2009年上海市静安区中考数学三模试卷

2009年上海市静安区中考数学三模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）（2009•静安区三模）方程的根是（）A．﹣1和2 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（4分）（1997•上海）一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）（2009•静安区三模）下列各式中与（a﹣1﹣1）﹣1相等的是（）A． B． C． D．4．（4分）（2008•内江）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．双曲线5．（4分）（2014•盐都区二模）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图．那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．16，10.5 B．8，9 C．16，8.5 D．8，8.56．（4分）（2009•静安区三模）在▱ABCD中，，，那么等于（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）（2009•静安区三模）实数的倒数是．8．（4分）（2015•杨浦区三模）如果关于x二次三项式x2﹣6x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．9．（4分）（2009•静安区三模）如图所示，同时自由转动两个转盘，指针落在每一个数上的机会均等，转盘停止后，两个指针同时落在奇数上的概率是．10．（4分）（2009•静安区三模）函数的定义域是．11．（4分）（2009•静安区三模）反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而．12．（4分）（2009•静安区三模）数据11，13，14，10，12的方差是．13．（4分）（2009•静安区三模）已知，那么=．14．（4分）（2009•静安区三模）已知长方体ABCD﹣EFGH如图所示，那么图中与棱AD平行的平面是．15．（4分）（2013•奉贤区一模）在高为100米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为α，那么楼底到这十字路口的水平距离是米．（用角α的三角比表示）16．（4分）（2009•静安区三模）如图，⊙O的半径为3，直径AB⊥弦CD，垂足为E，点F是BC的中点，那么EF2+OF2=．17．（4分）（2011•衡阳）如图1所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，那么△ABC的面积是．18．（4分）（2013•上海模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将△ABC绕点B顺时针方向旋转，使点C落到AB的延长线上，那么点A所经过的线路长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2010•衡阳）先化简再求值：，其中x=5．20．（10分）（2009•静安区三模）解方程组：．21．（10分）（2009•静安区三模）一种副食品，今年5月份的价格比是1月份价格上涨了20%．同样用30元钱购买这种副食品，5月份比1月份购得的少0.5千克，那么今年1月份这种副食品每千克多少元？．22．（10分）（2009•静安区三模）已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=4，⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1．求：（1）⊙A的半径；（2）tan∠ADB的值？23．（12分）（2009•静安区三模）已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在BE的延长线上，且EF=BE，EF与CD相交于点G．求证：DF∥AC．（请用两种方法证明，可以添辅助线，可以不添辅助线，如果两种方法都添辅助线，要求是不同位置的线．）24．（12分）（2009•静安区三模）如图，在△ABC中，AB=6，BC=4，点D在边BC的延长线上，∠ADC=∠BAC，点E在边BA的延长线上，∠E=∠DAC．（1）找出图中的相似三角形，并证明；（2）设AC=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）△AED能否与△ABC相似？如果能够，请求出cosB的值；如果不能，请说明理由．25．（14分）（2009•静安区三模）如图，抛物线经过原点O、点A（6，8）和点（3，﹣5）．（1）求直线OA的表达式；（2）求抛物线的表达式；（3）如果点B在线段OA上，与y轴平行的直线BC与抛物线相交于点C，△OBC是等腰三角形，求点C的坐标？

2009年上海市静安区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）（2009•静安区三模）方程的根是（）A．﹣1和2 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】无理方程．【分析】首先方程的两边分别平方，然后即可求出x的值，最后要进行检验，把不符合题意的根舍去．【解答】解：两边平方得：x+2=x2，解得：x1=2，x2=﹣1，检验：当x1=2时，原方程的左边=右边，故x1=2为原方程的根，当x2=﹣1时，原方程无意义，∴原方程的解为2．故选择C．【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先对方程的两边分别平方以达到去根号的目的，注意最后要进行检验．2．（4分）（1997•上海）一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数的性质．