三次函数切线专题

PAGEPAGE4三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。设点P为三次函数图象上任一点，则过点P一定有直线与的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。证明设过点P的切线可以分为两类。1、P为切点，切线方程为：P不是切点，过P点作图象的切线，切于另一点Q（）又（1） 即代入（1）式得讨论：当时，，得， 当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。当时，，所以过点P有两条不同的切线。其切线方程为：由上可得下面结论：过三次函数上异于对称中心的任一点作图象的切线，切于另一点，过作图象的切线切于，如此继续，得到点列，则，且当时，点趋近三次函数图象的对称中心。证明：设过与图象切于点的切线为，又 =即设则数列是公比为的等比数列，即。（2）过三次函数外一点的切线问题。设点为三次函数图象外，则过点一定有直线与图象相切。（1）若则过点恰有一条切线；（2）若且，则过点恰有一条切线；（3）若且=0，则过点有两条不同的切线；（4）若且，则过点有三条不同的切线。其中证明设过点作直线与图象相切于点则切线方程为把点代入得：，三次函数切线问题参考答案例1、解：，若A是切点，则切线方程为若A不是切点，设切点为，则切线方程为，将代入得，所以切点为，则切线方程为。小结：求切线方程步骤，先判断点是否在曲线上，如不在曲线上，则参照第二小步设切点坐标，若在曲线上，讨论已知点是否为切点，若为切点，由导数可直接求得斜率。例2、例3、解法一:(Ⅰ)依题意,得由.从而令①当a>1时,当x变化时，与的变化情况如下表：x+－+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.(Ⅱ)由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。观察的图象，有如下现象：①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率Kmp当Kmp－=0时，解得直线MP的方程为令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点综上，t的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()(Ⅰ)直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此,在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于即又因为,所以m的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.作业：1、解：由，得，所以所求的切线方程为，即。2、错解：由，得，所以所求的切线方程为，即。错因剖析：此处所求的切线只说经过P点，而没说P点一定是切点，于是切线的斜率与不一定相等。正解：设经过点P（1，2）的直线与曲线C相切于点，则由，得在点处的斜率，有在点处的切线的方程为。又因为点与点P（1，2）均在曲线C上，有，消去得，解得或，于是或，所以所求切线方程为或。3、设切点坐标为，则，又，得或2。再消去得，于是得或4。4、（I），依题意，即…………2分解得a=1，b=0.∴……………………4分（II）∵∴，当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，……6分∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值，……8分（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，∴关于x0方程=0有三个实根.……10分设g(x0)=，则g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∴函数g(x0)=的极值点为x0=0，x0=1………………12分∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得－3<m<－2.故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2.……14分5、解：(1)∵过点∴a=-8,∴切线的斜率∵的图像过点∴4b+2c=0,∵,解得：b=8,c=-16∴切线方程