高等结构动力学课件

结构动力学结构动力学1第1章绪论第1章绪论2振动引起的结构破坏——Tacoma桥振动引起的结构破坏——Tacoma桥31.1基本概念1、结构动力学固体力学静力学动力学刚体变形体结构力学材料力学弹性力学理论力学刚体变形体刚体动力学结构动力学弹性动力学1.1基本概念1、结构动力学固体力学静力学动力学刚体变形体42、动力自由度自由度静力自由度动力自由度刚体变形体约束质量例1：分布质量简支梁——无限自由度一阶振型二阶振型三阶振型2、动力自由度自由度静力自由度动力自由度刚体变形体约束质量例5四阶振型五阶振型例2：集中质量简支梁——有限自由度1、单自由度系统2、二自由度系统一阶振型四阶振型五阶振型例2：集中质量简支梁——有限自由度1、单自由6一阶振型二阶振型3、三自由度二阶振型三阶振型一阶振型一阶振型二阶振型3、三自由度二阶振型三阶振型一阶振型73、结构动力学的两类问题（1）正问题荷载结构响应（2）反问题（动力学反演）响应结构荷载已知已知+荷载结构已知已知+已知或未知+1.2研究对象1、结构——弹性恢复力fk(x)2、外力——时变特性fp(t)3、结构动力学的两类问题（1）正问题荷载结构响应（2）反81.3研究内容1、结构动力特性——固有频率、振型、阻尼2、结构响应——位移、速度、加速度1.4研究方法1、时域法——解析法、逐步积分法线性、非线性问题2、频域法——谱分析法线性问题3、概率法——统计方法线性、非线性问题1.3研究内容1、结构动力特性——固有频率、振型、阻尼2、9第2章单自由度系统第2章单自由度系统10图2.2电视塔图2.1水塔图2.3导管架平台图2.4单层厂房图2.2电视塔图2.1水塔图2.3导管架平台图2112.1无阻尼系统模型图2.1典型的单自由度无阻尼系统动力学模型mkxmkxm

kxmθmg2.1.1系统力学模型——弹簧质量系统1、系统组成惯性元件（质量m）——运动物体弹性元件（刚度k）——提供恢复力2.1无阻尼系统模型图2.1典型的单自由度无阻尼系统动122、系统特点①惯性元件为质点②弹性元件为无质量弹簧③不计次要自由度2.1.2系统数学模型——二阶常系数线性微分方程mkxf(t)mgmkxf(t)2.1.3系统动力特性设：——齐次方程2、系统特点①惯性元件为质点②弹性元件为无质量弹簧③不计次要13代入得：解得：——系统固有频率——系统固有周期2.1.4固有频率计算1、直接法代入得：解得：——系统固有频率——系统固有周期2.1.4固14ml(1)简支梁固有频率计算(2)悬臂梁固有频率计算①弯曲变形ml(1)简支梁固有频率计算(2)悬臂梁固有频率计算①弯曲变15②剪切变形(3)摆mθmgl小变形时则：②剪切变形(3)摆mθmgl小变形时则：16θmgamk1k2m(5)组合问题①弹簧串联(4)倒摆θmgamk1k2m(5)组合问题①弹簧17ml②弹簧并联2、能量法（瑞雷法）k1k2l2l1lm2θm1ml②弹簧并联2、能量法（瑞雷法）k1k2l2l1lm2θm18即：设：代入得：等效刚度等效质量即：设：代入得：等效刚度等效质量192.2有阻尼系统模型2.2.1系统力学模型mkc图2.6典型的单自由度有阻尼系统动力学模型m