【分析】首先确定k，k＞0，必过第二、四象限，再确定b，看与y轴交点，即可得到答案．【解答】解：∵y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，∴必过第二、四象限，∵b=3，∴交y轴于正半轴．∴过第一、二、四象限，不过第三象限，故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数的性质，直线所过象限，受k，b的影响．3．（4分）（2009•静安区三模）下列各式中与（a﹣1﹣1）﹣1相等的是（）A． B． C． D．【考点】负整数指数幂．【分析】根据负指数幂的计算公式：a﹣n=（a≠0），首先计算括号里面的a﹣1，通分计算后，再计算括号外的负指数幂．【解答】解：（a﹣1﹣1）﹣1，=（﹣1）﹣1，=（）﹣1，=，故选：B．【点评】此题主要考查了负整数指数幂，关键是熟记计算公式．4．（4分）（2008•内江）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．双曲线【考点】轴对称图形；中心对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．只有第四个是中心对称图形，也是轴对称图形．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．5．（4分）（2014•盐都区二模）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图．那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．16，10.5 B．8，9 C．16，8.5 D．8，8.5【考点】众数；条形统计图；中位数．【专题】计算题．【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数，由图可知锻炼时间超过8小时的有14+7=21人．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；故选B．【点评】考查了中位数、众数和极差的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．6．（4分）（2009•静安区三模）在▱ABCD中，，，那么等于（）A． B． C． D．【考点】*平面向量．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得与的值，又由平行四边形法则求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴==﹣=﹣，==，∴=+=﹣+．故选C．【点评】此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．解题的关键是注意平行四边形法则的应用．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）（2009•静安区三模）实数的倒数是．【考点】实数的性质；分母有理化．【分析】根据a的倒数是，然后化简即可．【解答】解：的倒数是=2﹣．故答案是：2﹣．【点评】本题主要考查了倒数的定义，正确化简根式是解题关键．8．（4分）（2015•杨浦区三模）如果关于x二次三项式x2﹣6x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是m＞9．【考点】实数范围内分解因式．【专题】计算题．【分析】由题意知，二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以方程x2﹣6x+m=0无解，即△＜0，代入解答出即可．【解答】解：根据题意得，二次三项式在实数范围内不能分解因式，∴方程x2﹣6x+m=0无解，即△＜0．∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＜0，解得，m＞9．故答案为m＞9．【点评】本题主要考查了实数范围内分解因式，二次三项式在实数范围内不能分解因式，即方程无解，也就是△＜0，读懂题意是解答本题的关键．9．（4分）（2009•静安区三模）如图所示，同时自由转动两个转盘，指针落在每一个数上的机会均等，转盘停止后，两个指针同时落在奇数上的概率是．【考点】列表法与树状图法．【专题】压轴题．【分析】根据题意列表，然后根据表格即可求得所有等可能的结果与两个指针同时落在奇数上的情况数，再根据概率公式求解即可求得答案．【解答】解：列表得：（1，9）（2，9）（3，9）（4，9）（5，9）（1，8）（2，8）（3，8）（4，8）（5，8）（1，7）（2，7）（3，7）（4，7）（5，7）（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）∴一共有25种等可能的结果，两个指针同时落在奇数上的有9种情况，∴两个指针同时落在奇数上的概率是．故答案为：．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．（4分）（2009•静安区三模）函数的定义域是．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知：2x﹣3≥0，解得x的范围．【解答】解：要使函数有意义，则2x﹣3≥0，解得x．故答案为x≥．【点评】本题主要考查自变量的取值范围的知识点，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．11．（4分）（2009•静安区三模）反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大．【考点】反比例函数的性质．【专题】函数思想．【分析】根据﹣k2的符号来推知反比例函数的单调性．【解答】解：∵﹣k2＜0，∴反比例函数在单调区间内是增函数，∴当x＞0时，y随x的增大而增大；故答案是：增大．【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，y随x的增大而增大．