2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国三卷)

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国三卷)一、选择题1、已知集合$A=\{-1,0,1,2\}$，$B=\{x|x^2\leq1\}$，则$A\capB=$（）A.$\{-1,0,1\}$B.$\{0,1\}$C.$\{-1,1\}$D.$\{0,1,2\}$2、若$z(1+i)=2i$，则$z=$（）A.$-1-i$B.$-1+i$C.$1-i$D.$1+i$3、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著。某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.84、$(1+2x^2)(1+x)^4$的展开式中$x^3$的系数为（）A.12B.16C.20D.245、已知各项均为正数的等比数列$\{a_n\}$的前4项为和为15，且$a_5=3a_3+4a_1$，则$a_3=$（）A.16B.8C.4D.26、已知曲线$y=a^ex+x\lnx$在点$(1,ae)$处的切线方程为$y=2x+b$，则（）A.$a=e$，$b=-1$B.$a=e$，$b=1$C.$a=e^{-1}$，$b=1$D.$a=e^{-1}$，$b=-1$7、函数$y=\frac{2x^3}{2x+2-x}$在$[-6,6]$的图象大致为（）A.B.C.D.8、如图，点$N$为正方形$ABCD$的中心，$\triangleECD$为正三角形，平面$ECD\perp$平面$ABCD$，$M$是线段$ED$的中点，则（）A.$BM=EN$，且直线$BM$、$EN$是相交直线B.$BM\neqEN$，且直线$BM$、$EN$是相交直线C.$BM=EN$，且直线$BM$、$EN$是异面直线D.$BM\neqEN$，且直线$BM$、$EN$是异面直线9、执行下边的程序框图，如果输入的$\epsilon$为0.01，则输出$s$的值等于（）A.$2^{-1/24}$B.$2^{-1/25}$C.$2^{-1/26}$D.$2^{-1/27}$$x^2+y^2$10、双曲线$C:\frac{4}{x^2}-\frac{2}{y^2}=1$的右焦点为$F$，点$P$在$C$的一条渐进线上，$O$为坐标原点，若$PO=PF$，则$\trianglePFO$的面积为（）A.$\frac{32}{4}$B.$\frac{32}{2}$C.$2\sqrt{2}$D.$32$11、设$f(x)$是定义域为$R$的偶函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增，$g(x)$是定义域为$(0,+\infty)$的奇函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增。若$f(x)=\int_0^xg(t)dt$，则$\int_0^1xf(x^2)dx=$（）A.$\frac{1}{2}\int_0^1f(x)dx$B.$\frac{1}{2}\int_0^1xg(x^2)dx$C.$\int_0^1f(x)dx$D.$\int_0^1g(x)dx$鼠服用的溶液含量相同，且每只小鼠服用的溶液量相同。经过一段时间后，测量小鼠体内的残留离子浓度，得到如下数据：|组别|平均残留浓度（mg/L）|标准差（mg/L）||------|----------------------|----------------||A|2.5|0.3||B|2.7|0.4|试判断甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度是否有显著差异，显著性水平取0.05。假设两组数据的方差相等。【解答】设甲、乙两种离子在小鼠体内的平均残留浓度分别为μ1、μ2，样本标准差分别为s1、s2，样本容量均为n，样本均值之差为x1-x2，则有假设检验如下：H0：μ1=μ2Ha：μ1≠μ2选用双侧t检验，显著性水平为0.05，自由度为n1+n2-2=198。计算检验统计量：t=(x1-x2)/s_p*sqrt(1/n1+1/n2)其中，s_p=sqrt(((n1-1)*s1^2+(n2-1)*s2^2)/(n1+n2-2))为合并标准差，n1和n2分别为样本容量。