kxcx2.2.2系统数学模型f(t)mkcx2.2有阻尼系统模型2.2.1系统力学模型mkc图2.6202.2.3系统动力特性设：代入得：1、过阻尼系统2、临界阻尼系统——临界阻尼系数2.2.3系统动力特性设：代入得：1、过阻尼系统2、临界阻213、小阻尼系统其中：——阻尼比——有阻尼频率代入得：——有阻尼周期3、小阻尼系统其中：——阻尼比——有阻尼频率代入得：——有阻22系统方程的标准形式2.3自由振动问题1、运动方程——初速度——初位移2、初始条件t=02.3.1无阻尼系统自由振动3、解的形式系统方程的标准形式2.3自由振动问题1、运动方程——初速度234、振幅C和初相位——振幅——初相位——无阻尼自由振动位移函数4、振幅C和初相位——振幅——初相位——无阻尼自由振动位移函24txx0图2.7无阻尼系统自由振动位移曲线t图2.8无阻尼系统自由振动速度曲线图2.9无阻尼系统自由振动加速度曲线ttxx0图2.7无阻尼系统自由振动位移曲线t图2.8无阻252.3.2有阻尼系统自由振动1、运动方程——初速度——初位移2、初始条件t=03、解的形式4、振幅C和初相位——振幅——初相位2.3.2有阻尼系统自由振动1、运动方程——初速度——初26——有阻尼自由振动位移函数tx图2.10有阻尼系统自由振动位移曲线5、阻尼比ζ——有阻尼自由振动位移函数tx图2.10有阻尼系统自由振动27——对数衰减率2.4简谐荷载的强迫振动2.4.1无阻尼系统1、运动方程——对数衰减率2.4简谐荷载的强迫振动2.4.1无阻尼28设：2、解的形式解得：——系统静位移——频率比其中：——动力放大系数定义：设：2、解的形式解得：——系统静位移——频率比其中：——动力29图2.11幅频特性曲线图2.11幅频特性曲线30则：代入边界条件得：2.4.2有阻尼系统1、运动方程2、解的形式则：代入边界条件得：2.4.2有阻尼系统1、运动方程2、31设：设：32其中：其中：代入边界条件得：解得：代入解函数得：其中：其中：代入边界条件得：解得：代入解函数得：33——动力放大系数3、幅频特性由：得：——动力放大系数3、幅频特性由：得：34阻尼比计算①共振点阻尼比计算②带宽法（半功率）阻尼比计算阻尼比计算①共振点阻尼比计算②带宽法（半功率）阻尼比计算354、相频特性图2.12相频特性曲线4、相频特性图2.12相频特性曲线36例：利用激振器测量单层厂房的动力特性，采用简谐扰力激振，两次测量的结果为：解：求系统的等效质量、等效刚度、固有频率、粘滞阻尼系数和阻尼比。例：利用激振器测量单层厂房的动力特性，采用简谐扰力激振，解：37代入得：代入得：38则：——阻尼系数由：得：5、基础运动问题mkcx(1)

质量块的绝对运动则：——阻尼系数由：得：5、基础运动问题mkcx(1)质量39设：代入得：设：代入得：40Tr(2)

质量块的相对运动设：Tr(2)质量块的相对运动设：41设：代入得：或：代入得：设：代入得：或：代入得：42——传递系数由此可得：——传递系数由此可得：43例：汽车沿图2-12所示路面行驶。速度v=20m/s，路面凹凸幅值为3cm。假设路面不平度按照正弦规律变化，并且路面正弦变化的波长l=12m，汽车质量为2000kg，汽车的弹簧刚度为39200N/m，阻尼比为0.4。计算汽车在此路面上行驶时，底盘垂向振动幅值。解：例：汽车沿图2-12所示路面行驶。速度v=20m/s，路面凹442.5周期荷载的强迫振动2.5.1任意周期荷载的傅里叶级数表达式2.5周期荷载的强迫振动2.5.1任意周期荷载的傅里叶45(n=1,2,…)(n=1,2,…)2.5.2无阻尼系统响应设：则：其中：(n=1,2,…)(n=1,2,…)2.5.2无阻尼系统46而：2.5.3有阻尼系统响应其中：设：而：2.5.3有阻尼系统响应其中：设：47高等结构动力学课件48例：设单自由度系统受锯齿波荷载（如图）作用，系统的固有周期与荷载的周期比为2:1，阻尼比为0.05，分别计算无阻尼和有阻尼时的稳态振动响应。