安徽省蚌埠市涂山中学高二数学文联考试题含解析

安徽省蚌埠市涂山中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个路口，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒；当某人到达路口时看见的红灯的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．根据如表求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为（）x24568y304060t70A．56.5 B．60.5 C．50 D．62参考答案： C【考点】线性回归方程．【分析】计算，代入回归方程得出，即可得出t．【解答】解：=，∴=6.5×5+17.5=50，∴，解得t=50．故选C．3.直线截圆得的劣弧所对圆心角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是（）A．3 B． C． D．参考答案：D【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．【分析】首先判断出直线和抛物线无交点，然后设出与直线平行的直线方程，可抛物线方程联立后由判别式等于0求出切线方程，然后由两条平行线间的距离求出抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值．【解答】解：由，得3x2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0联立，得3x2﹣4x﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，得m=﹣．所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为．所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是．故选D．5.已知，，，则a,b,c的大小关系是（

）。A.

B.

C.

D.

参考答案：A6.若，则下列不等式：①；②；③；④中正确的不等式是(

)A.①②

B.②③

C．①④

D．③④参考答案：C7.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选C．【点评】本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．8.已知，，且，，则（

）A． B． C． D．参考答案：C9.函数y＝f(x)是R＋上的可导函数，且f(1)＝－1，f′(x)＋，则函数g(x)＝f(x)＋在R＋上的零点个数为

A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：C∵x≠0时，f′(x)＋，，则讨论f(x)＋＝0的根的个数转化为求xf(x)＋1＝0的根的个数．设，则当x＞0时，F′(x)＝x·f′(x)＋f(x)＞0，函数F(x)＝xf(x)＋1在(0，＋∞)上单调递增，故F(x)在R＋上至多有一个零点，又F(1)＝1·f(1)＋1＝1×(－1)＋1＝0，即x＝1为函数F(x)的零点，这是函数F(x)的唯一零点，所以选C．考点：函数的零点与方程根的联系，导数的运算．10.锐角三角形ABC中，abc分别是三内角ABC的对边设B=2A，则的取值范围是（）A．（﹣2，2） B．（0，2） C．（，2） D．（，）参考答案：D【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．【分析】先根据正弦定理得到=，即可得到，然后把B=2A代入然后利用二倍角的正弦函数公式化简，最后利用余弦函数的值域即可求出的范围．【解答】解：根据正弦定理得：=；则由B=2A，得：====2cosA，而三角形为锐角三角形，所以A∈（，）所以cosA∈（，）即得2cosA∈（，）．故选D【点评】考查学生利用正弦定理解决数学问题的能力，以及会利用二倍角的正弦函数公式化简求值，会求余弦函数在某区间的值域．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一条直线l过点P(2,0)，且与直线在轴有相同的截距，求直线l的方程为________．参考答案：12.如图所示，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，，且,，P为SB的中点，则异面直线SA与PD所成角的正切值为__________.参考答案：【分析】由于与是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线与所成角，由此连接OP再利用中位线的性质得到异面直线与所成角为,并求出其正切值。【详解】连接，则，即为异面直线与所成的角，又，，，平面，，即，为直角三角形，.【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线。13.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于

。参考答案：60略14.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，，，棱长均为1，则=，=，=∵，∴=（）?（）=﹣++﹣+=﹣++=﹣1++1=1||===||===∴cos＜，＞===∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为15.如图是“平面向量的数量积”的知识结构图，若要加入“投影”，则应该是在

的下位．参考答案：几何意义16.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则_____________.

参考答案：32略17.若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是

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。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(Ⅰ)已知a为实数，用分析法证明。（Ⅱ）用数学归纳法证明；参考答案：（I）见证明；（Ⅱ）见证明【分析】(Ⅰ)利用分析法，即可作出证明；（Ⅱ）利用数学归纳法，即可作出证明．【详解】证明：(Ⅰ)要证，只要证只要证只要证只要证只要证只要证只要证显然成立，故原结论成立．（Ⅱ）①当时，左边，右边，左边＝右边，等式成立．②假设当时等式成立，即，那么当时，左边右边左边＝右边，即当时等式也成立；综合①②可知等式对任何都成立．【点睛】本题主要考查了间接证明，以及数学归纳法的证明方法，其中解答中明确分析法的证明方法，以及数学归纳证明方法是解答的关键，对于数学归纳法证明过程中，在到的推理中必须使用归纳假设，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．19.设直线3x＋y＋＝0与圆x2＋y2＋x－2y＝0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求的值.

参考答案：解：由3x＋y＋m＝0得：y＝-3x-m代入圆方程得：设P、Q两点坐标为P(x1，y1)、Q(x2，y2)则x1+x2＝x1×x2＝∵OP⊥OQ∴即x1×x2+y1×y2＝0∴x1×x2+(-3x1-m)(-3x2-m)＝0整理得：10x1×x2+3m(x1+x2)+m2=0

∴解得：m=0或m=

又△＝(6m+7)2-40(m2+2m)=-4m2+4m+49

当m=0时，△＞0；当m=时，△＞0；∴m=0或m=

20.(本小题满分8分)已知函数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）已知a、b∈R,a>b>e,(其中e是自然对数的底数),求证:ba>ab.参考答案：（1）,

∴∴当时,,∴函数在上是单调递减.当0<x<e时,,∴函数在(0,e)上是单调递增.∴f(x)的增区间是(0,e),减区间是.

………………4分(2)证明:∵∴要证:只要证:只要证.(∵)由（1）得函数在上是单调递减.∴当时,有即.

∴………………8分21.（本小题满分13分）已知函数(a>0且a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．参考答案：（1）证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点(，－)对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知，∴－1－y＝f(1－x)．即函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称．(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即f(x)＋f(1－x)＝－1.∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.22.已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，椭圆上有一点，且；若点在椭圆上，则称点为点M的一个“椭点”，某斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，且.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）的面积是否为定值？若为定值，求该定值；若不为定值，说明理由.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据椭圆的定义求出，再由椭圆过点求出，从而可得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设：，将直线方程代入椭圆方程，消去得，，由化简得，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出三角形的高，代入三角形的面积公式，