两条直线平行与垂直的判定

1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系.1.两条直线平行与斜率的关系设两条不重合的直线l1，l2，斜率存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2.则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔

.

⇔两直线斜率都不存在图示k1＝k2l1∥l2当直线l1与l2斜率都存在时一定有k1＝k2⇔l1∥l2吗？2.两条直线垂直与斜率的关系图示对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔

.l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是

.k1·k2＝－1垂直1.两直线平行与斜率的关系(1)课本中两直线平行的前提条件是斜率都存在，且两直线不重合.从倾斜角的角度看即是两直线的倾斜角α1、α2均不为90°，这样才能保证tanα1＝k1，tanα2＝k2有意义.(2)当l1与l2都垂直于x轴且不重合时，也可推得l1∥l2，即斜率都不存在时两直线也平行，这样两条不重合的直线平行的判定一般性的结论可以是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1、l2的斜率均不存在.2.两直线垂直与斜率的关系(1)由k1·k2＝－1判断两直线垂直的前提条件是斜率都存在且均不为零.(2)两直线中，一条斜率不存在，另一条斜率为0，则这两条直线也垂直.这样两直线垂直更一般的结论为：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率等于0.解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用解析几何的方法表示并解决.这里就是利用两直线平行与斜率的关系求解的.例1

已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D的坐标.[分析]

解答本题可由平行四边形ABCD的性质AB∥CD且AD∥BC入手，设出D的坐标，由kAB＝kCD，kAD＝kBC，解方程组可得D的坐标.判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行．(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)．(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)．(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)．针对这一类型题目，可借助所在直线的斜率关系来解决，使几何问题代数化．在利用斜率关系时，注意斜率为0和斜率不存在的特殊情况．例2

已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．[分析]

解答本题可先由斜率公式求出三边所在直线的斜率，再由两直线垂直的条件求各边上的高所在直线的斜率．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．[解]

由题意知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在，(1)当l1的斜率不存在时，即3＝a－2，a＝5时，k2＝0，此时l1⊥l2满足题意．利用平行与垂直的位置关系求字母参数的值渗透了方程的思想，在求解时，首先应考虑直线的斜率是否有不存在的情况，故应分类讨论，在求出字母的值后，如果是平行的关系，还要检验是否有重合的情况．例3

已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标．[分析]

本题中有三个点A，B，C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以∠ACB＝90°，因此，必有kAC·kBC＝－1.列出方程，求解即可．[评析]

利用直线的平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时特别要注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．本例中，利用∠ACB＝90°，及两条直线垂直时斜率之间的关系，从而构造关于x的方程，解之便求出其交点坐标，因此利用垂直与平行关系可构造相关方程，解之即可求出相关参数．本例中，当AC或BC的斜率不存在时，不满足AC⊥BC.这是很明显的事