解：图示荷载函数可表示为：n=0n=1,2,…例：设单自由度系统受锯齿波荷载（如图）作用，系统的固有解：图49n=1,2,…无阻尼响应有阻尼响应2.6任意荷载的强迫振动2.6.1系统对冲击荷载的响应1、强迫振动阶段(0≤t≤t1)n=1,2,…无阻尼响应有阻尼响应2.6任意荷载的强迫振动502、自由振动阶段(t1≤t)荷载频率低于结构固有频率（γ<1）2、自由振动阶段(t1≤t)荷载频率低于结构固有频率（γ<151荷载频率高于结构固有频率（γ>1）荷载频率高于结构固有频率（γ>1）522.6.2系统对任意荷载的响应F(t)τtτ1、无阻尼系统由动量定理得：由得：2.6.2系统对任意荷载的响应F(t)τtτ1、无阻尼系53例：单自由度系统受三角形冲击荷载F(t)=F0(1-t/t1)作用，t1为荷载持续时间。求最大位移和放大系数。解：当t≤t

1时，由杜哈梅积分得：(t≤t1)(t≤t1)——杜哈梅积分例：单自由度系统受三角形冲击荷载F(t)=F0(1-t/t154当t≥t1时当t≥t1时552、有阻尼系统2.6.3杜哈梅积分的数值解法1、无阻尼系统2、有阻尼系统2.6.3杜哈梅积分的数值解法1、无阻尼系56其中：2、有阻尼系统其中：2、有阻尼系统572.6.4逐步积分法1、增量方程——系统增量方程其中：两式相减得：其中：2.6.4逐步积分法1、增量方程——系统增量方程其中：两582、Wilson-θ法将加速度在ti点展开式中：积分上式令：2、Wilson-θ法将加速度在ti点展开式中：积分上式令：59上式可写成：式中：上式可写成：式中：60或则：3、Newmark—β法——线性加速度法或则：3、Newmark—β法——线性加速度法61——平均加速度法——无条件稳定本章小结1、系统数学模型(1)无阻尼系统或其中：(2)有阻尼系统——平均加速度法——无条件稳定本章小结1、系统数学模型(1)62或2、系统动力特性(1)系统特征方程设：代入得：——特征方程——特征值(2)系统特征值由系统特征方程解得或2、系统动力特性(1)系统特征方程设：代入得：——特征方程63m——质量，系统惯性性质k——刚度，系统恢复力性质c——阻尼，系统耗能性质(1)物理参数——固有频率3、系统动力学参数(2)模态参数或——固有周期——阻尼比——有阻尼频率m——质量，系统惯性性质k——刚度，系统恢复力性质c——阻尼644、系统动力响应(1)自由振动——初始扰动无阻尼系统其中：——初相位——振幅有阻尼系统——初相位——振幅其中：4、系统动力响应(1)自由振动——初始扰动无阻尼系统其中：—65对数衰减率(2)简谐荷载强迫振动无阻尼系统式中：有阻尼系统式中：——相位差对数衰减率(2)简谐荷载强迫振动无阻尼系统式中：有阻尼系统式66基础运动——隔振问题——基础位移其中：——传递系数——相位差相对基础运动——惯性传感器——基础位移其中：——传递系数基础运动——隔振问题——基础位移其中：——传递系数——相位差67——相位差(3)周期荷载强迫振动其中：(n=1,2,…)(n=1,2,…)无阻尼系统——相位差(3)周期荷载强迫振动其中：(n=1,2,…)(n68有阻尼系统(4)任意荷载强迫振动冲击荷载——强迫振动——自由振动其中：——振幅——相位角脉冲荷载有阻尼系统(4)任意荷载强迫振动冲击荷载——强迫振动——自由69——自由振动任意荷载①杜哈梅积分②逐步积分法——自由振动任意荷载①杜哈梅积分②逐步积分法70第3章串联多自由度系统第3章串联多自由度系统713.1系统模型3.1.1力学模型k1k2k3m1m2m3m1m2m3k2c2k3c3k1c1x1x2x3f1(t)f2(t)f3(t)3.1系统模型3.1.1力学模型k1k2k3m1m2723.1.2数学模型3.1.2数学模型73其中：其中：743.2特征值问题3.2.1系统特征方程设：有非零解的条件：或特征方程3.2特征值问题3.2.1系统特征方程设：有非零解的751、特征方程的根：3.2.2系统特征对2、特征向量（振