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第一章集合集合函数三角函数平面向量直线和圆的方程圆锥曲线方程数列复数立体几何概率与统计全套可编辑PPT课件目录第一节集合第二节集合的运算第三节充要条件第四节不等式与区间第五节不等式的解法CONTENTS第一节集合第二节集合的运算第三节充要条件第四节不等式与区间第五节不等式的解法一、集合的概念日常生活中，我们所看到的、听到的、触摸到的、想到的各种各样的实物或一些抽象的符号都可以视作对象，由某些指定的对象集在一起所组成的整体就叫做集合，简称集。组成集合的每个对象称为元素。例如，把所有小于10的自然数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的各个数都看成对象，所有这些对象汇集在一起就构成了一个集合，其中的每个数即为这个集合中的元素.

关于集合的概念有如下说明：01

集合的元素具有确定性，即作为一个集合的元素，必须是确定的。也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就是确定的了02

集合的元素具有互异性，即给定一个集合，则集合的元素一定是互不相同的03

集合的元素具有无序性，即集合中元素间一般不考虑顺序

例1下列语句能否确定一个集合？（1）一切很大的数；（2）方程x2=4的所有解；（3）不等式x-5>0的所有解.

根据集合所含有的元素个数可以将其分为有限集和无限集两类.含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.例如，上述例1中的（2）所构成的集合即为有限集，（3）所构成的集合即为无限集.在例1的（2）中，集合的元素是-2和2，它们都是方程x2=4的解，像这样，方程的所有解组成的集合叫做这个方程的解集；同样，在例1的（3）中，由不等式的所有解所组成的集合叫做这个不等式的解集.由数所组成的集合称作数集.我们用某些特定的大写英文字母表示常用的一些数集：所有非负整数所组成的集合叫做自然数集，记作N；所有正整数所组成的集合叫做正整数集，记作N*；所有整数组成的集合叫做整数集，记作Z；所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q；所有实数组成的集合叫做实数集，记作R.二、集合的表示方法1列举法

例2用列举法表示下列集合：（1）大于1小于10的所有偶数组成的集合；（2）方程x2+x-6=0的解集

2描述法有的集合用列举法表示起来是很不方便的，如“由大于2的所有实数组成的集合”，大于2的实数有无穷多个，显然无法用列举法将该集合的元素一一列出，此时用描述法来表示该集合则比较方便.把描述集合元素的特征性质或表示集合中元素的规律写在花括号内用来表示集合的方法叫做描述法.例如，上述“由大于2的所有实数组成的集合”，可以看出该集合的元素都具有如下性质：都是实数，都大于2.因此，该集合可用描述法表示为｛x︱x>2，x∈R｝，花括号内竖线左侧的x表示这个集合中的任意一个元素，元素x从实数集R中取值，竖线的右侧写出的是元素的特征性质.如果从上下文可以明显看出集合的元素为实数，则x∈R也可以省略不写，如上述的集合可表示为｛x︱x>2｝

例3用描述法表示下列集合：（1）｛-3，3｝；（2）大于3的全体偶数构成的集合；（3）不等式10x+1≥0的解集

三、集合之间的关系1子集

例4写出集合A=｛1，2，3｝的所有子集和真子集

2集合的相等

观察集合A=｛1，2，3｝，B=｛x︱0<x<4，x∈N｝，

可以看出，集合A和集合B的元素完全相同，只是两个集合的表达方式不同

一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，或者集合B的每一个元素都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B.

例5判断下列各组集合的关系：

第二节集合的运算第三节充要条件第四节不等式与区间第五节不等式的解法一、交集

观察集合：

A=｛0，1，2，3，4，5｝，B=｛1，2，3，6，7，8｝，C=｛1，2，3｝，可以看出，集合C的元素恰好是集合A与集合B的所有共同元素.一般地，像上述那样，给定两个集合A、B，由既属于A又属于B的所有共同元素构成的集合叫做集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”可用下图所示的阴影部分来形象地表示

例1已知A=｛-1，0，1，2，3｝，B=｛1，3，5，7｝，求A∩B解

A∩B=｛1，3｝，可用右图来表示

例2已知A=｛x︱x是等腰三角形｝，B=｛x︱x是直角三角形｝，求A∩B

例3已知A=｛x︱-2<x≤1｝，B=｛x︱0<x<4｝，求A∩B分析集合A、B是用描述法表示的集合，并且集合的元素没法一一列举出来，因此可以结合数轴来进行解题。解在数轴上表示集合A、B，如图所示.解

在数轴上表示集合A、B，如图所示.从图中易看出，阴影部分即为集合A、B的交集，即A∩B=｛x︱-2<x≤1｝∩｛x︱0<x<4｝=｛x︱0<x≤1｝二、并集

观察下面三个集合：

M=｛-2，-1，0｝，N=｛1，2，3，4｝，P=｛-2，-1，0，1，2，3，4｝，可以看出，集合P是集合M与集合N的所有元素组成的.一般地，像上述那样，对于两个给定的集合A、B，由集合A和集合B的所有元素组成的集合叫做集合A和集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”。

例5已知A=｛3，4，5，6｝，B=｛5，6，7，8｝，求A∪B解A∪B=｛3，4，5，6｝∪｛5，6，7，8｝=｛3，4，5，6，7，8｝则可看出A∪B=｛x︱-1<x≤2｝∪｛x︱0<x≤3｝=｛x︱-1<x≤3

例6已知A=｛x︱-1<x≤2｝，B=｛x︱0<x≤3｝，求A∪B解将集合A和集合B在数轴上表示出来，如图所示分析本题结合数轴进行解题比较直观则可看出A∪B=｛x︱-1<x≤2｝∪｛x︱0<x≤3｝=｛x︱-1<x≤3｝三、补集

第三节充要条件第四节不等式与区间第五节不等式的解法

例1指出下列各组中的条件p是结论q的什么条件：（1）p：x=3，q：（x-1）（x-3）=0；（2）p：x>1，q：x>3；（3）p：x=y，q：（x-y）2=0.解

（1）由条件x=3成立能够推出结论（x-1）（x-3）=0成立，因此p是q的充分条件；而由结论（x-1）（x-3）=0成立则不能够推出条件x=3成立，因为当x=1时，（x-1）（x-3）=0也成立，所以p不是q的必要条件.（2）由条件x>1成立不能推出结论x>3成立，如x=2时，2>1但2<3，因此p不是q的充分条件；而由结论x>3成立则能够推出条件x>1成立，所以p是q的必要条件.（3）由条件x=y成立能够推出结论（x-y）2=0成立，而由结论（x-y）2=0成立也能够推出条件x=y成立，因此p是q的充要条件.第四节不等式与区间第五节不等式的解法一、实数大小的比较

如果a＞b，且b＞c，则a＞c二、不等式的基本性质性质1

性质1所描述的不等式的性质称为不等式的传递性性质2如果a＞b，则a+c＞b+c.证明

因为a＞b，所以a-b＞0.又因为（a+c）-（b+c）=a-b＞0，所以a+c＞b+c.

