旋转悬臂rayleigh轴的galerlin解

旋转悬臂rayleigh轴的galerlin解

在机械工程领域，蒸汽机、汽动汽车、汽动轴、电机转速、喷油刀等可简单地简化为典型的旋转轴力学模型。精确描述旋转轴的动态建模和动态特性对提高机械效率以及机枪加工的精度具有重要的理论指导作用。旋转轴的动力学建模理论包括经典的Euler–Bernoulli梁理论、在Euler–Bernoulli梁模型中引入转动惯量的Rayleigh梁理论，以及在Rayleigh梁模型中引入剪切变形的Timoshenko梁理论。其中，Euler–Bernoulli梁理论适用于分析细长轴的低阶振动特性。既然镗/铣削系统的颤振大多数是围绕细长刀杆结构的低阶固有频率发生的Dimentberg经典的求解方法是利用分离变量法对偏微分运动方程进行求解，建立表征模态振型的特征方程，由于特征方程与特征值是涡动频率和转速的非线性函数，所以无法得到涡动频率解的封闭表达式，只能采用数值计算的方法求解非线性特征方程，以获得Rayleigh轴的涡动频率和临界转速。Galerkin法是一种寻求振动系统连续偏微分方程近似解的实用、有效近似解法，已经在线性与连续非线性振动系统的求解中得到了广泛的应用本文研究旋转悬臂轴的涡动频率和临界转速。为了获得涡动频率和临界转速的近似解，首先给出基于分离变量解法的旋转悬臂轴的涡动频率和临界转速求解数学公式，其次采用Galerkin法将轴的偏微分运动方程化为常微分方程，然后通过求解矩阵特征值问题得到涡动频率和临界转速的近似解，分别选用不旋转Euler–Bernoulli轴的振型函数和旋转Rayleigh轴的振型函数为Galerkin过程的试探函数。并且将Galerkin法与基于经典方法的计算结果进行对比分析。1数学模型1.1惯性矩与自由振动单位长度质量为m，转速为Ω，长度为L，半径为R的圆截面均匀无阻尼旋转轴(如图1所示)的运动方程为式中，v和w分别表示轴上任意一点x沿y和z方向的位移，E表示杨氏模量，I表示直径惯性矩，J表示轴的转动惯量。m和J计算表达式分别为式中，ρ为密度。对运动方程采用无量纲变换式中，EI表示抗弯刚度。无量纲运动方程为引入复变量其中，假设方程(7)解的形式将式(8)代入式(7)，得方程(9)的解为其中涡动振型函数为其中，系数C悬臂轴在¯x=0固支，在¯x=L自由，则边界条件可以表示为由条件(13)得到特征方程对应的涡动振型函数为为了求得涡动频率，首先将式(10)和式(11)代入方程(14)，得到的方程(14)是涡动频率的超越方程，没有封闭解。借助于数值解法，可以获得它的两个根，其中，正根对应于正进动涡动频率γ1.2gailik近似解1.2.1采用旋转轴向旋转调幅误差函数将式(16)和式(17)代入式(5)和式(6)，再乘以φ其中通过求解振动方程组的特征值问题，可以得到涡动频率。1.2.2旋转n-bernieh梁振型函数其中，不旋转Euler–Bernoulli梁的振型函数φ特征方程为将式(20)和式(21)代入式(5)和式(6)可得相同形式的方程组(18)，方程系数为与不旋转Euler–Bernoulli梁的振型函数(22)相比，旋转Rayleigh梁的振型函数(15)不仅包含了无量纲旋转速度¯Ω，同时也包含了无量纲转动惯量l的影响。如果在方程(10)和方程(11)中令旋转速度和转动惯量同时为零，则有λ2长径比对正、反进动振型曲线的影响图2和图3给出利用式(15)画出的旋转轴的归一化正进动和反进动振型曲线，并且为了比较，图中还展示了利用式(22)画出的不旋转Euler–Bernoulli梁的振型曲线。图2表示旋转速度对正、反进动振型曲线的影响，结果表明，正、反进动振型之间是存在差别的，这种差别随着转速的增加而增加；另外，旋转振型曲线与不旋转振型曲线之间的差别也随着转速的增加而增加。图3表示长径比对正、反进动振型曲线的影响，结果表明，正、反进动振型曲线之间的差别随着长径比的增加而减小；另外，旋转振型曲线与不旋转振型曲线之间的差别随着长径比的增加而减小，由此可见，长径比对振型曲线的影响与转速对振型曲线的影响刚好是相反的。图4∼图6表示前三阶涡动频率随长径比的变化曲线(Ω=50)，其中包括采用式(10)，式(11)和式(14)得到经典解，以及分别采用旋转振型和不旋转振型的Galerkin近似解。结果表明，采用上述三种解法得到的结果基本一致。图7∼图9表示前三阶正进动涡动频率随转速变化曲线(l=40)。直线Ω=ω与+ω表1表示长径比对前三阶临界转速的影响。其中列出了采用三种不同方法得到的计算结果。方法1、方法2和方法3分别表示经典解法、基于旋转和不旋转振型的Galerkin法。结果表明，临界转速随着长径比的增加而减小。采用三种方法得到的临界转速的数值是相同的。为了检验Galerkin近似解法的收敛性，表2给出振型函数个数N对前三阶涡动频率的影响。其中，下标n表示不旋转，r表示旋转，“+”表示正进动；“-”表示反进动。结果表明，采用Galerkin法得到的近似解具有很好的收敛性，例如，采用不旋转振型函数求解，N=3即可得到收敛的第一阶正进动频率+ω3关不旋转e对gali内在振动的影响本文给出悬臂旋转轴涡动频率和临界转速的经典分析解以及Galerkin近似解的求解公式和计算过程，旋转轴动力学模型基于考虑转动惯量和陀螺效应的Rayleigh梁理论建立。Galerkin过程分别采用转速无关不旋转Euler–Bernoulli悬臂梁振型函数和转速相关旋转Rayleigh悬臂梁振型函数。结果表明，Galerkin近似解具有较好的收敛性，仅保留3项不旋转振型函数或者仅保留4项旋转振型函数，即可得到收敛的涡动频率和临界转速。Galerkin近似解与经典解之间的差距很小，可以忽略不计。转速相关的旋转Rayleigh振型函数涉及非线性特征方程求