代入数据，可得：s_p=sqrt(((100-1)*0.3^2+(100-1)*0.4^2)/(200-2))=0.35t=(2.5-2.7)/0.35*sqrt(1/100+1/100)=-1.71查t分布表得到，当自由度为198时，t0.025=1.97，t0.975=-1.97。因为t=-1.71在t0.025和t0.975之间，所以不能拒绝原假设，即甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度没有显著差异。【注意】1.计算t值时，要注意样本标准差、样本容量和合并标准差的计算。2.在查找t分布表时，要注意自由度的计算和显著性水平的选择。3.在最终结论中，要说明原假设是否被拒绝，并解释其意义。18、（12分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，g(x)=e^x-2x-1，h(x)=f(g(x))，求h(x)的反函数h^(-1)(x)的表达式。【解答】首先求h(x)的表达式：h(x)=f(g(x))=(e^x-2x-1)^3-3(e^x-2x-1)^2+2(e^x-2x-1)+1令y=h(x)，则有：y=(e^x-2x-1)^3-3(e^x-2x-1)^2+2(e^x-2x-1)+1将y视为自变量，x视为因变量，可得：x=g(y)=ln[(y-1+sqrt((y-1)^2+8(y-3)))/2]因此，h^(-1)(x)=g^(-1)[f^(-1)(x)]=ln[(f^(-1)(x)-1+sqrt((f^(-1)(x)-1)^2+8(f^(-1)(x)-3)))/2]其中，f^(-1)(x)为f(x)的反函数，即f^(-1)(x)=sqrt(x+1)+x-1。将f^(-1)(x)代入上式，可得：h^(-1)(x)=ln[(sqrt(x+1)+x-2+sqrt((sqrt(x+1)+x-2)^2+8(sqrt(x+1)+x)))/2]【注意】1.求h(x)时，要注意复合函数的计算。2.求h^(-1)(x)时，要注意反函数的求解和复合函数的逆运算。3.在最终答案中，要将h^(-1)(x)的表达式完整地写出来。19、（12分）已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2+3，g(x)=4x^2-4bx+b^2+1，其中a，b为常数，且g(x)≥0，求证：f(x)≥0。【证明】因为g(x)≥0，所以4x^2-4bx+b^2+1≥0，即4(x-b/2)^2≥b^2-1。因为平方数非负，所以b^2-1≤0，即|b|≤1。将g(x)代入f(x)中，得到：f(x)=(x-a)^2+2a(x-a)+3+4(x^2-2bx+b^2+1)=5x^2-4(2a+2b)x+(a-b)^2+4=5(x-(2a+2b)/10)^2+(a-b)^2/5+4-4(a+b)^2/25=5(x-(a+b)/2)^2+(a^2+b^2-4ab)/5+4-4(a+b)^2/25=5(x-(a+b)/2)^2+(a-b)^2/5+(16ab-4a^2-4b^2+100)/25因为平方数非负，所以16ab-4a^2-4b^2+100≥0，即4(a-b)^2+84≥0。因此，f(x)=5(x-(a+b)/2)^2+(a-b)^2/5+(16ab-4a^2-4b^2+100)/25≥0。证毕。【注意】1.在证明中，要注意将f(x)和g(x)展开后进行合并和化简。2.在最终结论中，要说明f(x)非负的原因。20、（12分）已知函数f(x)=x^3-3x+2，g(x)为f(x)的反函数，求g'(1)的值。【解答】因为g(x)为f(x)的反函数，所以有：g(f(x))=x对两边求导，得到：g'(f(x))*f'(x)=1因为g'(1)=1/f'(g(1))，所以有：g'(1)=1/f'(g(1))=1/f'(f^(-1)(1))因为f(1)=0，所以f^(-1)(1)=1。因此，g'(1)=1/f'(1)。对f(x)求导，得到：f'(x)=3x^2-3因此，g'(1)=1/f'(1)=1/(3*1^2-3)=-1/3。【注意】1.在求g'(1)的值时，要使用反函数的性质和导数的链式法则。2.在最终答案中，要将g'(1)的值写出来，并说明其意义。21、（12分）已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，g(x)=f(x)+f(2x)，求g(x)的单调区间和最小值。【解答】因为f(x)的单调区间为[2kπ-π/4,2kπ+π/4]，其中k∈Z。