性质2表明，不等式两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变，因此将性质2称为不等式的加法性质.性质3如果a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，c＜0，则ac＜bc

性质3表明，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变，因此将性质3称为不等式的乘法性质三、区间

我们知道，实数集是与数轴上的点集一一对应的，如集合｛x︱1＜x＜3｝可以在数轴上表示如图所示.由数轴上两点之间的所有实数所组成的集合叫做区间，这两个点叫做区间端点.不含端点的区间叫做开区间，图中，集合｛x︱1＜x＜3｝即表示的是开区间，记作（1，3），其中1表示区间的左端点，3表示区间的右端点.在数轴上表示区间时，开区间的两个端点用空心点表示（见图）.1有限区间

含有两个端点的区间叫做闭区间，如图中集合｛x︱1≤x≤3｝表示的区间即为闭区间，记作［1，3］.在数轴上表示闭区间时，其两个端点用实心点表示.只含左端点的区间叫做右半开区间，如集合｛x︱1≤x＜3｝表示的区间即为右半开区间，记作［1，3）；只含右端点的区间叫做左半开区间，如集合｛x︱1＜x≤3｝表示的区间即为左半开区间，记作（1，3］.

例5已知集合A=（0，3），B=［1，5），求A∪B，A∩B解集合A、B用数轴表示如下图所示，由图可看出A∪B=（0，5），A∩B=［1，3）

集合｛x︱x＞3｝可在数轴上表示如图所示.2无限区间

由图可以看出，集合｛x︱x＞3｝表示的区间的左端点为3，没有右端点，这时可将其记作（3，+∞），其中“+∞”读作“正无穷大”，表示右端点可以没有具体的数，可以任意大.同样，集合｛x︱x＜3｝表示的区间可记作（-∞，3），其中“-∞”读作“负无穷大”.集合｛x︱x≥3｝表示的区间为［3，+∞），是右半开区间；集合｛x︱x≤3｝表示的区间为（-∞，3］，是左半开区间.由上可以看出，一般可以用区间来表示的集合用区间表示会更方便.

例6

解集合A、B在数轴上表示如图所示

第五节不等式的解法一、一元一次不等式

观察下面两个不等式：（1）x2-2x+1＞0；（2）x2-3x+10≤0.可以看出，这两个不等式的共同特点是：（1）都只含一个未知数x；（2）未知数x的最高次数都是2.一般地，像上述那样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式，叫做一元二次不等式，它的一般形式为ax2+bx+c＞（≥）0或ax2+bx+c＜（≤）0，其中，a、b、c为常数，且a≠0.上述一元二次不等式的一般形式的左边恰好是自变量为x的一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的解析式.下面我们将通过实例来研究一元二次不等式的解法，以及它与相应的函数、方程之间的关系.

二、含绝对值的不等式

在初中我们已经学过，对任意实数x，都有︱x︱≥0，且有

︱x︱的几何意义是在数轴上表示实数x的点到原点的距离.绝对值符号内含有未知数的不等式叫做含绝对值的不等式.

根据绝对值的几何意义，不等式︱x︱＞1表示的是数轴上到原点的距离大于1的所有点的集合，在数轴上表示如图（a）所示；︱x︱＜1表示的是数轴上到原点的距离小于1的所有点的集合，在数轴上表示如图（b）所示.1︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式由图（a）可看出，不等式︱x︱＞1的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）；由图（b）可看出，不等式︱x︱＜1的解集为（-1，1）.一般地，不等式︱x︱＞a（a＞0）的解集为（-∞，-a）∪（a，+∞），不等式︱x︱＜a（a＞0）的解集为（-a，a）.

对于︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式可以转化为︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型来求解.例如，解不等式︱2x+1︱＜1，可先设2x+1=m，则不等式︱2x+1︱＜1可化为︱m︱＜1，可解得

-1<m<1，即-1<2x+1<1，根据不等式的性质可得-1<x<0，则原不等式︱2x+1︱＜1的解集为（-1，0）.像上述那样，将︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式转化为︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式来求解的方法称为“变量替换法”或“换元法”，即用新的简单的变量（如上述的“m”）来替换原来的变量（如上述的“2x+1”），从而将复杂的问题简单化.在实际的运算过程中，变量替换的过程可以省略不写.2︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式三、分式不等式

例7

解不等式组（Ⅰ）得x＞3；解不等式组（Ⅱ）得x＜－2.所以原不等式的解集为(－∞,－2)∪(3,+∞).课后习题完成下面的表格完成下面的表格THANKSFORLISTENING

第二章函数目录第一节函数的概念与性质第二节反函数第三节实数指数幂第四节指数函数第五节对数第六节对数函数CONTENTS第一节函数的概念与性质第二节反函数第三节实数指数幂第四节指数函数第五节对数第六节对数函数一、函数的概念

在初中，我们已经学习了变量与函数的概念.在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，就有唯一的一个y值与其对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.例如，一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，则在t小时里汽车行驶的路程为s=60t，这里的时间t为自变量，路程s为因变量，时间t在某个范围内变化，路程s也相应地在某个范围内变化，路程s是时间t的函数.用变量的观点来描述函数，可以形象地描述事物的变化规律，但有一定的局限性.先看下面的问题：问题一y=1(x∈R)是一个函数吗？问题二函数y=x与函数y=x2x是同一个函数吗？初中学过的函数概念很难回答这些问题，于是，我们从新的角度给出函数的定义：设集合D是一个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于D中的任意一个数x，都有唯一确定的数y与之对应，则这种对应关系叫做集合D上的一个函数，记作y=f(x),x∈D，其中x叫做自变量，自变量x的取值范围（集合D）叫做函数f(x)的定义域，所有函数值构成的集合{y︱y=f(x),x∈D}叫做函数f(x)的值域.当x=x0时，函数y=f(x)对应的值y0叫做函数在点x0处的函数值，记作y0=f(x0).该定义使用了集合语言确切地刻画了函数，更具有一般性.从中我们还可以看出，函数的值域是由函数的定义域和对应法则所确定的，因此一个函数的确定只需要两个要素：定义域和对应法则.