型）：3、系统特征对：3.2.3特征对的性质1、特征根的性质1、特征方程的根：3.2.2系统特征对2、特征向量（振型762、特征向量的性质证明：3、规格化特征向量2、特征向量的性质证明：3、规格化特征向量773.2.4特征值的计算1、迭代法最高阶特征值计算设：例：迭代矩阵3.2.4特征值的计算1、迭代法最高阶特征值计算设：例：78设：设：79高等结构动力学课件80证明：证明：81其中：一阶特征值计算其中：其中：一阶特征值计算其中：82例：例：83证明：证明：84其中：2、逐阶滤频法——GramSchmidt法计算二阶特征值其中：2、逐阶滤频法——GramSchmidt法计算二阶特85例：——一次滤频例：——一次滤频86——二次滤频计算三阶特征值——二次滤频计算三阶特征值87其中：3、Jacobi（雅可比）法条件：K和M是实对称矩阵，且K是正定的令：其中：3、Jacobi（雅可比）法条件：K和M是实对称矩阵，88则：其中：正交矩阵对角阵mnnm则：其中：正交矩阵对角阵mnnm89例：设：例：设：90高等结构动力学课件913.3方程的解耦3.3.1广义坐标设：其中：3.3方程的解耦3.3.1广义坐标设：其中：923.3.2广义坐标方程其中：——模态质量矩阵——第i阶模态质量——模态刚度矩阵——第i阶模态刚度3.3.2广义坐标方程其中：——模态质量矩阵——第i阶模态93——模态阻尼矩阵——第i阶模态阻尼系数——模态力向量则系统解耦方程为：或——模态阻尼矩阵——第i阶模态阻尼系数——模态力向量则系统解94——固有频率——模态阻尼——模态力3.4阻尼问题3.4.1瑞雷阻尼——固有频率——模态阻尼——模态力3.4阻尼问题3.4.953.4.2常阻尼模型稳态运动条件下：3.4.2常阻尼模型稳态运动条件下：963.5强迫振动3.5.1广义坐标解其中：3.5强迫振动3.5.1广义坐标解其中：973.5.2时程分析法3.5.2时程分析法98Wilson-θ法Wilson-θ法99或Newmark-β法——线性加速度法——平均加速度法或Newmark-β法——线性加速度法——平均加速度法100高等结构动力学课件1013.6耦合振动的应用——振动控制问题3.6.1主、从系统的动力特性1、系统固有频率设：3.6耦合振动的应用——振动控制问题3.6.1主、从102其中：——质量比——频率错开系数2、系统耦合特性质量比的影响频率错开系数的影响——主从系统强烈耦合——主从系统不耦合其中：——质量比——频率错开系数2、系统耦合特性质量比的影响1033.6.2主、从系统的减振问题3.6.2主、从系统的减振问题104高等结构动力学课件105本章小结：1、运动方程2、系统动力特性(1)物理参数——质量矩阵——刚度矩阵本章小结：1、运动方程2、系统动力特性(1)物理参数——质量106——阻尼矩阵(1)特征值问题特征方程固有频率与振型——第i阶固有频率——第i阶振型——阻尼矩阵(1)特征值问题特征方程固有频率与振型——第i阶107标准化振型其中：3、系统阻尼问题(1)瑞雷阻尼标准化振型其中：3、系统阻尼问题(1)瑞雷阻尼108其中：(2)常阻尼模型4、广义坐标方程——模态质量矩阵——模态刚度矩阵其中：其中：(2)常阻尼模型4、广义坐标方程——模态质量矩阵——模109——第i阶模态质量——第i阶模态刚度——模态阻尼矩阵式中：——第i阶模态阻尼5、强迫振动问题①广义坐标解——解析解——第i阶模态质量——第i阶模态刚度——模态阻尼矩阵式中：—110②时程分析法——数值解Wilson-θ法其中：②时程分析法——数值解Wilson-θ法其中：111Newmark-β法Newmark-β法112其中：其中：113m1m2kx1x2例1：写出图示系统以相对坐标表示的运动方程，并求系统固有频率。