因为f(x)是周期函数，所以有f(2x)=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)。因此，g(x)=f(x)+f(2x)=sin(x)+cos(x)+√2sin(2x+π/4)。对g(x)求导，得到：g'(x)=cos(x)-sin(x)+√2cos(2x+π/4)因为cos(2x+π/4)=cos(2x)cos(π/4)-sin(2x)sin(π/4)=√2cos(2x)-√2sin(2x)所以g'(x)=cos(x)-sin(x)+2cos(2x)-2sin(2x)=2cos(2x)-2sin(2x)+cos(x)-sin(x)=-2sin(2x+π/4)+√2cos(π/4)-sin(x+π/4)+√2cos(π/4)因为sin(x+π/4)≤√2/2，所以g'(x)≤-2sin(2x+π/4)+√2+√2cos(π/4)=-2sin(2x+π/4)+2=2(cos(π/2)-sin(π/2))^2-2sin(2x+π/4)=2sin^2(2x+π/4)-2sin(2x+π/4)+2=2(sin(2x+π/4)-1)^2因此，g(x)单调递减的区间为[2kπ-π/4,2kπ+π/4]，最小值为2。【注意】1.在求g(x)单调区间和最小值时，要对f(x)和f(2x)进行合并和化简。2.在求g'(x)时，要注意使用三角函数的和角公式和差角公式。3.在最终答案中，要将单调区间和最小值都写出来，并说明其意义。（二）选考题：共10分，考生必须任选其中一题作答。22、（10分）已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2+3，g(x)=x^2-2bx+b^2+3，其中a，b为常数，且f(x)≥0，g(x)≥0，证明：h(x)=x^2-2(a+b)x+(a-b)^2+2也满足h(x)≥0。【证明】因为f(x)≥0，所以x^2-2ax+a^2+3≥0，即(x-a)^2+2≥0。因为g(x)≥0，所以x^2-2bx+b^2+3≥0，即(x-b)^2+2≥0。将两式相加，得到：2x^2-2(a+b)x+(a^2+b^2)+6≥0即x^2-2(a+b)x+(a^2+b^2-3)≥0因此，h(x)=x^2-2(a+b)x+(a-b)^2+2=(x^2-2(a+b)x+(a^2+b^2-3))+(2(a-b)^2+5)≥0。证毕。【注意】1.在证明中，要注意将f(x)和g(x)展开后进行合并和化简。2.在最终结论中，要说明h(x)非负的原因。23、（10分）已知函数f(x)=x^3-3x+2，g(x)为f(x)的反函数，求证：g(x)的图像关于直线y=x对称。【证明】因为g(x)为f(x)的反函数，所以有：g(f(x))=x对两边求反函数，得到：f(g(x))=x因此，g(x)的图像关于直线y=x对称，当且仅当f(x)的图像关于直线y=x对称。对f(x)进行变形，得到：f(x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)因为x^2≥0，所以(x-1)^2≥0，即(x-1)^2(x+2)≥0。因此，f(x)的图1.求表达式$(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2$的最小值。2.若$(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2\geq\frac{1}{3}$成立，证明$a\leq-3$或$a\geq-\frac{1}{3}$。解答题：17.（1）由已知得$0.70=a+0.20+0.15$，故$a=0.35$，$b=1-0.05-0.15-0.70=0.10$。（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为$2\times0.15+3\times0.20+4\times0.30+5\times0.20+6\times0.10+7\times0.05=4.05$，乙离子残留百分比的平均值的估计值为$3\times0.05+4\times0.10+5\times0.15+6\times0.35+7\times0.20+8\times0.15=6.00$。18.（1）由题设及正弦定理得$\sinA\sin(\frac{A+C}{2})=\sinB\sinA$。因为$\sinA\neq0$，所以$\sin(\frac{A+C}{2})=\sinB$。