例1

解

(1)要使函数有意义，必须使x－5≥0，所以函数的定义域为x≥5，即［5,+∞).

(2)当x+3≠0，即x≠－3时，函数有意义，所以函数的定义域为(－∞,-3)∪(-3,+∞).

例2

二、函数的表示方法1函数的三种表示方法上一节我们已经明确了函数的概念，那么怎样表示一个函数呢？例如，商店里面所售练习本的单价为0.8元，买练习本的本数x（本）与付款款额y(元)的函数关系如何表示?首先，我们做一个表格：列出表格可以很直观地反映出练习本的本数x与付款款额y之间的关系，像这种通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.但这种表示方法一般不完整，如要买80本练习本，则所需付的款额表中就没有，那么还可以用什么方式表示呢？我们可以用一个数学式子y=0.8x来表示.像这种在函数y=f(x)(x∈D)中，f(x)是用代数式或解析式（0.8x）来表达的方法叫做解析法.这种方法严谨、完整，但不够直观.另外，描绘函数的图像，也可以直观形象地表示一个函数，如下图所示.像这种利用图像表示函数的方法叫做图像法.

例4某工厂的一名普通工人每天的基本工资是20元，每加工完成一个合格零件日收入增加5元，一名工人的日收入y是他每天完成的合格零件数x的函数，当一名工人每天完成的合格零件数在5件以内（含5件）时，请用三种方法表示这个函数解（1）按照题意，分别计算出一名工人每天完成合格零件数x在1～5件时的日薪y（元），列成表格，因此函数用列表法表示如表所示：

例4解（2）根据题意，函数的解析式为y=20+5x，因此函数的解析法表示为y=5x+20,x∈{1,2,3,4,5}.

(3)以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中画出各个相应的点.因此，函数的图像法表示如图所示.2分段函数

例6国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量m（克）和对应的邮资M（元）如表所示:请用解析法和图像法表示该函数

例6解（1）函数的解析式为

（2）函数的图像如图所示.这种在定义域的不同部分有不同对应法则的函数叫做分段函数三、函数的性质1函数的单调性图为某地区2008年元旦这一天24小时内的气温变化图.从上图中可以看到，在4点到14点这个时间段内，气温是逐步升高的；在0点到4点和14点到24点的时间段内，气温是逐步下降的

（2）当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)成立，那么函数y=f(x)叫做区间I上的减函数（或单调递减函数），区间I叫做函数y=f(x)的减区间.观察下图，函数y=f(x)是区间(a,b)上的减函数，区间(a,b)是该函数的减区间.在某一区间上单调递增或单调递减的函数叫做在这个区间上的单调函数，该区间叫做这个函数的单调区间.2函数的奇偶性

引例1

在初中平面几何中，我们学习了关于轴对称图形和中心对称图形的知识.知道点M(a,b)关于y轴的对称点为M′(－a,b)，关于原点的对称点为M″(－a,－b).

引例2

例10

第二节反函数第三节实数指数幂第四节指数函数第五节对数第六节对数函数一、反函数的定义

二、互为反函数的函数图像间的关系

先看下面的例子

例2求函数y=2x－2的反函数，并在同一平面直角坐标系中作出它们的图像.

第三节实数指数幂第四节指数函数第五节对数第六节对数函数一、有理数指数幂

在初中我们学习了整数指数幂，知道当n∈N*时，

二、实数指数幂及其运算法则

有理指数幂还可以推广到实数指数幂.一般地，当a>0,α为任意实数时，实数指数幂a、α都是有意义的.可以证明，对任意实数α、β，上述运算法则仍然成立三、幂函数举例

例5

例5解接下来采用描点法作这6个函数的图像.分别在其定义域中取一些值，如表2-6~表2-9所示：

例5它们的图像如图所示第四节指数函数第五节对数第六节对数函数一、指数函数及其图像和性质

先看下面的问题，研究问题中两个变量之间的依赖关系

问题1

问题2

例1解列出x、y的对应值，如表所示

例1解用描点法，在同一坐标系中作出它们的图像，如图所示

例2解列出x、y的对应值，如表所示

例2解用描点法，在同一坐标系中作出它们的图像，如图所示

（3）当a>1时，该函数是增函数，当0<a<1时，该函数是减函数，如图所示.第五节对数第六节对数函数一、对数的概念

根据对数的定义，对数具有如下性质:010和负数没有对数，即N>0；02

03

二、积、商、幂的对数第六节对数函数一、对数函数及其图像和性质

例1解分别列出两个函数x、y的对应值，如表2－12，表2－13所示：

作对数函数y=log2x和y=log3x的图像

例1解

用描点法，在同一坐标系中作出它们的图像，如图所示

例2解分别列出两个函数x、y的对应值，如表2－14，表2－15所示：

例1解

用描点法，在同一坐标系中作出它们的图像，如图所示

（3）在定义域内，当a>1时是增函数；当0<a<1时是减函数，如图所示课后习题THANKSFORLISTENING

第三章三角函数目录第一节任意角的概念与弧度制第二节任意角的三角函数第三节同角三角函数的基本关系第四节三角函数的诱导公式第五节三角函数的图像和性质第六节正弦型曲线第七节加法定理第八节解斜三角形第九节反三角函数CONTENTS第一节任意角的概念与弧度制第二节任意角的三角函数第三节同角三角函数的基本关系第四节三角函数的诱导公式第五节三角函数的图像和性质第六节正弦型曲线第七节加法定理第八节解斜三角形第九节反三角函数一、角的概念的推广

我们知道，角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.如图（a）所示，射线的端点是O，它从位置OA旋转到另一位置OB形成的图形叫做角.旋转位置开始的射线OA叫做角的始边，终止位置的射线OB叫做角的终边，端点O叫做角的顶点.规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，如图（a）所示；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图（b）所示.当射线没有做任何旋转时，我们称它形成一个零角，零角的始边与终边重合

在以前所学的知识中，我们只研究了0°~360°范围的角，但在现实生活中我们还会遇到更大范围的角.例如，游乐场的摩天轮，当它一圈又一圈地转动着的时候，其转动的角度不是只限于0°~360°.为了描述这种现实状况，我们把角的概念加以推广，即推广到任意角，包括正角、负角和零角.如图所示，正角α=210°，负角β=－150°.

