2021年度公务员考试之数量关系

数量关系

行政能力测验（概况）

比较省时题目：

常识判断，类比推理，选词填空，片段阅读（细节判断除外）

比较耗时题目：

图形推理，数字判断，资料分析（好找，好计算）

第一种题型数字推理

备考重点：

A基本数列类型

B五大基本题型（多级，多重，分数，基次，递推）

C基本运算速度（计算速度，数字敏感）

数字敏感（无时间计算时重要看数字敏感）：

a单数字发散b多数字联系

对126进行数字敏感一一单数字发散

1）.单数字发散分为两种

1,因子发散：

判断是什么倍数（126是7和9倍数）

64是8平方，是4立方，是26次，1024是210次

2.相邻数发散：

112次+5,121

53次+1,125

27次-2,128

2）.多数字联系分为两种：

1共性联系（相似）

1,4,9一一都是平方，都是个位数，写成某种相似形式

2递推联系（前一项变成后一项（圈2）,前两项推出第三项（圈3））——普通

是圈大数

注意：做此类题一一圈任数法，数字推理原则：圈大不圈小

【例】1、2、6、16、44、（）

圈61644三个数得出44=前面两数和得2倍

【例】

28776

9988

?51316

九宫格（圈住法）

这道题是竖着圈（推任数合用于所有三个数）

一.基本数列类型

1常数数列：7,7,7,7

2等差数列：2,5,8,11,14

等差数列趋势：

a大数化：

123,456,789（333为公差）

582、554、526、498、470、（）

b正负化：5,1,-3

3等比数列：5,15,45,135,405（有0不也许是等比）；4,6,9

——迅速判断和计算才是核心。

等比数列趋势：

a数字非正整化（非正整意思是不正或不整）负数或分数小数或无理数

8、12、18、27、（）

A.39B.37C.40.5D.42.5

b数字正负化（略）

4质数（只有1和它自身两个约数数，叫质数）歹！I：

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83

,89,97

—间接考察：25,49,121,169,289,361（5,7,11,13,17,19平

方）

41,43,47,53,（59）61

5合数（除了1和它自身两个约数外，尚有其他约数数，叫合数）列：

4.6.8.9.10.12.14.15.16.18.20.21.22.24.25.26.27.28.30.32.33.34.35

.36.38.39.40.42.44.45.46.48.49.50.51.52.54.55.56.57.58.60.62.63.

64.65.66.68.69.70.72.74.75.76.77.78.

80.81.82.84.85.86.87.88.90.91.92.93.94.95.96.98.99.100

【注】1既不是质数、也不是合数。

6循环数列：1,3,4,1,3,4

7对称数列：1,3,2,5,2,3,1

8简朴递推数列

【例1】1、1、2、3、5、8、13-

【例2】2、-1、1、0、1、1、2-

【例3】15、11、4、7、-3、10、-13-

【例4】3、-2、-6、12、-72、-864…

二.五大基本题型

第一类多级数列

1二级数列（做一次差）

20、22、25、30、37、（）

A.39B.46C.48D.51

注意：做差为2357接下来注意是11,不是9,区别质数和奇数列

102、96、108、84、132、（）

A.36B.64C.216D.228

注意：一大一小（该明确选项是该大还是该小）该小，就减

注意：括号在中间，先猜然后验：

6、8、（）、27、44

A.14B.15C.16D.17

猜2,*17为等差数列，中间隔了10,公差为5,因而是2,7,12,17

验证答案15,发现是对的。

2三级数列（做两次差）一一（考查概率很大）

3做商数列

1、1、2、6、24、（）

做商数列相对做差数列特点：数字之间倍数关系比较明显

趋势：倍数分数化（一定要注意）

【例6】675、225、90、45、30、30、（）

A.15B.38C.60D.124

30是括号0.5倍，因此注意是60

4多重数列

两种形态：1是交叉（隔项），2是分组（普通是两两分组，相邻）。

多重数列两个特性：1数列要长（8,9交叉，10项）（必要）；2两个括号（充分）

【例6】1、3、3、5、7、9、13、15、（）、（

）A.19、21B.19、23

C.21、23D.27、30

两个括号持续，就做交叉

数字没特点，八成是做差：1,3,7,13

【例7】1、4、3、5、2、6、4、7、（）

A.lB.2C.3D.4

多重数列核心提示：

1.分组数列基本上都是两两分组，因而项数（涉及未知项）普通都是偶数。

2.分组后统一在各组进行形式一致简朴加减乘除运算，得到一种非常简朴数列。

3奇偶隔项数列若只有奇数项规律明显，那偶数项也许依赖于奇数项规律，反之

亦然

例：1、4、3、5、2、6、4、7、（)