12．（4分）（2009•静安区三模）数据11，13，14，10，12的方差是2．【考点】方差．【专题】计算题．【分析】先由平均数的公式计算出平均数的值，再根据方差的公式计算．【解答】解：平均数=（11+12+13+14+10）÷5=12，方差=[（11﹣12）2+（12﹣12）2+（13﹣12）2+（14﹣12）2+（10﹣12）2]=2．故答案为：2．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．13．（4分）（2009•静安区三模）已知，那么=．【考点】*平面向量．【分析】由2（﹣2）+3=，根据向量的知识，利用解方程的方法，即可求得的值．【解答】解：∵2（﹣2）+3=，∴2﹣4+3=，∴2=4﹣3，∴=2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握向量方程的求解方法是解此题的关键．14．（4分）（2009•静安区三模）已知长方体ABCD﹣EFGH如图所示，那么图中与棱AD平行的平面是平面BCGF与平面EFGH．【考点】认识立体图形．【分析】根据图示，我们可以看出，与AD相交的面有前面、后面、左面、下面四个面，只有上面和右面与其平行，解答即可．【解答】解：观察可知，AD平行的平面有平面BCGF与平面EFGH两个面．故应填：平面BCGF与平面EFGH．【点评】本题考查的是认识立体图形．正确理解平行的概念是解题的关键．15．（4分）（2013•奉贤区一模）在高为100米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为α，那么楼底到这十字路口的水平距离是100cotα米．（用角α的三角比表示）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】探究型．【分析】根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义直接进行解答即可．【解答】解：如图所示，∵∠BAC=α，BC=100m，∴AB=BC•cotα=100cotαm．故答案为：100cotα．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．16．（4分）（2009•静安区三模）如图，⊙O的半径为3，直径AB⊥弦CD，垂足为E，点F是BC的中点，那么EF2+OF2=9．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】综合题．【分析】连接AC，由直径与弦垂直，得到三角形BCE为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到EF等于BC的一半，再根据中位线定理得到OF等于AC的一半，然后由AB为直径，根据直径所对的圆周角为直角得到角ACB为直角即三角形ABC为直角三角形，根据勾股定理得到AC与BC的平方和等于直径AB的平方，然后把所求的式子等量代换即可求出值．【解答】解：连接AC，∵直径AB⊥弦CD，∴△BCE为直角三角形，由F为BC的中点，得到EF为斜边BC的中线，∴EF=FB=BC，又∵点F为BC中点，∴OF⊥BC，∴∠OFB=90°，在Rt△OFB中，根据勾股定理得：FB2+OF2=OB2=9，则EF2+OF2=9．故答案为：9【点评】此题综合考查了中位线定理，直角三角形及圆的有关性质．在圆中已知直径一般作辅助线形成直径所对的圆周角，构建直角三角形，借助直角三角形的有关知识解决数学问题．17．（4分）（2011•衡阳）如图1所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，那么△ABC的面积是10．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】本题需先结合函数的图象求出AB、BC的值，即可得出△ABC的面积．【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变，说明BC=4，x=9时，接着变化，说明CD=9﹣4=5，∴AB=5，BC=4，∴△ABC的面积是：×4×5=10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出线段的长度从而得出三角形的面积是本题的关键．18．（4分）（2013•上海模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将△ABC绕点B顺时针方向旋转，使点C落到AB的延长线上，那么点A所经过的线路长为．【考点】弧长的计算；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】旋转角是240度，半径是2，根据弧长公式即可求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，∠B=90°﹣30°=60°，∴旋转角是240度．长是：=．故答案是：．【点评】本题主要考查了弧长的计算公式，正确确定旋转的角度是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2010•衡阳）先化简再求值：，其中x=5．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．【解答】解：原式=，=，=；当x=5时，原式==．【点评】本题是分式的混合运算，应特别注意运算顺序以及运算符号的处理．20．（10分）（2009•静安区三模）解方程组：．【考点】高次方程．【分析】本题需先根据题意求出它们各自的值，再把它们的值进行组合，分别解出x、y的值，即可求出本题的答案．【解答】解：由（1）得x﹣2y=±3，由（2）得x+3=0，y﹣2=0，原方程组可化为解得原方程组的解为【点评】本题主要考查了解方程组，在解题时要根据方程组的解法是本题的关键，不要漏掉解得个数．21．（10分）（2009•静安区三模）一种副食品，今年5月份的价格比是1月份价格上涨了20%．