令：或：m1m2kx1x2例1：写出图示系统以相对114其中：例2：求图示二层框架的固有频率和振型。其中：例2：求图示二层框架的固有频率和振型。115高等结构动力学课件116例3：求例2二层框架的强迫振动。已知：设：代入得：解得：例3：求例2二层框架的强迫振动。设：代入得：解得：117稳态响应为：例4：求图示结构的固有频率和振型。解：稳态响应为：例4：求图示结构的固有频率和振型。解：118设：设：119解得：解得：120高等结构动力学课件121第4章分布参数系统第4章分布参数系统1224.1直杆的轴向振动4.1.1运动方程4.1直杆的轴向振动4.1.1运动方程1234.1.2等截面均质直杆其中：4.1.3方程的解令：4.1.2等截面均质直杆其中：4.1.3方程的解令：1244.1.4频率与振型1、边界条件（两端自由杆）4.1.4频率与振型1、边界条件（两端自由杆）1252、固有频率由：2、固有频率由：126得：3、振型函数得：3、振型函数1274、初始条件例：一等截面均质直杆两端自由，初始时，两端的压缩变形量为δ。求杆的运动状态。4、初始条件例：一等截面均质直杆两端自由，初始时，两端的压缩128讨论：讨论：1294.1.5任意直杆振型的正交性代入：证明：4.1.5任意直杆振型的正交性代入：证明：130得：由边界条件固定边界自由边界得：上式右端项分部积分得得：由边界条件固定边界自由边界得：上式右端项分部积分得131因此同理：两式相减得：代入：得：因此同理：两式相减得：代入：得：1324.2圆截面直杆的扭转振动4.2圆截面直杆的扭转振动133其中：设：则：式中：其中：设：则：式中：1344.3高腹梁的剪切振动则：4.3高腹梁的剪切振动则：135代入上式得：等截面均质梁其中：设：则：式中：代入上式得：等截面均质梁其中：设：则：式中：1364.4梁的弯曲振动4.4.1纯弯曲振动1、运动方程式中：4.4梁的弯曲振动4.4.1纯弯曲振动1、运动方程式137代入上式得：均质等截面梁2、动力特性设：代入上式得：代入上式得：均质等截面梁2、动力特性设：代入上式得：138分离变量得：其中：设：代入得：解得：分离变量得：其中：设：代入得：解得：139则：由Eular公式：可得：①简支梁固有频率与振型则：由Eular公式：可得：①简支梁固有频率与振型140频率方程：则：简支梁纯弯曲固有频率：简支梁纯弯曲振型：简支梁纯弯曲自由振动频率方程：则：简支梁纯弯曲固有频率：简支梁纯弯曲振型：简支梁141设：则：②悬臂梁固有频率与振型设：则：②悬臂梁固有频率与振型142得频率方程：解得前三阶频率：得频率方程：解得前三阶频率：143振型函数：由边界条件：得：代入得：其中：3、克雷洛夫函数振型函数：由边界条件：得：代入得：其中：3、克雷洛夫函数144高等结构动力学课件145③固端梁固有频率与振型③固端梁固有频率与振型146解得前三阶频率：由边界条件：得：代入得：解得前三阶频率：由边界条件：得：代入得：147其中：4、标准振型的正交性设：由虚功原理有：代入得：将其中：4、标准振型的正交性设：由虚功原理有：代入得：将148整理得：5、纯弯曲梁的强迫振动设：代入得：标准振型满足：整理得：5、纯弯曲梁的强迫振动设：代入得：标准振型满足：149代入得：上式两端乘，并积分整理得：其中：引入阻尼：或代入得：上式两端乘，并积分整理得：其中：150例1：求图示简支梁的强迫振动。Pylx1x解：已知简支梁振型函数振型力：振型质量：例1：求图示简支梁的强迫振动。Pylx1x解：已知简151例2：求图示固端梁在简谐荷载作用下的强迫振动。yxl=240例2：求图示固端梁在简谐荷载作用下的强迫振动。