由$A+B+C=180^\circ$，可得$\sin^2(\frac{A+C}{2})=\cos^2(\frac{B}{2})$，故$\cos^2(\frac{B}{2})=2\sin^2(\frac{B}{2})\cos(\frac{B}{2})$。因为$\cos(\frac{B}{2})\neq0$，故$\sin^2(\frac{B}{2})=\frac{1}{2}$，因此$B=60^\circ$。（2）由题设及（1）知$\triangleABC$的面积$S=\frac{1}{2}ac\sinA=\frac{1}{4}a^2$。由正弦定理得$a=\frac{c\sinA}{\sin(120^\circ-C)}=\frac{3\sinC}{\sin(120^\circ-C)}=2\tanC+2$。由于$\triangleABC$为锐角三角形，故$0^\circ<A<90^\circ$，$0^\circ<C<90^\circ$，由（1）知$A+C=120^\circ$，所以$30^\circ<C<90^\circ$，故$\frac{\sqrt{3}}{8}<a<2$，从而$\frac{3\sqrt{3}}{32}<S<\frac{3}{2}$。因此，$\triangleABC$面积的取值范围是$\left(\frac{3\sqrt{3}}{32},\frac{3}{2}\right)$。19.（1）由已知得$ADBE$，$CGBE$，所以$ADCG$，故$AD$，$CG$确定一个平面，从而$A$，$C$，$G$，$D$四点共面。由已知得$AB\perpBE$，$AB\perpBC$，故$AB\perp$平面$BCGE$。又因为$AB\parallel$平面$ABC$，所以平面$ABC\perp$平面$BCGE$。（2）作$EH\perpBC$，垂足为$H$。因为$EH\parallel$平面$BCGE$，平面$BCGE\perp$平面$ABC$，所以$EH\perp$平面$ABC$。已知菱形BCGE的边长为2，$\angleEBC=60^\circ$，可求得$BH=1$，$EH=3$。以H为坐标原点，建立空间直角坐标系H-xyz，其中HC的方向为x轴正方向，则可得点A(-1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0,3)，向量CG=(1,0,3)，向量AC=(2,-1,0)。设平面ACGD的法向量为$n=(x,y,z)$，则$CG\cdotn=0$，即$x+3z=0$；$AC\cdotn=0$，则$2x-y=0$，因此可取$n=(3,6,-3)$。又平面BCGE的法向量可取为$m=(0,1,0)$，所以$cos\angle(n,m)=\frac{n\cdotm}{|n||m|}=\frac{3}{2}$，因此二面角B-CG-A的大小为30°。解：（1）$f'(x)=6x^2-2ax=2x(3x-a)$。令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=\frac{a}{3}$。若$a>0$，则当$x\in(-\infty,0)\cup(\frac{a}{3},+\infty)$时，$f'(x)>0$；当$x\in(0,\frac{a}{3})$时，$f'(x)<0$。故$f(x)$在$(-\infty,0)\cup(\frac{a}{3},+\infty)$单调递增，在$(0,\frac{a}{3})$单调递减；若$a=0$，$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$单调递增；若$a<0$，则当$x\in(\frac{a}{3},0)\cup(0,+\infty)$时，$f'(x)>0$；当$x\in(-\infty,\frac{a}{3})$时，$f'(x)<0$。故$f(x)$在$(\frac{a}{3},+\infty)$单调递增，在$(-\infty,\frac{a}{3})$单调递减。（2）满足题设条件的$a$、$b$存在。（i）当$a\leq0$时，由（1）知，$f(x)$在$[0,1]$单调递增，所以$f(x)$在区间$[0,l]$的最小值为$f(0)=b$，最大值为$f(1)=2-a+b$。此时$a$、$b$满足题设条件当且仅当$b=-1$，$2-a+b=1$，即$a=0$，$b=-1$。（ii）当$a\geq3$时，由（1）知，$f(x)$在$[0,1]$单调递减，所以$f(x)$在区间$[0,1]$的最大值为$f(0)=b$，最小值为$f(1