为了方便研究，我们经常在平面直角坐标系中研究角.将角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合.坐标平面被直角坐标系分为四个部分，如图所示，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角，或者说这个角在第几象限.

例1如图所示，60°、420°、－300°角都是第一象限的角，见图（a）；150°角是第二象限的角，－150°角是第三象限的角，见图（b）；－30°、330°角都是第四象限的角,见图（c）.

边在坐标轴上的角叫做界限角，如0°、90°、180°、270°、360°、－90°、－180°角都是界限角.从图（a）可以看出420°、－300°角都与60°角的终边相同，并且都可以表示成60°与k个周角的和，其中的k为整数，即420°=60°+k×360°(k=1),－300°=60°+k×360°(k=－1)，它们是角的始边绕坐标原点旋转到60°角的终边位置后，分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角，其终边都相同，因此将其叫做终边相同的角.与60°角的终边相同的角有无限多个，用集合表示为{α︱α=60°+k·360°,k∈Z}.一般地，与角α终边相同的角有无限多个，并且它们（包括角α在内）都可以写成β=α+k·360°(k∈Z)的形式,所以它们所组成的集合为{β︱β=α+k·360°,k∈Z}二、弧度制初中我们研究过角的度量，即将圆周的1／360所对的圆心角叫做1度角，记作1°，如图（a）所示.这种用“度”做单位来度量角度的单位制叫做角度制.现在我们来学习另外一种度量角的单位制——弧度制.把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1弧度或1rad，如图（b）所示.

表中给出了一些特殊角的弧度与角度之间的换算.采用弧度制之后，每一个角都对应唯一的一个实数；反之，每一个实数都对应唯一的一个角.这样，角与实数之间就建立了一一对应的关系.第二节任意角的三角函数第三节同角三角函数的基本关系第四节三角函数的诱导公式第五节三角函数的图像和性质第六节正弦型曲线第七节加法定理第八节解斜三角形第九节反三角函数一、任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念

下表所示为正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域.二、任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数在各象限的正负号

由于r>0，所以三角函数值的正负由终边上点P的坐标来确定.因此由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号可知：

为了便于记忆，我们将三角函数的正负号标在各个象限内，如图所示三、界限角的正弦值、余弦值和正切值

第三节同角三角函数的基本关系第四节三角函数的诱导公式第五节三角函数的图像和性质第六节正弦型曲线第七节加法定理第八节解斜三角形第九节反三角函数

例

第四节三角函数的诱导公式第五节三角函数的图像和性质第六节正弦型曲线第七节加法定理第八节解斜三角形第九节反三角函数一、角α与α+2kπ(k∈Z)的三角函数间的诱导公式

由第一节可知，在直角坐标系中，角α与α+2kπ(k∈Z)的终边相同.根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等，即sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2kπ)=tanα.利用上述公式，我们就可以把求任意角的三角函数的值转化为求0°~360°的三角函数的值.二、角α与－α的三角函数间的诱导公式

于是，我们得到角α与－α的三角函数值之间的关系：sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα,tan(－α)=－tanα.利用上述公式，我们就可以把负角的三角函数转化为正角的三角函数.三、角α与π±α的三角函数间的诱导公式

如图所示，已知任意角α的终边与单位圆相交于点P，由于角π+α的终边就是角α的终边的反向延长线，所以角π+α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点对称.点P的坐标为(cosα,sinα)，点P′的坐标为(cos(π+α),sin(π+α))，又由于点P′与点P关于原点对称，则点P′的坐标又可以写为(－cosα,－sinα)，所以可得sin(π+α)=－sinα,cos(π+α)=－cosα.

于是，我们得到角α与π－α的三角函数值之间的关系：sin(π－α)=sinα,cos(π－α)=－cosα,tan(π－α)=－tanα.

以上公式统称为诱导公式，利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，用以求三角函数式的值或化简三角函数式.第五节三角函数的图像和性质第六节正弦型曲线第七节加法定理第八节解斜三角形第九节反三角函数一、正弦函数的图像和性质

下面研究三角函数的时候，按照惯例采用字母x来表示角（自变量）.在平面直角坐标系中，可以利用描点法得到正弦函数的图像.一般地，作图时自变量x应采用弧度制.现在利用描点法画出正弦函数的图像.把区间［0,2π］分为8等份，分别求得函数y=sinx在各分点及区间端点的函数值，列表如表所示：

以表中每组(x,y)的值作为点的坐标，在直角坐标系内作出对应的点，把它们依次连结成光滑的曲线，就得到了正弦函数y=sinx在区间［0,2π］上的图像，如图所示.

因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以将函数y=sinx在［0,2π］上的图像向左或向右平移（每次移动2π个单位长度），这样就得到正弦函数y=sinx在R上的图像，如图所示.正弦函数的图像叫做正弦曲线.

观察发现，正弦函数y=sinx在［0,2π］上的图像有五个关键点：(0,0),(π/2,1),(π,0),(3π/2,－1),(2π,0).在直角坐标系中，描出这五个点后，正弦函数y=sinx在［0,2π］上的图像的形状就基本上确定了.因此在精确度要求不高时，经常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线把它们连结起来，就得到了正弦函数在［0,2π］上的简图.这种作图的方法叫做“五点法”.

