勾股定理课件华东师大版数学八年级上册

14.1勾股定理1.直角三角形三边的关系1.掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法．（重点）2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想．（难点）学习目标某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火?问题情境观察正方形瓷砖铺成的地面.(1)正方形P的面积是________平方厘米；(2)正方形Q的面积是_______平方厘米；(3)正方形R的面积是_______平方厘米.121RQPACB[图中每一格代表一平方厘米]直角三角形三边的关系上面三个正方形的面积之间有什么关系？等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？这说明在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

那么，在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？想一想P的面积(单位长度)Q的面积(单位长度)R的面积(单位长度)图2图3P、Q、R面积关系直角三角形三边关系QPRQPRABCABC916259413SP

+SQ

=

SRBC2

+

AC2

=

AB2BC2

+

AC2

=

AB2图2图3试一试把R看作是四个直角三角形的面积

+小正方形面积.QPRQPR把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.QPRQPRS正方形R分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.13512ABC做一做归纳

由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为

a、b，斜边为

c，那么一定有a2

+b2

=c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：∵

在Rt△ABC

中，∠C=90°，∴a2

+b2

=c2（勾股定理）.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.aABCbc∟赵爽弦图“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.abc赵爽弦图b-a证明：∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-

a)2，∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，abc赵爽弦图b-a用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理.大正方形的面积可以表示为

；也可以表示为

.aaaabbbbcccc(a+b)2即

a2+2ab+b2=

c2+2ab，∴a2+b2=c2.做一做方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：已知直角三角形两边，求第三边.练一练2.直角三角形的判定1.了解直角三角形的判定条件．（重点）2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）学习目标据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)你想知道这是什么道理吗?直角三角形的判定试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：

(1)a=3，b=4，c=5；(2)a=4，b=6，c=8；

(3)a=6，b=8，c=10.这三组数都满足a2+b2=c2吗？在这三组数据中，(1)、(3)两组数据恰好都满足

a2+b2=c2.

对于任意一个三角形，若三边长满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形吗？勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.

例1已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a²+b²=c²，求证：∠C=90°.ABC证明：如图，作△A'B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，则A′B′²=a²+b²=c²，即A′B′=c.在△ABC和△A′B′C′中，∵BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′(S.S.S.).∴∠C=∠C′=90°.B′C′A′例2下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1)a=15，b=8，c=17；∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=

15.∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.归纳根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.例3例3一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示，你说这个零件符合要求吗?DABC4351312DABC图1图2解：在△ABD中，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.在△BCD中，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此，这个零件符合要求.DABC4351312例4已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC²，∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.先确定

AB、BC、AC、的大小勾股数下列各组数是勾股数的是()A.6，8，10B.7，8，9，，0.5D.52，122，132方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.A练一练3.反证法1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.(重点)2.理解并体会反证法的思想内涵.(难点)3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.学习目标

如图，在△ABC

中，AB

=

c，BC

=

a，AC

=

b

(a≤b≤c)有关系

a2+

b2

=

c2

时，这个三角形一定是直角三角形吗？

解析：由

a2+

b2

=

c2，根据勾股定理的逆定理可知∠C

=

90°，这个三角形一定是直角三角形.cabACB反证法

若将上面的条件改为“在△ABC

中，AB

=

c，BC

=

a，AC

=

b

(a≤b≤c)，a2+

b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.(1)假设它是一个直角三角形；(2)由勾股定理，一定有

a2+

b2

=

c2

，与已知条件

a2+

b2≠c2

矛盾；(3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.cabACB反证法这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的；(2)然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.像这样的证明方法叫“反证法”.例1

写出下列各结论的反面：(1)a∥b；(2)a≥0；(3)b是正数；(4)a⊥b.a＜0b是0或负数a不垂直于

ba不平行于

b例2在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.证明：假设______________，则_________________

(

).这与__________________矛盾．假设不成立．∴____________________________．∠B＝∠CAB＝AC等角对等边已知

AB≠AC∠B≠∠CABC小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例3求证：两条直线相交只有一个交点.已知：如图，两条相交直线a，b.求证：a与b只有一个交点.abA●证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A'，因为两点确定一条直线，即经过点A和A'的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立.所以两条直线相交只有一个交点.abA●A'●小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.例4求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.点拨：至少的反面是没有！证明：假设______________________________________，即____________________________________，∴_______________________________________，这与________________________矛盾．假设不成立．∴_______________________________________．△ABC

中没有一个内角小于或等于60°∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°三角形的内角和为180°△ABC中至少有一个内角小于或等于60°∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为—___________

.15cm17cm64cm²当堂练习2.判断题①△ABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13()②△ABC的a=6，b=8，则c=10()在△ABC中，∠C=90°，AC=6，CB=8，则△ABC面积为_____，斜边为上的高为______.

24ABCD3.一高为2.5米的木梯，架在高为2.4米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少？ABC4.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4km处，过了15s，飞机距离这个男孩头顶5km.这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？4554CBA解：在Rt△ABC

中，答：飞机飞过的距

离是3km.5.如图，一根旗杆在离地面9m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处.旗杆原来有多高?12m9m解：设旗杆顶部到折断处的距离为xm，根据勾股定理，得92-122=x2x=15，15+9=24(m).答:旗杆原来高24m.6.如果线段a，b，c能组成直角三角形，则它们的比可以是()3:4:7B.5:12:13C.1:2:4D.1:3:57.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形()A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形当堂练习BA8.以△ABC的三条边为边长向外作正方形，依次得到的面积是25，144，169，则这个三角形是_____三角形.9.如果三条线段

a，b，c满足

a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么?直角解：是直角三角形，因为

a2+b2=c2，满足勾股定理的逆定理.10.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.412243解：由题意可知△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.由勾股定理，知

BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25，∴BE2+EF2=BF2.∴△BEF是直角三角形.11.试说出下列语句的反面：（1）a是实数______________（2）a大于2____________________（3）a小于2____________________（4）至少有两个________________（5）最多有一个________________

（6）两条直线平行________________a不是实数a小于或等于2a大于或等于2最多有一个至少有两个两直线不平行当堂练习12.用反证法证明“若a2≠b2，则a≠b”的第一步是_______________.13.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步____________________________________.