A.lB.2C.3D.4

偶数项很明显，4,5,6,7奇数项环绕偶数项形成了一种规律，即交叉和等于

偶数项。

5分数数列

A多数分数：分数数列

B少数分数一一负塞次（只有几分之一状况，写成负一次）和除法（等比）

-----K八四1

】；9、6、一、；4、（）

1A2vtfA41

、、'//*5

这里有个猜题技巧（多数原则）：选项中浮现频率最多那个数，八成是对的选项。

分数数列基本解决方式：

解决方式1。一方面观测特性（往往是分子分母交叉有关）

【例”7?3、.薨（

铲Z15M

A.—B.—C.—D*—

4939503L

解决方式2：另一方面分组看待（独立看几种分数分子和分母规律，分子看分子,

分母看分母）

5,7兽1死

L例1J、

11219.31，

Z15M

A.——B.—C.—D”—

4939503L

例：分析各种办法

■【例3】9、空、*、鲤、（）、了

57+51392b3。

282128,3卜

A.B.—C.—JD*—

1214915-

1.猜题：28浮现了两次，猜A和C得概率大，选A

2.观测特性：分子和分母尾数相加为10,因而选A

3.133和119是7倍数，可以约分为7/3,因此大胆猜测选A,也是7/3。

4.（分组看待）：不能看出特点，做差，分子做差

例：看下一题办法

【例6】y[2-\.

V3+1

B2

L)V?

此题：化同原则（形式化为相似）一一整化分（把一种整式化为一种分式，相似

形式对比），把第二项分母有理化为其她两项相似形式。

解决方式3：广义通分

通分（如果有各种分数，把分母变成同样就是通分）

广义通分——将分子或分母化为简朴相似（前提是能通分）

解决方式4：反约分（国考重点，出题概率很大）

观测分子或分母一侧，上下同步扩大，然后满足变化规律。

6募次数列

A普通塞次数列

平方数（1—30）

13A2=16914A2=19615A2=22516A2=25617A2=289

18A2=32419A2=36120A2=40021A2=44122A2=484

23A2=52924A2=57625A2=62526A2=67627A2=72928A2=784

29A2=84130A2=900

可以写成各种写法。

常用三瞧

i数学n的期悔，n俨

2.数字1的变换：1则严产ao；“

3.特殊数字变换：16=2'=4?；64=2，5=43=82；81=34=92；256=28=4^=162；"

933a61052

512=2=8；729=9=27=3；1024=2=4=32!"

4.个位幕次数字：4=2a=41；8=耍=乳9=32=91.。

B幕次修正数列（括号相邻数发散）

哪个嘉次写法是唯一就先考虑哪个

7递推数列

单数推，双数推，三数推（数列越来越长）

递推数列有六种形态：

和差积商倍方一一如何辨别形态？

——从大数和选项入手，看大趋势：

注意：大趋势指是不要拘泥于细节，看整体是递增或递减即可

1递减---做差和商

2递增一一缓（和），最快（方），较快（先看积，再看倍数）

数字推理逻辑思维总结：

相知倍数关系两两做丽

,雇次数特征'麻次及修正数列

看数字特征（51

•:项递推改包

①负M次

②除法

两两做片

看趋势做试探

圆圈里有奇数个奇数，则考虑乘法或除法

圆圈中有偶数个奇数，则考虑加减入手

中心数看能否分解（如果能，则加减，再乘除，如果不能，则先乘除，后加减来

修正）

九宫图

1等差等比型

每横排每竖排都成等差和等比数列（涉及对角线）

2分组计算型

每横排和每竖排和与积成某种简朴规律（涉及对角线）

3递推运算型（看最大那个数，是由其她两位递推而来）

最后，行测、申论复习与考试过程中，阅读量都非常大，如果不会提高效率,

一切白搭。一方面要学会迅速阅读，普通人每分钟才看200字左右，咱们要学会

一眼尽量多看几种字，甚至是以行来计算，把咱们速读提高，然后再提高阅读量,

这是申论基本。《行测》各种试题都是考察学生思维，人们平时还要多刻意训练

自己思维。学会迅速阅读，不但在复习过程中效率倍增，在考试过程中更可以节

约大量时间，提高效率，并且，在咱们一眼多看几种字时候，还可以高度集中咱

们思维，大大利于归纳总结，学会后，更有助于《行测》复习、考试，特别是在

学习速读同事，还可以学习思维导图，对于《行测》各种试题都能得心应手应付。

本人当年有幸学习了迅速阅读，至今阅读速度己经超过5000字/分钟，学习效率

自然不用说了。我读大学成绩是很差，考公务员时候我妈说我只是碰运气，成果

最后成绩出来了居然考了岗位第二，对自己成绩非常满意，速读记忆是我成功最

大功劳。找了半天，终于给人们找到了下载地址，怕有童鞋麻烦，这里直接给做

了个超链接，先按住键盘最左下角“Ctrl”按键不要放开，然后鼠标点击此行文

字就可如下载了。认真练习，立即就可以看到效果了！此段是纯粹个人经验分享,

也许在各种地方看见，人们读过就不用再读了，只是但愿能和更多童鞋分享。

第二种题型数学运算

第一模块代入排除法

从题型来看：

1固定题型：例1是同余问题一某些（并非所有同余都可以）

2多位数题型:例2

3不定方程问题（无法算出x和y,只能列出她们关系）或者无法迅速列出方程问

题。

从题本样子来说：

从题干到选项很麻烦，从选项到题干比较容易

注：如果是规定最大或最小，从选项最大数或最小数开始代入，别的从A开始代

入

看下面题目：

［例5］有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，

点完细蜡烛需要1小时，点完粗蜡烛需要2小时.有一次停电，将这

样两支蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩长度一样，则此次

亭电共停了多少分钟？，

A.10分钟B.20分钟C.40分钟D.60分钟"