yxl=152令：令：1534.4.2考虑轴向力的弯曲振动M+dMQ+dQNNMQdydxP(x,t)fI1、运动方程4.4.2考虑轴向力的弯曲振动M+dMQ+dQNNMQd1542、动力特性设：2、动力特性设：155其中：设：其中：设：156其中：例4：求轴向压力作用下的简支梁的固有频率和振型。代入：其中：例4：求轴向压力作用下的简支梁的固有频率和振型。代入：157由得：代入由得：代入158得：将代入得：振型函数：位移函数：得：将代入得：振型函数：位移函数：1594.4.3Timoshenko梁的弯曲振动1、运动方程由dx平衡条件得：4.4.3Timoshenko梁的弯曲振动1、运动方程由160式中：将代入得：再将变形协调关系代入得：式中：将代入得：再将变形协调关系代入得：161将代入求导得：由解出代入将代入求导得：由解出代入162得：整理得：将代入得：得：整理得：将代入得：1632、动力特性设：设：2、动力特性设：设：1644.4.4连续体系的离散化令：1、动刚度矩阵代入：得：4.4.4连续体系的离散化令：1、动刚度矩阵代入：得：165或或或或166式中：式中：1672、传递矩阵①场矩阵解得：2、传递矩阵①场矩阵解得：168其中：其中：169②点矩阵设：则：因此：②点矩阵设：则：因此：170其中：例：求两端自由梁的频率和振型其中：例：求两端自由梁的频率和振型171边界条件：频率方程：边界条件：频率方程：172例：求一端固定一端简支梁的频率和振型边界条件：例：求一端固定一端简支梁的频率和振型边界条件：173频率方程：频率方程：174例：求串联多自由度系统的传递矩阵由弹簧平衡条件得：写成矩阵形式：例：求串联多自由度系统的传递矩阵由弹簧平衡条件得：写成矩阵形175令：——场矩阵由质点动平衡条件得：设：写成矩阵形式：则：令：——场矩阵由质点动平衡条件得：设：写成矩阵形式：则：176令：——点矩阵传递矩阵：其中：——传递矩阵：单自由度系统的固有频率：边界条件：代入得：令：——点矩阵传递矩阵：其中：——传递矩阵：单自由度系统的固177展开第二式得：4.5薄板的弯曲振动tOa

bx

yz4.5.1薄板弯曲运动方程展开第二式得：4.5薄板的弯曲振动tOabxy1781、应力应变分量①薄板弯曲假定直法线假定xzzdxO不计挤压应力刚性中面假定σyσxτxyτyxτyzτzyxyz②应力、应变分量1、应力应变分量①薄板弯曲假定直法线假定xzzdxO不计挤压1792、弯曲运动方程①应变与位移关系（几何方程）同理：由：得：2、弯曲运动方程①应变与位移关系（几何方程）同理：由：得：180积分得：由刚性中面假定得：则：积分得：由刚性中面假定得：则：181②应力与位移关系（物理方程）③内力与位移关系②应力与位移关系（物理方程）③内力与位移关系182其中：④平衡条件xyzO其中：④平衡条件xyzO183高等结构动力学课件184略去高阶小量得：同理可得：代入：得：将略去高阶小量得：同理可得：代入：得：将185代入得：或其中：4.5.2简支板固有频率和振型1、边界条件代入得：或其中：4.5.2简支板固有频率和振型1、边界条186由得：由得：2、固有频率设：代入方程得：由得：由得：2、固有频率设：代入方程得：187解出本章小结1、杆的轴向振动其中：解出本章小结1、杆的轴向振动其中：188分离变量：——频率方程——振型方程振型函数：两端自由杆：频率方程：得：分离变量：——频率方程——振型方程振型函数：两端自由杆：频率189频率：振型：2、梁的弯曲振动——横向动力平衡——截面弯矩平衡①纯弯曲振型方程：频率：振型：2、梁的弯曲振动——横向动力平衡——截面弯矩平衡190振型函数：——横向动力平衡——截面弯矩平衡②轴力影响振型方程：振型函数：其中：振型函数：——横向动力平衡——