一轮复习第节变化率与导数导数的计算

y′|x＝x0

3．导函数当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝y′＝

.1．f′(x)与f′(x0)相同吗？提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．二、导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的

，过点P的切线方程为：

．斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0(x0，y0)的切线，两种说法有区别吗？提示：两种说法有区别．在点P0(x0，y0)处的切线说明点P0在曲线y＝f(x)上，且P0为切点；过点P0(x0，y0)的切线则点P0不一定在曲线上，或点P0在曲线上也不一定为切点．三、几种常见函数的导数函数导函数f(x)＝cf(x)＝xn(n∈Q*)f(x)＝sinxf(x)＝cosxf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f(x)＝exf(x)＝logax(a＞0且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝0f′(x)＝nxn－1f′(x)＝cos_xf′(x)＝－sin_xf′(x)＝axln_a(a＞0且a≠1)f′(x)＝exf′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)五、复合函数的导数(理)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝

，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的积．yu′u′x

函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．答案：C4．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线y＝3x，则点P的坐标为________．解析：设切点P为(x0，f(x0))，f′(x)＝4x3－1，由题意知f′(x0)＝4x－1＝3，∴x0＝1，∴f(x0)＝0.∴切点P为(1,0)．答案：(1,0)【考向探寻】1．利用导数的概念求有关变化率．2．利用导数的概念，解决有关的实际问题．(1)根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y＝f(x)在x＝x0处的导数有两种方法：一是导数定义法，二是导函数的函数值法．(2)求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的求解步骤【考向探寻】1．利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则求导数．2．求复合函数的导数．(理)(理)运用导数公式和导数的运算法则及复合函数求导法则求导．(文)运用导数公式和导数的运算法则求导即可．一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．

对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真数是分式或根式时，可运用对数的运算性质转化真数为有理式或整式求解更为方便．【考向探寻】1．求曲线的切线方程．2．求曲线的切线倾斜角的取值范围．3．与曲线的切线有关的综合问题．题号分析(1)求导数，得f′，根据两直线位置关系求a.(2)求导数，得斜率，根据条件求x0.(3)①求导数，求切线斜率，写出切线方程；②设切点，求切点坐标，写出切线方程；③设切点，由k＝1求切点坐标，写出切线方程.(1)函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，且在该点处的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤①求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；②根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点、点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．【活学活用】2．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三