【例6】甲班与乙班同学同时从学校出发去某公园，甲班步•行的速度。

是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米.学校有一辆汽车，

右千米，这辆汽车恰好能坐一个鹿的学生.为了使这两班学生在最短的时间内到达，那么，

下班学生与乙班学生需要步行的距离之比是（）2

A.15:11B.17:22C.19:24D.21:27，

第一题选3由于A,B没有燃烧到一半，C却燃烧了所有。第一题设立选项相差

有点远，因而肉眼可以看出。

第二题选A,由于甲班走一定比乙班走多，因此选A,答案设立时与她们倍数和

比例关于，无需计算，可以用她们大小关系来鉴定

注意一种公式：48是412倍，是316倍，然后她们距离比例是16-1比12-1=15：

11

［例8］某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生

共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？，

A.33B.39C.17D.16”

奇偶特性：不论是加还是减，两个相似成果就是偶数，不同成果就是奇数。两

个相乘，只要有一种偶数就是偶数。

X+y=偶数，x-y也只能是个偶数。答案选D

所有猜题都基于：出题心理学

怎么猜：

多数原则一一选项多次浮现往往是对的

军棋理论一一三个错误选项目是保护对的答案。（3：4：5和3：5：4）

有关原则一一出题干扰选项往往有1到2个东西与对的答案和原文有有关度。

（选项有关：28.4和128.4,再如一道题目如果出是求差，往往是某一选项减去

另一种选项，换言之弄清晰每个选项是怎么来，选项与选项关系，选项与原文关

系，从而迅速猜题）

例：已知甲乙苹果比例是7：4,隐含意思是甲是7倍数，乙是4倍数。差是3

倍数，和是11倍数。

——原则：如果甲：乙=m：n,阐明甲是m倍数，乙是n倍数，甲+乙是m+N倍数,

甲-乙是m-n倍数

一—注意：甲是和乙比较还是和所有和比较

——题目普通是是已知比例，求和。

例：甲区人口是全城4/13,阐明全城人口是13倍数。

判断倍数（很重要）：

一种数是2倍数，尾数是2,4,6,8,0,即偶数

一种数是4倍数，看末两位能被4整除

一种数是5倍数，看尾数是5或0

一种数是6倍数，既是3倍数，又是2倍数。

一种数是8倍数，看末三位。

一种数是3倍数，去3,每一位都加起来，能被3整除

一种数是7倍数：若一种整数个位数字截去，再从余下数中，减去个位数2倍，

如果差是7倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出与否7倍数，

就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」过程，直到能清晰判断为止。例如,

判断133与否7倍数过程如下：13—3x2=7,因此133是7倍数；又例如判断

6139与否7倍数过程如下：613-9x2=595，59—5x2=49,因此6139是7倍

数，余类推。

一种数是9倍数，（去9）每一位加起来，能被9整除

一种数除以一种数余数，就看其相应末几位除以这个数余数即可

例如：两个数差是2345,两数相除商是8,求这两个数之和？

A.2353B.2896C.3O15D.3456

两个数差是奇数，那么和也是奇数，商是8,阐明和是9倍数。答案就出来了。

第二模块计算问题模块

第一节尾数法

计算类型题目，选项尾数不同，就用尾数法

过程中最后一位算出成果最后一位一一老式尾数法

过程最后两位算出成果最后两位一一二位尾数法

1994x-1993x值是（）

A.9B.19C.29D.39

88-79=9

除法尾数法：001除以7,咱们直接转化为乘法尾数法，用选项末尾数乘以7,

看与否符合。

第二节整体消去法

在计算过程中浮现复杂数，并且数字两两很接近

1994x-1993x值是（）

A.9B.19C.29D.39

弃9法（非常重要）

把过程中每一种9（涉及位数之和为9或9倍数18,27等）都舍去，然后位数

相加代替原数计算（答案也要弃9）

上题可以解为：5*4-4*5,答案去9,剩0是A

——看例：8724*3967-5241*1381

8+4=12=33967=75241=2=1=31381=1=3=4

注：弃9法只合用于加减乘，除法最佳不用。

题目：

(873x477-198)+(476x874+199)值是多少？

A.lB.2C.3D.4

办法1,估算法，看题值只有一倍也许。

办法2,尾数相除，得出1

办法3：整体相消法

第三节估算法一一选项差别很大用估算法

第四节裂项相加法

111,（1/

限22x33x42004x©C峭

这题等于（1分之1-分之1）乘以（1/D

X1/

iiiii11H

包⑭卷6399143195L255

拆成裂项形式，3=1*3,255=15*17(发散思维，先想到256=16*16)