同样用30元钱购买这种副食品，5月份比1月份购得的少0.5千克，那么今年1月份这种副食品每千克多少元？．【考点】分式方程的应用．【分析】可设1月份的单价为x元/千克，从而表示5月份的价格．根据用30元钱购买这种副食品，5月份比1月份购得的少0.5千克列方程解答．【解答】解：设今年1月份这种副食品每千克x元，根据题意得（1分），（4分）36﹣30=0.6x，x=10．（3分）经检验：x=10是原方程的根，且符合题意．（1分）答：今年1月份这种副食品每千克10元．（1分）【点评】此题考查分式方程的应用，难度不大．注意解分式方程必须检验．22．（10分）（2009•静安区三模）已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=4，⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1．求：（1）⊙A的半径；（2）tan∠ADB的值？【考点】相切两圆的性质；勾股定理；解直角三角形．【专题】代数几何综合题．【分析】（1）设⊙A的半径为R．根据已知条件“⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1”易知AB=R﹣1，AC=R+1；然后在直角三角形ABC中根据勾股定理列出关于R的方程，由R的取值范围解方程即可；（2）在Rt△ADB中，根据已知条件“⊙A与⊙C外切于点D”求得AD=、AB=；然后由锐角三角函数的定义来求tan∠ADB的值．【解答】解：（1）设⊙A的半径为R，（1分）∵⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1，∴AB=R﹣1，AC=R+1．（2分）∵∠A=90°，BC=4，∴AB2+AC2=BC2，（1分）∴（R﹣1）2+（R+1）2=16，（1分）解得R=（负值舍去）．∴⊙A的半径为．（2分）（2）∵⊙A与⊙C外切于点D，∴点D在AC上．（1分）在Rt△ADB中，∵AD=，AB=，∴．（2分）【点评】本题综合考查了相切两圆的性质、勾股定理以及解直角三角形．解答本题的关键是根据圆外切、内切的性质求得相应线段的长度，再在直角三角形中利用勾股定理解答相关线段的长度．23．（12分）（2009•静安区三模）已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在BE的延长线上，且EF=BE，EF与CD相交于点G．求证：DF∥AC．（请用两种方法证明，可以添辅助线，可以不添辅助线，如果两种方法都添辅助线，要求是不同位置的线．）【考点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例．【专题】证明题．【分析】证法一：连接BD，交AC于点O，由已知得BO=DO，又已知EF=BE，所以得到DF∥AC；证法二：由已知四边形ABCD是平行四边形，所以得到AB∥CD，继而得：，又由AB=CD，BE=EF，所以得：，从而证得DF∥AC．【解答】证法一：连接BD，交AC于点O．（2分）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO．（2分）∵BE=EF，∴OE∥DF，即DF∥AC．（4分）证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴．（2分）∵AB=CD，BE=EF，∴．（4分）∴DF∥CE，即DF∥AC．（2分）【点评】此题考查的知识点平行线的性质及平行线分线段成比例，关键是由已知四边形ABCD是平行四边形，根据其性质及平行线分线段成比例证明．24．（12分）（2009•静安区三模）如图，在△ABC中，AB=6，BC=4，点D在边BC的延长线上，∠ADC=∠BAC，点E在边BA的延长线上，∠E=∠DAC．（1）找出图中的相似三角形，并证明；（2）设AC=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）△AED能否与△ABC相似？如果能够，请求出cosB的值；如果不能，请说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）△ABC∽△DBA，△CAD∽△AED，由∠B=∠B，∠ADC=∠BAC可以证明△ABC∽△DBA；而∠BAC+∠DAC=∠BAD=∠ADE+∠E，由此得到∠DAC=∠E，这样就∠BAC=∠ADE=∠ADC可以证明△CAD∽△AED；（2）首先由△ABC∽△DBA可以得到，从而可以用x表示DA，并且求出BD，CD=5，由△CAD∽△AED，得到，即DE•CD=DA2，由此得到，这样求出函数解析式，然后也可以求出定义域；（3）△AED能与△ABC相似．首先利用已知条件讨论相似的情况，得到只有△AED与△ABC相似，然后利用相似三角形的性质和已知条件得到这时∠ACB=∠BAD=90°，最后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：（1）△ABC∽△DBA，△CAD∽△AED．（2分）证明如下：∵∠B=∠B，∠ADC=∠BAC，∴△ABC∽△DBA；∵∠BAC+∠DAC=∠BAD=∠ADE+∠E，∠DAC=∠E，∴∠BAC=∠ADE=∠ADC，∴△CAD∽△AED；（2）∵△ABC∽△DBA，∴，∴DA=，∴BD==9．∴CD=5．∵△CAD∽△AED，∴．∴DE•CD=DA2，∴，∴函数解析式为y=，定义域为2＜x＜10；（3）△AED能与△ABC相似．∵∠BAC=∠ADE=∠ADC，∠BCA＞∠ADC=∠ADE，∠BCA＞∠CAD=∠E，∴只有∠B=∠E=∠DAC时，△AED与△ABC相似．（1分）这时，由于∠B+∠BAC+∠CAD+∠ADC=180°，∴∠BAC+∠DAC=90°，∴∠ACB=∠BAD=90°，∴cosB=．【点评】此题既考查了相似三角形的性质与判定，也考查了三角函数的定义，同时也考查了求函数解析式，综合性比较强，解题的关键是多次利用相似三角形的性质与判定，然后利用三角函数解决问题．25．（14分）（2009•静安区三模）如图，抛物线经过原点O、点A（6，8）和点（3，﹣5