截面弯矩平衡②轴力影响振型方程191——横向动力平衡③Timshenko梁的横向振动——截面弯矩平衡由：得：——横向动力平衡③Timshenko梁的横向振动——截面弯矩192②应力-位移关系(物理方程)3、薄板的弯曲振动①应变-位移关系(几何方程)②应力-位移关系(物理方程)3、薄板的弯曲振动①应变-位移关193③内力-位移关系④平衡方程⑤运动微分方程或③内力-位移关系④平衡方程⑤运动微分方程或194第5章离散多自由度系统第5章离散多自由度系统195高等结构动力学课件196高等结构动力学课件1975.1系统自由度5.1.1结点自由度1、平面桁架①系统自由度②节点位移向量2、空间桁架①系统自由度②节点位移向量5.1系统自由度5.1.1结点自由度1、平面桁架①系统1983、平面刚架①系统自由度②节点位移向量2、空间刚架①系统自由度②节点位移向量3、平面刚架①系统自由度②节点位移向量2、空间刚架①系统自由1995.2桁架结构动力分析5.2.1杆的刚度、质量特性1、型函数由：积分得：代入杆端参数得：代入ly5.2桁架结构动力分析5.2.1杆的刚度、质量特性1、200得：其中：——型函数将代入得又代入得得：其中：——型函数将代入得又代入得2012、刚度矩阵由位移法方程令：则：由虚位移原理：设：由得：2、刚度矩阵由位移法方程令：则：由虚位移原理：设：由得：202代入得：同理可得：代入位移法方程写成矩阵形式代入得：同理可得：代入位移法方程写成矩阵形式203或其中：——杆单元刚度矩阵3、质量矩阵①集中质量矩阵惯性力方程或其中：——杆单元刚度矩阵3、质量矩阵①集中质量矩阵惯性力方204令：则：令：由虚位移原理：则：令：由虚位移原理：令：则：令：由虚位移原理：则：令：由虚位移原理：205则：同理：展开得：或其中：——集中质量矩阵则：同理：展开得：或其中：——集中质量矩阵206②一致质量矩阵令：令：由虚位移原理：同理：②一致质量矩阵令：令：由虚位移原理：同理：207其矩阵形式或——一致质量矩阵其中：其矩阵形式或——一致质量矩阵其中：2085.2.2平面桁架的动力分析1、桁架结构的受力特点2、坐标变换矩阵形式5.2.2平面桁架的动力分析1、桁架结构的受力特点2、坐209或其中：则：或①单元局部坐标方程：其中：3、整体坐标方程或其中：则：或①单元局部坐标方程：其中：3、整体坐标方程210②单元整体坐标方程：将代入得：左乘变换矩阵得：其中：③系统运动方程：②单元整体坐标方程：将代入得：左乘变换矩阵得：其中：③系统运211其中：代入单元整体坐标方程得：整理得：其中：其中：代入单元整体坐标方程得：整理得：其中：212例：求图示平面桁架的固有频率和振型132132例：求图示平面桁架的固有频率和振型132132213坐标变换坐标变换214高等结构动力学课件215高等结构动力学课件216高等结构动力学课件217高等结构动力学课件218由约束条件得：设：代入并求和设：由约束条件得：设：代入并求和设：21931323211132321231235.2.3空间桁架的动力分析1、单元矩阵(1)刚度矩阵31323211132321231235.2.3空间桁架220(2)质量矩阵(3)坐标变换矩阵(2)质量矩阵(3)坐标变换矩阵221高等结构动力学课件2225.3框架结构动力分析5.3.1梁单元动力特性1、型函数由积分得：或5.3框架结构动力分析5.3.1梁单元动力特性1、型函223令：则：代入得：整理得：整理得：同理：令：则：代入得：整理得：整理得：同理：2242、刚度矩阵由位移法方程其中：令：则：2、刚度矩阵由位移法方程其中：令：则：225由虚位移原理令：则：代入得：将由虚位移原理令：则：代入得：将226写成矩阵的形式2、质量矩阵(1)集中质量矩