下面我们研究正弦函数的主要的性质.1定义域正弦函数y=sinx的定义域是R.2值域

3周期性对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，当x取定义域D内的每一个值时，都有x+T∈D，并且等式f(x+T)=f(x)成立，那么函数f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的一个周期.正弦函数的定义域是R，对x∈R都有x+2kπ∈R(k∈Z),并且由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx可知，正弦函数是周期函数.周期函数的周期不止一个，如2π,4π,6π,…，－2π,－4π,－6π,…都是正弦函数的周期.事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z,k≠0)都是正弦函数的周期.如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么就把它叫做最小正周期.一般在不引起混淆的情况下，我们所说的函数的周期都是指它的最小正周期.例如，正弦函数的周期是2π.5单调性

4奇偶性观察正弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，即正弦函数是奇函数.二、余弦函数的图像和性质

现在利用描点法画出余弦函数的图像.把区间［0,2π］分为8等份，分别求得函数y=cosx在各分点及区间端点的函数值，列表如表所示：

直角坐标系内作出对应的点，把它们依次连结成光滑的曲线，就得到了余弦函数y=cosx在区间［0,2π］上的图像，如图所示.

因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以将函数y=cosx在［0,2π］上的图像向左或向右平移（每次移动2π个单位长度），这样就得到余弦函数y=cosx在R上的图像，如图所示.余弦函数的图像叫做余弦曲线.

下面我们研究余弦函数的主要的性质.1定义域余弦函数y=cosx的定义域是R.2值域余弦函数y=cosx的值域为［－1,1］.当x=2kπ,k∈Z时，函数取得最大值1；当x=(2k+1)π,k∈Z时，函数取得最小值-1.3周期性余弦函数的定义域是R，对x∈R都有x+2kπ∈R(k∈Z),并且由诱导公式cos(x+2kπ)=cosx可知，与正弦函数相同，余弦函数也是周期函数，它的周期是2kπ(k∈Z,k≠0)，并且最小正周期是2π.4奇偶性观察余弦曲线，可以看到余弦曲线关于y轴对称，即余弦函数是偶函数.5单调性

由余弦曲线可以看出，当x由0增大到π时，曲线逐渐下降，cosx的值由1减小到－1；当x由π增大到2π时，曲线逐渐上升，cosx的值由－1增大到1.根据余弦函数的周期性可知：余弦函数在每一个区间［(2k－1)π,2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.三、正切函数的图像与性质

由正切函数的图像可知，正切函数有如下的性质1定义域

2值域函数y=tanx的值域为R，因此，它是无界的.3周期性函数y=tanx是周期函数，周期为π.4奇偶性由公式tan(－x)=－tanx可知，y=tanx是奇函数，它的图像关于原点对称.5单调性

四、余切函数的图像与性质

用类似于正切函数的作图方法，可以作出余切函数y=cotx的定义域为{x|x∈R,x≠kπ,k∈Z}内的图像如图所示.余切函数的图像称为余切曲线.由图可以看出，正切曲线是由相互平行的直线x=kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线所构成的.

由余切函数的图像可知，余切函数有如下的性质.1定义域函数y=cotx的定义域为{x|x∈R,x≠kπ,k∈Z}2值域函数y=cotx的值域为R，因此，它是无界的.3周期性函数y=cotx是周期函数，周期为π.4奇偶性由公式cot(-x)=-cotx可知，y=cotx是奇函数，它的图像关于原点对称.5单调性

函数y=cotx在(kπ,π+kπ)（k∈Z）内是单调递减的.第六节正弦型曲线第七节加法定理第八节解斜三角形第九节反三角函数一、正弦型函数的概念和性质

我们已经学习了正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx.在物理学和电学中，我们经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数，这类函数称为正弦型函数.它与正弦函数y=sinx有着密切的关系.我们先来讨论正弦型函数的周期.在正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令z=ωx+φ，则y=Asin(ωx+φ)=Asinz.

综上所述，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)主要有以下性质：定义域为R；

值域为［－A,A］，即最大值为A，最小值为－A.

二、正弦型函数的图像

例4

以表中每组(x,y)为坐标描点，如图所示，在直角坐标系中比较精确地描出对应的五个关键点

用光滑的曲线连接各点，得到函数y=sin(2x+π3)在一个周期内的图像，如图所示

第七节加法定理第八节解斜三角形第九节反三角函数一、两角和与差的余弦公式

二、两角和与差的正弦公式

两角和的正弦公式反映了α+β的正弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.将式中的β换成－β，则有sin(α－β)=sin［α+(－β)］=sinαcos(－β)+cosαsin(－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.由此，我们得到了两角差的正弦公式sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.该式反映了α－β的正弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.三、两角和与差的正切公式

四、二倍角公式

第八节解斜三角形第九节反三角函数一、正弦定理

二、余弦定理

三、正弦定理与余弦定理的应用

通过学习正弦定理、余弦定理，我们可以应用这些三角函数的知识来解决一些实际问题,比如计算高度、长度、距离和角的大小等.

例7一艘船以每小时36海里的速度向正北方向航行，在A处观察到灯塔C在船的北偏东30°方向，0.5小时后船行驶到B处，此时灯塔C在船的北偏东45°方向，如图所示，求B处到灯塔C的距离.

例7

例8

如图所示，设A,B两点在河的两岸，现需要测量两点间的距离.测量者在与点A同侧的岸上选定了一点C，并测量出A,C之间的距离为45m，又测出∠BAC=45°,∠ACB=75°.根据以上的信息，求出A,B两点的距离（精确到0.1m）.

例8

第九节反三角函数一、反正弦函数

先看下面的例子.