第五节乘方尾数问题

19991998末位数字是（）

归纳（重要）：

L4个数尾数是不变：0,6,5,1

2.除上面之外，底数留个位，指数末两位除以4留余数（余数为0,则看做4）

此办法：不用记尾数循环。

第三模块初等数学模块

第一节多位数问题（涉及小数位）

如果问一种多位数是多少，一律采用直接代入法

多位数问题某些基本知识：

掌提多位数问题首先要掌握多位数的基本概念：，

1位数，从.12至收92共小9个。

2位数。从210。到*93共290个。

3位数Q从。1。0。到2999。900-fp

4位数Q从21Q00Q至“9999。共29000个<

化归思想（从简朴推出复杂，已知推出未知）一一以此类推

推出5位数9加上4个0=90000,10位数是9加上9个0

页码（多少页）问题

例题：编一本书书页，用了270个数字（重复也算，如页码115用了2个1和1

个5

共3个数字）问这本书一共有多少页？（）

A.117B.126C.127D.189

记住公式：

数字

“100〜999页书”员码与数字问题：贞码=q=+36’

第二节余数问题

分两类：

1余数问题（一种数除以几，商几，余几）

基本公式：被除数+除数=商…余数（0《余数〈除数

一定要分清“除以”和“除”差别：哪个是被除数是不同

如果被除数比除数小，例如12除5,就是5除以12,那商是0,余数是5（她自

己）

【例1】一种两位数除以一种一位数，商依然是两位数，余数是8。问被除数、除

数、商以及余数之和是多少？

A.98B.107C.114D.125

除数比余数要大，因而除数只能是一位数9,商是两位数，只能是10

例：有四个自然数A、B、C、D,它们和不超过400,并且A除以B商是5余5,

A

除以C商是6余6,A除以D商是7余7。那么，这四个自然数和是？

A.216B.108C.314D.348

注：商5余5,阐明是5倍数

2同余问题（一种数除以几，余几）

一堆苹果，5个5个分剩余3个；7个7个分剩余2个。问这堆苹果个数最

少为（）

A.31B.10C.23D.41

没有商，可以采用直接代入办法。

至少是多少，从小数代起，如果是最大数，从大数代起

注：同余问题核心口诀（应先采用代入法）：

公倍数（除数公倍数）做周期（分三种）：余同取余，和同加和，差同减差

1.余同取余：用一种数除以几种不同数，得到余数相似

此时该数可以选这个相似余数，余同取余

例：''一种数除以4余1,除以5余1,除以6余1”，则取1,表达为60n+l

（60是最小公倍数，因而要乘以n）

2.和同加和：用一种数除以几种不同数，得到余数和除数和相似

此时该数可以选这个相似和数，和同加和

例：”一种数除以4余3,除以5余2,除以6余1”，则取7,表达为60n+7

3.差同减差：用一种数除以几种不同数，得到余数和除数差相似

此时该数可以选除数最小公倍数减去这个相似差数，差同减差

例：''一种数除以4余1,除以5余2,除以6余3”，则取-3,表达为60n-3

选用这个数加上除数最小公倍数任意整数倍（即例中60n）都满足条件

*同余问题也许涉及到题型：在100以内，也许满足这样条件有几种？

—6n+l就可以派上用场。

特殊状况：既不是余同，也不是和同，也不是差同

一种三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样三位数共有多少个？

A.5个B.6个C.7个D.8个

这样题目办法1用周期来做，公倍数是180,依照周期，每180会有一种数，三

位数总共有900个答案是5个。

办法2每两个两个考虑，究竟是不是余同，和同，差同。

第三节星期日期问题

熟记常识：一年有52个星期，，一年有4个季节，一种季节有13个星期。

一副扑克牌有52张牌，一副扑克牌有4种花色，一种花色13张。

（平年）365天不是纯粹52个星期，是52个星期多1天。

（闰年）被4整除都是闰年，366天，多了2月29日，是52个星期多2天。

4年一闰（用于相差年份较长），如下题：

如果8月21日是星期五，那么2075年8月25日是星期几?