阵写成矩阵的形式2、质量矩阵(1)集中质量矩阵227(2)一致质量矩阵其中：或令：则：(2)一致质量矩阵其中：或令：则：228令：由虚位移原理将代入得：令：由虚位移原理将代入得：2293、等效结点荷载设梁上作用分布荷载p(x,t)，等效结点荷载表示为：令：由虚位移原理则：将代入得：3、等效结点荷载设梁上作用分布荷载p(x,t)，等效结点荷载230均布荷载：4、几何刚度均布荷载：4、几何刚度231高等结构动力学课件2325.3.2平面框架动力分析1、框架单元的结点位移和结点力2、框架单元的刚度矩阵(1)拉压刚度矩阵5.3.2平面框架动力分析1、框架单元的结点位移和结点力233(2)弯曲刚度矩阵(3)框架单元刚度矩阵3、框架单元的质量矩阵(1)集中质量矩阵杆单元质量矩阵(2)弯曲刚度矩阵(3)框架单元刚度矩阵3、框架单元的质量矩234梁单元质量矩阵框架单元质量矩阵梁单元质量矩阵框架单元质量矩阵235(2)一致质量矩阵杆单元质量矩阵梁单元质量矩阵框架单元质量矩阵(2)一致质量矩阵杆单元质量矩阵梁单元质量矩阵框架单元质量矩2364、坐标变换(1)线位移变换矩阵(2)角位移变换矩阵(3)框架单元变换矩阵4、坐标变换(1)线位移变换矩阵(2)角位移变换矩阵(3)框237例：用一致质量矩阵计算图示框架的前三阶固有频率和阵型。12解：求系统刚度矩阵和质量矩阵例：用一致质量矩阵计算图示框架的前三阶固有12解：求系统238高等结构动力学课件239高等结构动力学课件240代入频率方程解得：代入方程求得：代入频率方程解得：代入方程求得：2415.3.3空间框架动力分析1、框架单元的结点位移和结点力2、框架单元的刚度矩阵3、框架单元的一致质量矩阵4、坐标变换5.3.3空间框架动力分析1、框架单元的结点位移和结点力242其中：令：其中：令：243高等结构动力学课件244d=0的情况d=0的情况2455.4自由度凝聚5.4.1静力凝聚法1、刚度矩阵凝聚5.4自由度凝聚5.4.1静力凝聚法1、刚度矩阵凝聚246由得：代入得：由得：代入得：2472、变换矩阵的计算例：2、变换矩阵的计算例：2483、质量矩阵凝聚例：解：凝聚自由度13、质量矩阵凝聚例：解：凝聚自由度1249矩阵分块矩阵分块250解出：例：解出：例：251凝聚自由度1和3凝聚自由度1和3252由得：由得：253高等结构动力学课件2545.4.2动力凝聚法1、凝聚矩阵设：其中：5.4.2动力凝聚法1、凝聚矩阵设：其中：2552、质量矩阵和刚度矩阵凝聚3、解特征值问题由解出：例：解：求凝聚矩阵和动力矩阵2、质量矩阵和刚度矩阵凝聚3、解特征值问题由解出：例：解：求256高等结构动力学课件257由得：代回得：由得：代回得：258由得：将由得：将259代入得：消元得：代入得：消元得：260由得：代回由得：代回261得：消元得：得：消元得：262由得：由得：2635.4.3改进的动力凝聚法5.4.3改进的动力凝聚法264由得：将代入求得：由得：将代入求得：265由得：5.4.4里兹法(能量法)或设：由得：5.4.4里兹法(能量法)或设：266则：令：其中：代入得：其中：则：令：其中：代入得：其中：267由能量驻值原理得：5.4.5子空间迭代法令：其中：由能量驻值原理得：5.4.5子空间迭代法令：其中：268其中：迭代格式其中：迭代格式2695.4.6模态综合法1、固定界面法5.4.6模态综合法1、固定界面法270高等结构动力学课件271高等结构动力学课件272例：例：273高等结构动力学课件274高等结构动力学课件275高等结构动力学课件276——模态综合法——直接计算2、自由界面法——模态综合法——直接计算2、自由界面法277其中：其中：278例：例：279由得：解出：由得：解出：