例1

例1

从图像可以看出，反正弦函数y=arcsinx在定义域内是增函数，而且是奇函数，即arcsin(－x)=－arcsinx.二、反余弦函数、反正切函数和反余切函数

反余弦函数根据反函数图像的性质，可得出反余弦函数y=arccosx、反正切函数y=arctanx和反余切函数y=arccotx的图像（如图所示）.反余弦函数反余弦函数反正切函数反余弦函数反余切函数反余弦函数从图像可以看出，反余弦函数y=arccosx在定义域内是减函数，没有奇偶性；反正切函数y=arctanx在定义域内是增函数，且是奇函数,反余切函数y=arccotx在定义域内是减函数，没有奇偶性.三、已知三角函数值求指定区间内的角

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第四章平面向量目录第一节平面向量的概念第二节平面向量的线性运算第三节平面向量的坐标表示第四节平面向量的内积CONTENTS第一节平面向量的概念第二节平面向量的线性运算第三节平面向量的坐标表示第四节平面向量的内积

如图所示，当人用力推一个箱子的时候，根据初中所学的物理知识我们知道，箱子在水平方向上受到推力及地面给箱子的摩擦力，这两个力不但有数值的大小，而且还有方向.在现实生活中，存在两种类型的量，一种只有数值的大小而没有方向，它们可以用实数表示，如质量、时间、体积、温度等；而另外一种量不仅有数值的大小，而且还有方向，如力、速度、位移等.为了区分这两种量，我们把只有数值大小的量叫做数量（或标量），把既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）.

如图（a）所示，如果两个向量的模相等，方向也相同，那么我们就说这两个向量相等.向量a与b相等，记作a=b.如图（b）所示，如果两个向量的模相等，方向相反，那么我们就说这两个向量互为相反向量，a的相反向量记作-a.规定：零向量的相反向量仍为零向量.方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量,向量a与b平行记作a∥b.规定：零向量与任何一个向量都平行.由于任意一组互相平行的向量都可以平移到同一条直线上，因此互相平行的向量又叫做共线向量.

例1

第二节平面向量的线性运算第三节平面向量的坐标表示第四节平面向量的内积一、平面向量的加法

向量加法具有以下的性质：01

a+0=0+a,a+(－a)=0；02

a+b=b+a；03

(a+b)+c=a+(b+c).这说明，在平行四边形ABCD中，AC表示的向量为AB与AD的和，这种求和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.二、平面向量的减法

三、平面向量的数乘运算

实数λ与向量a的一个积是一个向量，叫做数乘向量，记作λa，它的模为︱λa︱=︱λ︱·︱a︱.一般地，有（1）0·a=0,λ·0=0；（2）当︱λa︱≠0时，若λ>0，则λa的方向与a的方向相同，若λ<0，则λa的方向与a的方向相反.

实数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算.和实数之间相乘一样，对于任意的向量a,b及实数λ,μ，向量的数乘运算满足下列运算律：（1）(λμ)a=λ(μa)=μ(λa)；（2）(λ+μ)a=λa+μa；（3）λ(a+b)=λa+λb.

向量的加法、减法以及数乘向量运算都叫做向量的线性运算.在第一节中，我们知道了向量平行的概念，因此结合向量平行与数乘向量的含义，我们可以得到如下的结论：设a,b为两个非零向量，如果存在非零实数λ，使得b=λa，那么a∥b；反之，如果a∥b，那么一定存在一个非零实数λ，使得b=λa.一般地，λa+μb（λ,μ均为实数）叫做a,b的一个线性组合.如果l=λa+μb，则称l可以用a,b线性表示.

第三节平面向量的坐标表示第四节平面向量的内积

我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一点都可以用一对有序实数来表示，这对实数就是这个点的坐标.同样，在平面直角坐标系中，每一个平面向量也可以用一对实数来表示.

第四节平面向量的内积一、平面向量的内积

由内积的概念可以得到以下几个重要的结果：01

a·0=0，0·a=0；02

03

<a,b>=0°时，a·b=︱a︱·︱b︱，当<a,b>=180°时，a·b=－︱a︱·︱b︱；04

05

我们也可以知道内积满足下面的运算律：01

a·b=b·a；02

(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；03

(a+b)·c=a·c+b·c.二、向量内积的坐标表示

在平面直角坐标系中，向量a的坐标为(x1,y1)，向量b的坐标为(x2,y2)，i、j分别为x轴、y轴上的单位向量，则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.由于i⊥j，所以i·j=0，又︱i︱=︱j︱=1，所以a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i·i+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j·j=x1x2︱i︱2+y1y2︱j︱2=x1x2+y1y2.

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第五章直线和圆的方程目录第一节两点间距离公式及中点公式第二节直线的方程第三节两条直线的位置关系第四节圆的方程第五节直线与圆CONTENTS第一节两点间距离公式及中点公式第二节直线的方程第三节两条直线的位置关系第四节圆的方程第五节直线与圆一、两点间的距离公式

二、线段中点坐标公式设A(x1,y2)、B(x2,y2)是平面直角坐标系内的任意两点，点M(x0,y0)是线段AB的中点.过点A、B、M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A1、A2、B1、B2、M1、M2，如图所示

第二节直线的方程第三节两条直线的位置关系第四节圆的方程第五节直线与圆一、直线的倾斜角与斜率直线l在直角坐标系中与两个坐标轴有不同的夹角，其中直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做直线l的倾斜角，如图所示的角α.当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为零度角.

规定：

这样，对任意的直线l，它的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.直线l的倾斜角为α（α≠90°），则α的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即k=tanα.当α=90°时，直线l的斜率不存在，当α≠90°时，直线l都有确定的斜率.根据直线倾斜角的取值范围，直线的斜率可以分为以下4种情况：01

当α=0°时（直线平行或重合于x轴），k=0；02

当α为锐角时，k>0；03

当α=90°时（直线平行或重合于y轴），k不存在；04

当α为钝角时，k<0.

例1根据下面各直线满足的条件，分别求出直线的斜率：（1）倾斜角为60°；（2）直线经过点A(－2,3),B(2,－1).

二、直线的点斜式和斜截式方程

一般地，如果直线（或曲线）L与方程F(x,y)=0满足下列关系：（1）直线（或曲线）L上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解；（2）以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线（或曲线）L上.那么，直线（或曲线）L叫做二元方程F(x,y)=0的直线（或曲线），方程F(x,y)=0叫做直线（或曲线）L的方程，记作曲线L:F(x,y)=0或者曲线F(x,y)=0.如图所示，直线l与x轴交于点A(a,0)，与y轴交于点B(0,b)，则a叫做直线l在x轴上的截距（或横截距），b叫做直线在y轴上的截距（或纵截距）.设直线l的斜率为k，并且在y轴上的截距为b，即直线经过点(0,b)，则直线l的方程为y－b=k(x－0)，即y=kx+b.斜率为k，在y轴上的截距为b的直线的方程为y=kx+b这个方程叫做直线的斜截式方程.下面，我们考虑两种特殊情况，如图所示.

