二次函数知识点总结和题型总结

./二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如〔是常数,的函数,叫做二次函数。这里需要强调：①a≠0②最高次数为2③代数式一定是整式2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2．⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项．例题：例1、已知函数y=<m－1>xm2+1+5x－3是二次函数,求m的值。练习、若函数y=<m2+2m－7>x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：a的绝对值越大,抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．向下轴时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．向下轴时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．3.的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．向下X=h时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．4.的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．向下X=h时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．二次函数的对称轴、顶点、最值〔技法：如果解析式为顶点式y=a<x－h>2+k,则最值为k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c则最值为EQ\F<4ac-b2,4a>1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点,则m的值为。2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为〔1,3,则b＝,c＝.3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在<> A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y＝ax2－6x经过点<2,0>,则抛物线顶点到坐标原点的距离为<> A. B. C.D.5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限,则抛物线y＝ax2＋bx＋c<> A.开口向上,对称轴是y轴B.开口向下,对称轴是y轴C.开口向下,对称轴平行于y轴D.开口向上,对称轴平行于y轴已知二次函数y=mx2+<m－1>x+m－1有最小值为0,则m＝。三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上"值正右移,负左移；值正上移,负下移"．概括成八个字"左加右减,上加下减"．方法二：⑴沿轴平移:向上〔下平移个单位,变成〔或⑵沿轴平移：向左〔右平移个单位,变成〔或函数y=ax2+bx+c的图象和性质例题：1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是。2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是,顶点坐标是。3．通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：〔1y=EQ\F<1,2>x2－2x+1；〔2y=－3x2+8x－2；〔3y=－EQ\F<1,4>x2+x－44、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,在向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2－3x+5,试求b、c的值。5、把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值；若没有,说明理由。四、二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中．五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,〔若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.六、二次函数的性质1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为．当时,随的增大而减小；当时,随的增大而增大；当时,有最小值．2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为．当时,随的增大而增大；当时,随的增大而减小；当时,有最大值．例题：函数y=a<x－h>2的图象与性质1．填表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标试说明函数y=EQ\F<1,2><x－3>2的图象特点及性质〔开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。二次函数y=a<x－h>2的图象如图：已知a=EQ\F<1,2>,OA＝OC,试求该抛物线的解析式。二次函数的增减性二次函数y=3x2－6x+5,当x>1时,y随x的增大而；当x<1时,y随x的增大而；当x=1时,函数有最值是。已知函数y=4x2－mx+5,当x>－2时,y随x的增大而增大；当x<－2时,y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为。已知二次函数y=x2－<m+1>x+1,当x≥1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是.4.已知二次函数y=－EQ\F<1,2>x2+3x+EQ\F<5,2>的图象上有三点A<x1,y1>,B<x2,y2>,C<x3,y3>且3<x1<x2<x3,则y1,y2,y3的大小关系为.七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：〔,,为常数,；2.顶点式：〔,,为常数,；3.两根式：〔,,是抛物线与轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数中,作为二次项系数,显然．⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大；⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大．总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小．2.一次项系数在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴．⑴在的前提下,当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧；当时,,即抛物线的对称轴就是轴；当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧；当时,,即抛物线的对称轴就是轴；当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是"左同右异"总结：3.常数项⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置．总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．例题：函数的图象特征与a、b、c的关系1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示,则a、b、c的符号为〔 A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0 2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示,则下列结论正确的是〔 A．a+b+c>0 B．b>-2a C．a-b+c>0 D．c<03.抛物线y=ax2+bx+c中,b＝4a,它的图象如图3,有以下结论：①c>0；②a+b+c>0 ③a-b+c>0 ④b2-4ac<0 ⑤abc<0；其中正确的为〔A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是〔5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c,如果a>b>c,且a＋b＋c＝0,则它的图象可能是图所示的<>二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5所示,那么abc,b2－4ac,2a＋b,a＋b＋c四个代数式中,值为正数的有<> A.4个 B.3个 C.2个 D.1个7.在同一坐标系中,函数y=ax2+c与y=EQ\F<c,x><a<c>图象可能是图所示的<>ABCD8.反比例函数y=EQ\F<k,x>的图象在一、三象限,则二次函数y＝kx2-k2x-1c的图象大致为图中的〔ABCD9.反比例函数y=EQ\F<k,x>中,当x>0时,y随x的增大而增大,则二次函数y＝kx2+2kx的图象大致为图中的〔ABCD二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大〔小值,一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．例题：函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象经过A〔0,3、B〔1,3、C〔－1,1三点,求该二次函数的解析式。已知抛物线过A〔1,0和B〔4,0两点,交y轴于C点且BC＝5,求该二次函数的解析式。二、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式y=a<x－h>2+k求解。3．已知二次函数的图象的顶点坐标为〔1,－6,且经过点〔2,－8,求该二次函数的解析式。已知二次函数的图象的顶点坐标为〔1,－3,且经过点P〔2,0点,求二次函数的解析式。三、已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式y=a<x－x1><x－x2>。5．二次函数的图象经过A〔－1,0,B〔3,0,函数有最小值－8,求该二次函数的解析式。九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是；关于轴对称后,得到的解析式是；2.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是；关于轴对称后,得到的解析式是；3.关于原点对称关于原点对称后,得到的解析式是；关于原点对称后,得到的解析式是；4.关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°关于顶点对称后,得到的解析式是；关于顶点对称后,得到的解析式是．5.关于点对称关于点对称后,得到的解析式是根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线〔或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系〔二次函数与轴交点情况：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：①当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.②当时,图象与轴只有一个交点；③当时,图象与轴没有交点.当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有；当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有．2.抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大〔小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.例题：二次函数与x轴、y轴的交点〔二次函数与一元二次方程的关系如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点,其中c为整数,则c＝〔写一个即可二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是<>A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点如图所示,二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为<> A.6B.4 C.3D.1已知抛物线y＝5x2＋<m－1>x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧,它们的距离平方等于为EQ\F<49,25>,则m的值为<> A.－2 B.12 C.24 D.48已知抛物线y＝x2-2x-8,〔1求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；〔2若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积。十一、函数的应用二次函数应用二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线,图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联；顶点位置先找见,Y轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。

二次函数抛物线,选定需要三个点,a的正负开口判,c的大小y轴看,△的符号最简便,x轴上数交点,a、b同号轴左边抛物线平移a不变,顶点牵着图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键。例题：二次函数应用<一经济策略性1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格。经检验发现,若按每件20元