涉及到月份：大月与小月

'油将日

—[1*

土日7不一二FA八-1-晒"一\―

/lx曰一叩大力4一日/——1-z-1~Ir/Az.i、

例：

甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，

丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次，如果5月18日四人在图书馆相遇，

则下一次四个人相遇是几月几号？（）

A.10月18日B.10月14日C.11月18日D.11月14日

隔概念（隔1天即每2天）：

隔5天即每6天

隔11天即每12天

隔17天即每18天

隔29天即每30天

接着，算她们最小公倍数，

怎么算最小公倍数呢？

除以最小公约数6,得到L2,3,5,再将6*1*2*3*5即她们最小公倍数180。

因而，180天后来是11月14,答案是D

例：

一种月有4个星期四，5个星期五，这个月15号是星期几？

题眼：星期四和星期五是连着，因此，这个月第一天是星期五，15号是星期五

第四模块比例问题模块

第一节设“1”思想（是计算办法，不是解题办法）

概念：未知一种总量，但它是几并不影响成果，可用设1思想，设1思想是广

义“设1法”

可以设为L2,3等（设为一种比较好算）。

【例】李东在一次村委会选华中，霜2/3电鳍才能当

逸，当统计完3/5的选票时，他得到的逐菽已一达到当

选票数的3/4,他还需妻仔到剩下选票的几分之几才能

当选？

7853

AB-C—D—

10H1210

所有都是分数和比例，因此可以用设1思想，设总选票为60更好算，60是几种

分母最小公倍数。

商店购进甲、乙、丙三种不同糖，所用费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每公

斤费用分别为4.4元、6元和6.6元。如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这

种什锦糖每公斤成本是多少元？

看到4.4,6,6.6咱们想到应当是甲乙丙费用相等都为66,然后就出来了。

第二节工程问题（设1思想运用）

一条隧道，甲单独挖要20天完毕，乙单独挖要10天完毕，如果甲先挖1天，

然后乙接甲挖1天，再由甲接乙挖1天，……，两人如此交替，共用多少天

挖完？（）

A.14B.16C.15D.13

设总量为20*10=200,然后用手指掰着算。

设为最小公倍数

一篇文章，既有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合伙翻译，需要10小时完毕，

如果由乙丙两人合伙翻译，需要12小时完毕。当前先由甲丙两人合伙翻译4小

时，剩余再由乙单独去翻译，需要12小时才干完毕，则，这篇文章如果所有

由乙单独翻译，要多少个小时完毕？

A.15B.18C.20D.25

设总量为60

甲+乙=6

乙+丙=5

（甲+丙）4+12乙=60

依照选项是算乙，因而要更加关怀乙地位，要化为乙算式。

第三节浓度问题

浓度=浓质/浓液浓液=浓质+浓剂

甲杯中有浓度为17%溶液400克，乙杯中有浓度为23%溶液600克。当前从甲、

乙两杯中取出相似总量溶液，把从甲杯中取出倒入乙杯中，把从乙杯中取出倒入

甲杯中，使甲、乙两杯溶液浓度相似。问当前两杯溶液浓度是多少（）

A.20%B.20.6%C.21.2%D.21.4%

Bo由于混合后浓度相似，那么当前浓度等于（总溶质）+（总溶液），即：

（400xl7%+600+23%）+（400+600）x100%=20.6%o

注意：答案不也许是A,看起来很简朴答案往往不是答案（公务员考试是复杂）。

如，一种人从一楼爬到三楼，花了6分钟，那从1楼到30楼，需要几分钟？

解：不要定向思维选60,1楼到3楼爬了2层，每层3分钟，1楼到30楼，爬

了29层，29*3=87,答案是87

例：

在20℃时100克水中最多能溶解36克食盐。从中取出食盐水50克，取出溶

液

浓度是多

少？

A.36.0%B.18.0%C.26.5%D.72.0%

最多能溶解，即溶解度，此时浓度为36/100+36=C

注：最多能溶解=无论再往里面加多少克食盐，由于无法溶解，浓度都不变。

例：一种溶液，蒸发一定水后，浓度为10%；再蒸发同样水，浓度为12%；第三

次蒸

发同样多水后，浓度变为多少？（

）

A.14%B.17%C.16%D.15%

解：10%到12%,溶质不变，溶液变化，因而将分子设为最小公倍数60,分母为

600到500,蒸发了100分水，因而，第三次水是400,溶质不变，因此是D

熟记这些数字：10%,12%,15%,20%,30%,60%（蒸发或增长了同样水）

第五模块行程问题模块

第一节来回平均速度问题

往返平均速度问题

7W+V2

数学上平均数有两种：

一种是算术平均数M=（X1+X2+...+Xn）/n即（vl+v2）/2

一种是调和平均数（调和平均数是各个变量值（标志值）倒数算术平均数倒

数）恒不大于算术平均数。

通过来回平均数速度公式验算，当vl=10,v2=15,v平均=12；当vl=12,v2=15,v

平均=20,当vl=15,v2=30,v平均=20,

一一熟记这个数字：10,12,15,20,30,60（相应前文溶液蒸发水那某些）

应用：vl=20（10*2）,v2=30（15*2）,v平均=12*2=24,vl=40,v2=60,v平均=48

发现一种特点：v平均数都是更接近那个小数，且可以提成两个1：2某些。

第二节相遇追及、流水行船问题

相遇问题（描述上是相向而行）：v=vl+v2

相背而行（描述商是相反而行）：v=vl+v2