三、直线的一般式方程

因此，二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不全为零）表示一条直线.方程Ax+By+C=0（其中A,B不全为零）叫做直线的一般式方程.

第三节两条直线的位置关系第四节圆的方程第五节直线与圆一、两条相交直线的交点

二、两条直线平行的条件

平面内不重合的两条直线只有相交和平行两种位置关系，前面我们学习了两条相交直线的交点，下面我们将利用直线的斜截式方程来讨论两条直线平行的条件.如图（a）所示，两条直线l1,l2的斜率都存在且都不为0，如果直线l1平行于l2，那么这两条直线与x轴相交的同位角相等，即两条直线的倾斜角相等，故两条直线的斜率相等；反之，两条直线l1,l2的斜率都存在且都不为0，如果直线的斜率相等，那么这两条直线的倾斜角相等，即两条直线与x轴相交的同位角相等，故两条直线平行.如图（b）所示，两条直线l1,l2的斜率都为0，则这两条直线都与x轴平行，所以直线l1,l2平行.如图（c）所示，两条直线l1,l2的斜率都不存在，则这两条直线都与y轴平行，所以直线l1,l2平行.所以，当两条直线的斜率都存在但不相等或一条直线的斜率存在而另一条直线的斜率不存在时，两条直线相交，这样我们就可以利用前面的知识求两条直线的交点.当两条直线的斜率都存在时，可以利用直线的斜率及直线在y轴上的截距，来判断两条直线的位置关系.设两条直线的方程分别为l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，则（1）如果k1≠k2，则两条直线l1,l2相交；（2）如果k1=k2，当b1≠b2时，则两条直线l1,l2平行；当b1=b2，则两条直线l1,l2重合.因此，判断两条直线是否平行的一般步骤是：01

判断两条直线的斜率是否存在，若都不存在，则两条直线平行（或重合），若只有一个不存在，则两条直线相交；02

若两条直线的斜率都存在，将它们都化成斜截式方程，若斜率不相等，则相交；03

若斜率相等，比较两条直线在y轴上的截距，截距相等，则两条直线重合，截距不相等，则两条直线平行.三、两条直线垂直的条件

在这里我们利用直线的斜截式方程讨论两条相交直线的一种特殊情形，即直线垂直的情形.

四、点到直线的距离

五、两条直线的夹角

第四节圆的方程第五节直线与圆一、圆的标准方程

在平面几何中，我们已经知道圆的定义，即平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹，其中定点叫做圆心，定长叫做半径.下面，我们在直角坐标系中研究圆的方程.如图所示，设圆心的坐标为C(a,b)，圆的半径为r，点M(x,y)为圆上任意一点，则︱MC︱=r.

二、圆的一般方程

圆的一般方程具有以下特点：01

02

不含xy项.第五节直线与圆一、直线与圆的位置关系在初中，我们已经学习过直线与圆的位置关系及判别方法.直线与圆的位置关系有三种：01

直线与圆无交点时，称直线与圆相离；02

直线与圆仅有一个交点时，称直线与圆相切；03

直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交.设圆心到直线l的距离为d，半径为r，如图所示.（1）直线l与圆相离，当且仅当d>r，如图（a）所示；（2）直线l与圆相切，当且仅当d=r，如图（b）所示；（3）直线l与圆相交，当且仅当d<r，如图（c）所示.直线与圆位置关系的判别方法：方法一：

方法二：

例1

例1

例2

二、直线的方程与圆的方程应用举例

例3一次设计电路板的实验中，小明设计的电路板如图所示（单位：cm）.现在小明要从P点连一条线到线段AB，他想知道这条线的最短长度，你能替他算出来吗？（精确到0.01cm）

例3解：不难看出，P到直线AB的距离就是小明想知道的最短距离.以这块电路板的左下角为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,则A(2,6),B(16,8),P(4,10)．

例3

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第六章圆锥曲线方程目录第一节椭圆第二节双曲线第三节抛物线第四节极坐标第五节参数方程CONTENTS第一节椭圆第二节双曲线第三节抛物线第四节极坐标第五节参数方程一、椭圆的概念与标准方程若取一条长度固定且没有弹性的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹我们知道是圆形；若细绳拉开一段距离，两端固定在图板的两个点处，并保持绳子的长度大于两点之间的距离，此时笔尖画出的轨迹是什么形状呢？下面我们来做一个实验.

如图所示，我们将绳子的两端固定在画板上的F1和F2两点处，并使绳长大于F1、F2的距离，用笔尖将绳子拉紧，并保持拉紧的状态，在画板上慢慢移动，观察所画出的图形.从以上实验中可以看出，笔尖（即M点）在移动过程中，与两个定点F1、F2的距离之和始终保持不变，等于该绳子的长度.我们将平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点F1、F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离，即|F1F2|叫作椭圆的焦距.上述实验画出的图形就是椭圆.下面我们建立一个适当的直角坐标系，来研究椭圆的方程.

以椭圆的焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示.

二、椭圆的性质

1图形中x，y的取值范围

从图上来看，此椭圆应该位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形内.

在椭圆的标准方程中，我们将x换成-x，方程依然成立.这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于y轴的对称点P2（-x，y）也在椭圆上，因此椭圆关于y轴对称，如图所示.同理，将y换成-y，方程依然成立.这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于x轴的对称点P1（x，-y）也在椭圆上（见图）.将x换成-x，y换成-y，方程依然成立.这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于坐标原点的对称点P3（-x，-y）也在椭圆上（见图）.2图形的对称性

由此可知，椭圆关于坐标轴和坐标原点都对称，椭圆是轴对称图形和中心对称图像，它的对称轴是x轴和y轴，它的中心对称点是原点，我们称椭圆的对称中心点为椭圆的中心.

3椭圆的顶点

3离心率第二节双曲线第三节抛物线第四节极坐标第五节参数方程一、双曲线的定义与标准方程上节课我们已经知道了平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹为椭圆，那么平面内到两个定点的距离之差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？它的标准方程是怎样的呢？下面我们通过一个实验——拉链实验来研究这个问题.

