圆周运动在实际问题中的应用

由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大．如果铁轨内外侧一样高，则外侧所受的压力很大，容易损坏；实用中使

略高于

，从而

和

的合力提供火车拐弯时所需的向心力．外轨重力铁轨支持力内轨第1页/共47页mg±FF－mg第2页/共47页在平直轨道上匀速行驶的火车，所受合外力为零，在火车转弯时，什么力提供向心力呢？在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图1所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供．若轨道水平，转弯时所需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造成损坏．车速大时，容易出事故．第3页/共47页第4页/共47页第5页/共47页由于铁轨建成后h、L、R各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：第6页/共47页2.静摩擦力作用下的圆周运动静摩擦力的特点是根据物体运动改变大小，变换方向．有人把静摩擦力的这一特点称为“适应性”．由于静摩擦力这一特点的存在导致在许多问题中出现了临界问题．处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的变化，从而结合其他力分析出向心力的变化，以确定圆周运动的其他物理量的变化范围．第7页/共47页对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：第8页/共47页轻绳模型轻杆模型常见类型第9页/共47页第10页/共47页汽车过桥问题当汽车以相同的速率分别行驶在凸形桥的最高点和凹形桥的最低点时，汽车对桥的压力的区别如下表所示.内容项目凸形桥凹形桥受力分析图第11页/共47页第12页/共47页第13页/共47页【例1】有一列重为100t的火车，以72km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径400m.(1)试计算铁轨受到的侧压力的大小．(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的大小．(用反三角函数表示)第14页/共47页第15页/共47页答案：(1)105N

(2)arctan0.1第16页/共47页高分通道火车转弯时，如果内外轨一样高，只能由外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需的向心力．实际修建铁路时一般将弯道建在倾斜的路基上，使火车的内外轨有一定的高度差，利用重力和铁轨对物体的支持力的合力提供部分向心力，以避免铁轨的损坏．第17页/共47页►变式1：在一宽阔的马路上，司机驾驶着汽车匀速行驶，突然发现前方有一条很宽很长的河，试分析说明他是紧急刹车好还是转弯好？(设汽车转弯时做匀速圆周运动，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等)．第18页/共47页第19页/共47页答案：刹车较好第20页/共47页【例2】长度为L＝0.50m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图2所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到 (

)A．6.0N的拉力B．6.0N的压力C．24N的拉力D．24N的压力第21页/共47页第22页/共47页答案：B第23页/共47页高分通道杆连物体在竖直平面内做圆周运动到达最高点的最小速度为0，而绳的最小速度则为，应用时要分清条件．第24页/共47页►变式2：绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5kg，绳长L＝60cm，求：(1)最高点水不流出的最小速率(保留3位有效数字)；(2)水在最高点速率v＝3m/s时，水对桶底的压力．第25页/共47页答案：(1)2.42m/s

(2)2.6N，方向竖直向上第26页/共47页【例3】如图4所示，质量为m的小球在半径为R、质量为M的竖直光滑圆轨道内做圆周运动．要使M不离开地面，m在最高点的速度不能超过多大？第27页/共47页第28页/共47页高分通道此类问题的求解思路为：(1)先以圆周运动的物体为研究对象，分析并列出向心力方程．特别要关注哪个力是要求的那个物体提供的．(2)分析连接体的状态需要、受力特点、力的大小、方向是否可变，变化的范围是什么？变化的临界值是多少等．(3)根据牛顿第三定律，将连接体的这些临界值代入到做圆周运动的物体的方程中，联立求解．第29页/共47页►变式3：如图5所示，质量M＝0.64kg的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，M用细绳通过光滑的定滑轮与质量为m＝0.3kg的物体相连．假定M与轴O的距离r＝0.2m，与平台的最大静摩擦力为2N．为使m保持静止状态，水平转台做圆周运动的角速度ω应在什么范围？(g＝10m/s2)第30页/共47页解析：m保持静止状态时，M做圆周运动的半径不变，M的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供，由于静摩擦力的大小、方向不定，所以存在临界问题．当ω最小时，M受到的最大静摩擦力的方向与拉力的方向相反，则有mg－Ffm＝Mωr代入数据得ω1＝2.80rad/s当ω增大时，静摩擦力减小，当ω′＝4.84rad/s时，静摩擦力为零．第31页/共47页当ω继续增大时，M受到的静摩擦力方向反向，与拉力方向相同，静摩擦力与拉力的合力提供做圆周运动的向心力．当ω最大时有mg＋Ffm＝Mωr代入数据得ω2＝6.25rad/s因此ω的取值范围为2．80rad/s≤ω≤6.25rad/s.答案：2.80rad/s≤ω≤6.25rad/s第32页/共47页1．在实际修筑铁路时，要根据弯道半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，如果火车按规定的速率转弯，内、外轨与车轮之间没有侧压力，那么火车以小于规定的速率转弯，则 (

)A．仅内轨对车轮有侧压力B．仅外轨对车轮有侧压力C．内、外轨对车轮都有侧压力D．内、外轨对车轮均无侧压力第33页/共47页答案：A第34页/共47页2．如图6，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是 (

)A．绳的拉力B．重力和绳拉力的合力C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力第35页/共47页第36页/共47页解析：小球在竖直平面内做变速圆周运动，受重力和绳的拉力作用，由于向心力是指向圆心方向的合外力，因此它可以被认为是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以被认为是各力沿绳方向的分力的合力，故C、D选项正确．答案：CD第37页/共47页3．如图7所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员 (

)第38页/共47页第39页/共47页答案：BC第40页/共47页4．用一根细绳，一端系住一个质量为m的小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图8所示的匀速圆周运动，若使小球不离开桌面，其转轴的转速最大值是 (

)第41页/共47页答案：A第42页/共47页5．质量为60kg的体操运动员做“单臂大回环”，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动，如图9所示，此过程中，运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，g＝10m/s2) (

)A．600NB．2400NC．3000ND．3600N第43页/共47页答案：C第44页/共47页6．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与