y=2X1-X2+3X3-0.5X4，求：E(Y)，D(Y)第45页，课件共50页，创作于