在画板上选取两定点F1，F2，将拉链（拉链的两边等长）拉开一段，其中一边固定在F1处，在另一边上截取一段AF2（并使AF2小于F1，F2之间的距离），而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处（即点M处），于是随着拉链的逐渐打开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线；同理，将拉链的两边交换位置，可画出另外一支曲线，如图所示.

从以上实验我们可以发现，笔尖（即M点）在缓慢移动过程中，与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值始终保持不变，即等于AF2.我们将平面内与两个定点F1，F2间的距离的差的绝对值是常数（2a，a＞0且小于|F1F2|）的点的轨迹叫作双曲线．其中这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距.上面实验所画出的图形就是双曲线，下面我们建立适当的直角坐标系来研究双曲线的标准方程.

如果我们把双曲线与整个坐标平面绕y=x翻转180°，如图（a）所示，而仍以向右方向为x轴正方向，向上方向为y轴正方向，便可得到焦点在y轴上的双曲线，如图（b）所示

二、双曲线的性质

1图形中x，y的取值范围

在双曲线的标准方程中，我们将x换成-x，方程依然成立,这说明双曲线关于y轴对称.同理可知，双曲线也关于x轴对称，x轴和y轴都叫作双曲线的对称轴.因为双曲线是不封闭的曲线，但仍称其对称中心为双曲线的中心，坐标原点叫作双曲线的对称中心（简称中心）.2图形的对称性

双曲线与对称轴的交点叫作双曲线的顶点，当y=0时，计算得x=±a，所以双曲线的顶点为A1（-a，0）和A2（a，0）（见图）.我们称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长为2a.由于x=0时，双曲线方程无解，即双曲线与y轴无交点，但是我们仍将y轴上的两个特殊点B1（0，-b）、B2（0，b）在图中也标示出来（见图），看作双曲线与y轴的两个虚交点，我们称线段B1B2为双曲线的虚轴，它的长为2b，a和b分别叫作双曲线的实半轴长和虚半轴长.3双曲线的顶点

4双曲线的渐近线

5双曲线的离心率第三节抛物线第四节极坐标第五节参数方程一、抛物线的定义和标准方程

前两节我们学习了二次曲线的椭圆和双曲线，那么平面内移动点到定点和定直线的距离相等的轨迹是怎么样的图形呢？下面我们来做一个实验.如图所示，点F是定点，l是不经过点F的定直线.H是直线l上的任意一点，过点H作MH⊥l，并与线段FH的垂直平分线相交于点M，当点H在直线l上运动时，点M的轨迹是什么?点M在运动的过程中满足什么条件?

从以上实验中，我们发现点M到直线l的距离和到顶点F的距离始终保持相等（即|MH|=|MF|）.我们将平面内与一定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，我们称定点F为抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.因此,图中点M的运动轨迹就是抛物线.下面我们建立一个适当的直角坐标系，来研究抛物线的标准方程.如图所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也会有所不同，所以抛物线的标准方程还有其他形式.如果我们把图中的抛物线与整个坐标平面分别进行以下操作：01

绕y=x翻转180°；02

绕x轴翻转180°；03

绕y=-x翻转180°，而仍以向右方向为x轴正方向，向上方向为y轴正方向，便可得到以下三种抛物线的图形及其标准方程，如下表所示二、抛物线的性质从抛物线的标准方程中我们可以得到不等式y2≥0，p>0即x≤0，y∈R.

1图形中x，y的取值范围

从图可以看出，抛物线位于x轴的负半轴方向，而且|y|值随着|x|的增大逐渐增大，即抛物线越向左上方和左下方无限延伸.

在上述抛物线的标准方程中，我们将y换成-y，方程依然成立.这说明该抛物线图形关于x轴对称.2图形的对称性

抛物线与坐标轴的交点叫作抛物线的顶点.当y=0时，x=0；当x=0时，y=0，说明抛物线只有一个顶点，即为坐标原点（0,0），这与椭圆有四个顶点、双曲线有两个顶点不同.3抛物线的顶点

我们将抛物线上的任一点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率，记作e.由定义知，抛物线y2=-2px(p>0)的离心率为e=1.4离心率第四节极坐标第五节参数方程一、极坐标系

我们知道，在平面直角坐标系中，可以通过一对有序实数来确定平面内一个点的位置.但这种方法并不是确定平面内点的位置的唯一方法.在某些实际问题中，还常用角度和距离来确定平面内点的位置.如“某船位于东偏南30°的20海里处”等.这种利用角度和距离来确定平面内点的位置的坐标系就是本节要讨论的极坐标系.

如图所示，在平面内取一点O,从O引一条射线Ox，再取定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系，点O称为极点，射线Ox称为极轴.设M为平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度,θ表示以Ox为始边，OM为终边的角度.ρ称为点M的极径,θ称为点M的极角，有序实数对(ρ,θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ,θ).当ρ=0时，无论θ取什么值，(0,θ)都表示极点.当θ=0时，不论ρ取什么正值，点(ρ,0)都在极轴上.当ρ≥0，0≤θ＜2π时，对于平面内的点M（除极点外），都可以找到唯一的有序实数对(ρ,θ)与之对应；反过来，对于任意的有序实数对(ρ,θ)，也总可以在平面内找到唯一的点M与之对应.也就是说，当ρ≥0，0≤θ＜2π时，平面内的点M（除极点外）与它的极坐标(ρ,θ)之间具有一一对应的关系.由于实际问题的需要，对于点M(ρ,θ)，极径ρ和极角θ也可以取负值.当ρ＞0时，点M在θ的终边上，且OM=ρ；当ρ＜0时，点M在θ的终边的反向延长线上，且OM=ρ，如图所示.当θ＞0时，极轴按逆时针方向旋转；当θ＜0时，极轴按顺时针方向旋转.二、极坐标与直角坐标的互化

平面内的极坐标系与直角坐标系是两种不同的坐标系，平面内的同一个点既可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示.为了研究问题的方便，有时需将它们进行互化.如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M是平面内任意一点，它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ)，则有

x=ρcosθy=ρsinθ（66）由（66）式，可得