追及问题（描述上是追上了）：v=vl（追那个速度快）-v2（被追速度慢）

队伍行进问题1（从队尾到队头）实质上是追及问题：v=vl（追那个速度快）-v2（被

追速度慢）

队伍行进问题2（从队头到队尾）实质上是相遇问题：v=vl+v2

流水行船问题（分三类）：水，风，电梯（顺，取和，逆，取差）

但是，顺着人和队伍走=赶上某人或队伍=追及问题---v=vl-v2

一一因而，顺加逆减有原则：水，风，电梯都是带着人走。

例：

姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后姐姐去追她。姐姐每

分钟走60米，姐姐带小狗每分钟跑150米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰

上姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑

了多少米？

A.600B.800C.1200D.1600

解：姐姐和弟弟速度差20,80除以20=4分钟（姐姐要追上弟弟，需要时间）

因而，小狗路程=4分钟乘以速度150=600（核心在于抓住不变值）

补充一题：青蛙跳井（陷阱）

一只青蛙往上跳，一种井高10米，它每天跳4米，又掉下来3米，问跳几天就

到井口？

一定要思考：当只剩余4米时候，一跳就跳出去了，因而是第6天跳到6米，第

7天就跳到井口了

例：

红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行60米，队尾王教师以每分钟

步行150米速度赶到排头，然后及时返回队尾，共用10分钟。求队伍长度？

A.630米B.750米C.900米D.1500米

设长度为s

S/90+S/210=10

不用算，S必定被90和210整除，答案是A630

第三节漂流瓶问题

二

4T2

T1是船逆流时间，t2是船顺流时间，因此tl>t2

例

已知：A、B是河边两个口岸。甲船由A到B上行需要10小时，下行由B到

A

需要5小时。若乙船由A到B上行需要15小时，则下行由B到A需要()

小时。

A.4B.5C.6D.7

注意：甲船和乙船相应漂流瓶速度是相等(同一条河流上)

因而t=2*10*5/(10-5)t=(2*15*t2)/(15-t2)

第五模块几何问题模块(重点)

第一节几何公式法

1周长公式:正方形=4a,长方形=2（a+b），圆=2gR（R是半径）

2面积公式：掌握两个特殊——S/=nR2,S扇形=n度数/360*nR2

3常用角度公式：三角形内角和180°；N边形内角和为（N-2）X1800

4.惯用表面积公式：

正方体表面积=6a2；长方体表面积=2ab+2bc+2ac；球体表面积=4nR2

圆柱体底面积=2"R2；圆柱体侧面积=2nRh；圆柱体表面积=2nR2+2五Rh

5惯用体积公式：

正方体体积=a*a*a;长方体体积=abc;球体积=4/3nR3

圆柱体体积=nR2h圆锥体体积=1/3nR2h

【例11假设地球是一种正球形，它赤道长4万千米。当前用一根比赤道长10

米绳子环绕赤道一周，假设在各处绳子离地面距离都是相似，请问绳子距离地面

大概有多高？（）

A.1.6毫米B.3.2毫米C.1.6米D.3.2米

［解析］赤道长：2“R=4万千米；绳长：2n（R+h）=4万千米+10米；

两式相减：2nh=10米h=（10/2n）心1.6米，选取C

【例9】甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5：4,甲容器水深9厘

米，乙容器水深5厘米，再往两个容器各注入同样多水，直到水深相等，这时

两容器水深是多少厘米？（）

A.20厘米B.25厘米C.30厘米D.35厘米

解：同样多水，意味着体积相似，底面积=5：4,那么体积相似，因此，设这时

水深为X,那么，（X-9）：（x-5）=4:5

第二节割补平移法

没有公式“不规则图形"，咱们必要使用“割”、“补”、“平移”等手段将其

转化为规则图形问题

第三节几何特性法

等比例放缩特性

一种几何图形其尺度（各边长或长宽高）变为本来m倍,则:

1.相应角度不发生变化

2.相应长度变为本来m倍

3.相应面积变为本来m2倍

4.相应体积变为本来m3倍

几何最值理论

1.平面图形中,若周长一定，越接近于圆（正方形），面积越大;

2.平面图形中,若面积一定，越接近于圆（正方形），周长越小;

3.立体图形中,若表面积一定，越接近于球，体积越大;

4.立体图形中,若体积一定，越接近于球，表面积越小。

【例2］一种油漆匠漆一间房间墙壁，需要3天时间。如果用同等速度漆一间

长、宽、高

都比本来大一倍房间墙壁，那么需要多少天?()

A.3B.12C.24D.30

［答

案］B

［解析］边长增大到本来2倍，相应面积增长到4倍，因而共需

3x4=12天。

【例5］要建造一种容积为8立方米，深为2米长方体无盖水池,

如果池底和池壁造价

分别为每平方米120元和80元，那么水池最低造价为多少元？（

）

A.800B.1120C.1760D.2240

［答案］C

［解析］该水池底面积为8+2=4平方米，设底面周长为C米，

则：该无盖水池造价

=2CX80+4X120=1606+480（元），因而,为了使总造价最低，应当

使底面周长尽量短。由几何最值理论，当底面为正方形时，底面周

长最短，此时底面边长为2米，底面周长为8

米。水池最低造价=160X8+480=1760（元）

第七模块计数问题模块（记录数量问题）

第一节排列组合问题

核心概念：

1.加法和乘法原理

加法原理：分类用加法（取其一）

分类：翻译成“要么，要么”

