圆锥曲线最值问题

圆锥曲线的范围、最值问题x2y21(a>b>0)的中心在原点，焦点在2x轴上，离心率为，点21、已知椭圆C：a2b2F、F分别是椭圆的左、右焦点，在直线x=2上的点P(2,3)满足|PF|=|FF|，直线l：12212（Ⅱ）若在椭圆C上存在y=kx+m与椭圆C交于不同的两点A、B.（Ⅰ）求椭圆C的方程；点Q，满足OAOBOQ（O为坐标原点），求实数的取值范围.c2,1,得c2x2a2.1y12解：依题意有ab．方程．…5分2(2c)2(2c)23.ykxm,（Ⅱ）由(12k2)x24kmx2m220．x2y22,得24kmxx12k2,12A(x,y)、B(x,y)，则设点A、B的坐标分别为…………7分,2m22.1122xx12k2122myyk(xx)2m12k2．1（1）当m0时，点212对称，则0．对称，则0，A、B关于原点A、B不关于原点（2）当m0时，点4km(12k2)11xQ,.x(xx),Q12由OAOBOQ，得即2m(12k2)y(yy).yQQ124km(12k2)2mQ[点在椭圆上，有]22[]22，(12k2)4m(12k2)2(12k2)2120．k2，有4m2(12k2)…①…化简，得2210分16k2m24(12k2)(2m22)8(12k2m2)由012km2②，得20422且0．．m，，则24m2m由①、②两式得222．…14分综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是2xy222、如图，已知椭圆C:1(ab0)的一个焦点是，两1,0个焦点与短轴的一个ab22y端点构成等边三角形.（Ⅰ）求椭圆C的方程；Q4,0（Ⅱ）过点且不与坐标轴垂直的直线lQxA对称点为.1证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；O交椭圆C于A、B两点，设点A关于轴的xBABx（ⅰ）求OABA1面积的取值范围.（ⅱ）求△1所以半焦距c1.C的一个焦点是，1,0解：（Ⅰ）因为椭圆1c1椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形a2a2,b3..所以，解得xy22所以椭圆的标准方程为1.…………4分y43xy22（Ⅱ）（i）设直线l：xmy4与1联立并消去x得：43m4y224my360.记Ax,y3Bx,y，，Ox2112224m3m24由A关于x轴的对称点为，得，根据题设条件设定点为，363m24yyyy，.………………5分1212Tt,0Ax,yA1111yy1kkTB得，即2.xttxTA112xyyx14myy4myy2myy42431t所以21221121yyyyyy1212即定点8分12T1,0T1,0（ii）由（i）中判别式0，解得.可知直线过定点m2AB11SOAB1OTyyyy所以……………10分2221211124m4S,记tt43t42，当t2时，4，令tmt1得1243m2，得OABm3t3my4在2,上为增函数，A1t0tt.3t4228433，82m所以0S，得OA1BOQx3m33BA故△OAB的面积取值范围是0,2.…………………13分31x221(a0)y3、如图，在椭圆中，F，F分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF交椭圆于另一点C，交y轴1于点E，且点F、F三等分线段BD。（I）求a的值；8a21212（II）若四边形EBCF为平行四边形，求点C的坐标。2（III）设SSAF1O,SCF1O,求的取值范围。SCEOAEO解：（I）∵F，F三等份BD，21|FF|1|BD|,即2c12a,a3c…………1分3312a2b2c2,b28,a29,a0,a3.……3分（II）由（I）知a3,B(3,0),F(1,0),F为BF的中点，1122Q若四边形EBCF为平行四边形,C,E关于F(1,0)对称,设C(x,y),2100则E(2x,y),QE在y轴上,2x0,x2,LLLL5分0000xy4y210,Q点(x,y)在椭圆上,0021,021,解得y989832000依题意y210,因此点C的坐标为(2,210)LLLL6分330（III）依题意直线AC的斜率存在，xy212直线AC:yk(x1),A(x,y),C(x,y)由981122yk(x1)18k289k29(k28),xx89k212得(89k2)x218k2x9(k28)0,xx121|AF|hQSAF`1O21|AF|1k|1x||x1|x1,211111xS|AE||x|1k|0x|22|AEh|AEO1111x同理可求2x21x1xx(1x)x(1x)2xxxx112112121xx122xxxx121218k22xx222k222(k28)161689k29(k28)2k28,11分1xx12k28k8289k2点A在第一象限,0k28,令t16,则k2816,088,即0,1611k8ttt22解得t2,即的取值范围是t2.13分x2y14、求F、F分别是椭圆的左、右焦点.2412uuuruuuur一点，PFPF254，求点P的作标；22（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的1（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．（Ⅰ）易知a2，b1，3．∴F(3,0)，．设P(x,y)(x0,F(3,0)y0)．则c123uuuruuuurPFPF(3x,y)(3x,y)x2y235，又，x2y124412x1x12联立，解得3y243P(1,)3，．y2x22y2144（Ⅱ）显然x0不满足题设条件．可设l的方程为ykx2，设A(x,y)B(x,y)，．1122x2y21x24(kx2)24(14k2)x216kx1204ykx2联立1216k，2由(16k)24(14k2)120∴xx12xx14k214k213k．①16k23(14k2)02，4k30，得24uuuruuur又AOB为锐角cosAOB0OAOB0，uuuruuur∴OAOBxxyy0又yy(kx2)(kx2)k2xx2k(xx)4121