乘法原理：分步用乘法（所有取）

分步：翻译成“先，后，再”

例：

教室里有15个同窗，其中有10个男生，5个女生。选其中一种擦黑板,

就是取其一。（10+5）

教室里有15个同窗，其中有10个男生，5个女生，选其中一男一女交

际舞，所有取（10*5）

2排列和组合问题

排列（和顺序关于）：换顺序变成另一种状况就是排列

A公式：假设从m中取N,3PA=M*（m-1）连乘N个。

组合（和顺序无关）：换顺序还是本来状况那种就是组合

C公式：假设从M中取N,3PC=[m*（m-1）*（m-2）...]/[n*（n-1）*（n-2）],

分子，分母都连乘n个

【例5]林辉在自助餐店就餐，她准备挑选三种肉类中一种肉类，四种蔬菜中二

种不同蔬菜，以及四种点心中一种点心。若不考虑食物挑选顺序，则她可以有

多少种不同选择办法？

A.4B.24C.72D.144

解：不考虑食物顺序，因此用C,然后肉类，蔬菜，点心是属于分步

问题（全取），因此用乘法原理。

【例6】一张节目表上原有3个节目，如果保持这三个节目相对顺序不变，再添

加2个新

节目，有多少种安排办法？（）

A.20B.12C.6D.4

解：顺序不变不等于捆绑，捆绑是只用于挨着状况。此题用插空法。

办法1：分类计算思想一一当新节目为XY,要么X,Y在一起状况和要

么x,y不在一起状况。

一一捆绑法前提：捆绑对象必要在一起（相邻问题）

3个人捆起来，A33（也需要安排顺序）一一捆绑法先用

——插空法前提：插空对象不容许在一起（相隔问题）

3个人插空是后插她们，先安排别元素——插空法是后用

办法2：分步计算思想，先插X,再插Y（很重要思想）

3.错位排列问题（顺序全错）

问题表述：有N封信和N个信封，则每封信都不装在自己信封里，也许办法

种数计作Dn,

核心规定：人们只要把前六个数背下来即可：0、1、2、9、44、2650（分别相

应n=l,2,3,4,5,6）

例：甲、乙、丙、丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位,

丙不

站在第三位，丁不站在第四位，则所有也许站法数为多少种？

A.6B.12C.9D.24

【例9】五个瓶子都贴了标签，其中正好贴错了三个，则错也许状况

共有多少种？

A.6B.10C.12D.20

解：C53*2（三个瓶子贴三个标签正好贴错为2）=20

引申：

5个瓶子正好贴对了2个=正好贴错了3个

5个瓶子正好贴错了4个，答案是0,由于这是不也许。

第二节比赛计数问题

比赛分类：循环赛，裁减赛

1循环赛：

单循环（任何两个人都要打一场）：Cn2

双循环（任何两个人打两场，分为主场和客场）2*Cn2

注：在没提示单和双状况下，是单循环。

2裁减赛（输一场就走人）

决出冠亚军：n个人要打（n-1）场，由于要裁减（n-D个人

决出冠亚，第三和第四名：n个人要打n场，冠军和亚军干掉两个人加

一场，因此是n场。

[例2]100名男女运动员参加乒乓球单打裁减赛，要产生男、女冠

军各一名，则要安排单

打赛多少场？

A.90B.95C.98D.99

要裁减98个人，因此98场。

例题：某足球赛决赛，共有24个队参加，它们先提成六个小组进行

循环赛，决出16强，这16个队按照拟定程序进行裁减赛，最后

决出冠、亚军和第三、四名。总共需要安排多

少场比赛？（）

A.48B.51C.52D.54

解：循环赛没有提示就当作单循环赛，C42*6+16=52

此题容易想歪：不同组没有胜负关系。

第三节容斥原理

核心公式：

（1）两个集合容斥关系公式：

A+B=AUB+ADB

——核心文字公式:满足条件1个数+条件2个数-两者都满足个数=总-

两者都不

熟悉：1+2-都=总-都不（出题浮现都，都不）

例：

【例1】既有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做对的有40人，化

学实验做对的有31人，两种实验都做错有4人，则两种实验都做对有多少人？

A.27人B.25人C.19人D.10人

直接代入公式。

[例6]一名外国游客到北京旅游，她要么上午出去游玩，下午在旅馆休息，要么

上午休息，下午出去游玩，而下雨天她只能一天都呆在屋里。期间，不下雨天数

是12天，她上午呆在旅馆天数为8天，下午呆在旅馆天数为12天，她在北京

共呆了多少天？

A.16天B.20天C.22天D.24天

上呆+下呆-上下都呆=总数-上下都不呆

设总共呆为X,然后就得出16

［例7］对某单位100名员工进行调查，成果发现她们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又

喜欢看戏剧有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧有16人，三种都喜欢看有12

人，则只喜欢看电影有多少人？

A.22人B.28人C.30人D.36人

解析：只喜欢看电影=就是既不喜欢看球赛也不喜欢看戏剧=即球赛和戏剧都不喜欢

（可以用核心公式）

球+戏-都喜欢=总-都不喜欢

58+38-18=100-x,x=22（总数是不变，不分几种集合）

注意：行测考试有也许存在多余条件，可以忽视。

（2）三个集合容斥关系公式：

A+B+c=AUBuc+AnB+Bnc+cnA-AnBnc

核心提示：一、画圈图；二、标数字（从里往外标）三、做计算

【例8】某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会

说西班牙语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西

语，有2人既会说西班牙语又会说英语;有1人这三种语言都会说。则只会

种语言人比一种语言都不会说人多多少人？（）

A.1人B.2人C.3人D.5人

提示：标数字要从里面共有圈圈往外标（便于计算），往往出题是从

外往里出。

只会法语就直接标在法语独立那某些，会法语不等同于只会法语。

第四节抽屉原理

最惯用办法：最不利原则（运气最背原则）一一构造最不利状况，完

毕答题。

题干均有“保证。。。。”保证背面内容就是最不利对象。

例：

有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出珠

子有两粒颜色相似，应至少摸出几粒？（）

A.3B.4C.5D.6

解：最不利状况就是“总是摸出颜色不相似球”，那就是摸四次都是

红黄蓝白，第五次才干摸到相似。答案选5

［例2］在一种口袋里有10个黑球，6个白球，4个红球，至少取

出几种球才干保证其中有

白球？

A.14B.15C.17D.18

解：最不利状况就是每次都是黑球和红球，因此15次

【例4】从一副完整扑克牌中，至少抽出多少张牌，才干保证至少6

张牌花色相似？

A.21B.22C.23D.24

解：一副牌有4种花色，每种花色有13张，两张大小王。

最不利状况是每种花色都只取了5张，共5*4=20张，然后大小王各一

张，共2张，是22张。

第五节植树问题

基本知识点：

1.单边线型植树公式：棵数=总长+间隔+1;总长=（棵数-1）X

间隔（不封闭）

例：一条大街种树，每多少米种一颗

2.单边环型植树公式：棵数=总长+间隔；总长=棵数X间隔（封闭）

例：三角形，且三个角处必要种树，不种树就变成是单边楼间问题。

3.单边楼间植树公式：棵数=总长+间隔T；总长=（棵数+1）X

间隔

例：两座塔或两座楼为一种单边，每隔多少种树

【例5】把一根钢管锯成5段需要8分钟，如果把同样钢管锯成20

段需要多少分钟（?）

A.32分钟B,38分钟C.40分钟D.152分钟

［答案］B

［解析］类似单边楼间植树问题。钢管锯成5段，有4个锯口；锯

成20段，有19个锯口。

故所需时间为：84-4X19=38分钟。

4.双边植树问题公式：相应单边植树问题所需棵树2倍

为了把年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造

林。某单位筹划在通往两个比赛场馆两条路（不相交）两旁栽上树，

现运回一批树苗，已知一条路长度是另一条路长度两倍还多6000

米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多

396棵，则共有树苗（）。

A.8500棵B.12500棵C.12596棵D.13000棵

第六节方阵问题（正方形）

公式：

1.N排N列实心方阵人数为N*N人（有时候可以运用它是个平方

数来排除选项）；

2.N排N列方阵，最外层共有4N-4人；其她多边形可类推之，

正三角形最外层人数共有323人。（最外层是4倍数，3倍数）

3.方阵中：方阵人数=（最外层人数+4+1）平方。

【例3】小红把平时节约下来所有五分硬币先围成一种正三角形，正好用完，日

后又改围成一种正方形，也正好用完。如果正方形每条边比三角形每条边少用

5枚硬币，则小红所有五分硬币总价值是多少？

A.1元B.2元C.3元D.4元

解析：硬币能围成正三角形，阐明硬币数是3倍数，那么，硬币价值

是3倍数，因此选3,3元是4倍数，4元不是3倍数（价格不需要整除），

因此选3

第七节过河问题

问题阐述：由于船上每次人是有限为n,总人数是M,有一种人划船，

因此坐船人是（MT）,每次坐船人是（n-1），那么过河需要时间

（m-1）/（n-1）

核心知识：

1.N个人过河，船上能载m个人，由于需要一人划船，故共需过河

（n-1）/（m-1）

如果需要4个人划船，就变成（n-4）/（m-4）次

2.过一次河指是单程，来回一次是双程

3.载人过河时候，最后一次不再需要返回。

【例1】49名探险队员过一条小河，只有一条可乘7人橡皮船，过

一次河需3分钟。全体队员渡到河对岸需要多少分钟？