高考数学模拟试题9苏教版

2015年高考模拟试卷(9)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合，集合，则=．2．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且虚部为1，模为，则复数的实部为．3．采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号落入区间上的人数为．4．运行如图算法语句，则输出的结果为．5．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为．6．已知是等差数列，满足，则a9=．7．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为．8．若双曲线与直线无交点，则离心率e的取值范围是．9．若，则=．10．是直角边等于4的等腰直角三角形，是斜边的中点，，向量的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是．11．已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围为．12.已知直线经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为，则直线的方程为．13．已知函数，当时，给出以下几个结论：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④，其中正确的命题的序号是．14．对于集合（，定义集合，若，则集合中各元素之和为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）在四边形ABCD中，CA＝CD＝AB＝1，＝1，∠BCD＝．（1）求BC的长；（2）求三角形ACD的面积．CCAB16．（本小题满分14分）如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．（1）求证：AE//面DBC；（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．AAEDCB17.（本小题满分14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中，，单位百米.已知是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边相切于点M的直路l（宽度不计），交线段于点，交线段于点.现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象.若点到轴距离记为.(1)当时，求直路所在的直线方程；OBMCDEF（第17OBMCDEF（第17题）Nxy18．（本小题满分16分）已知椭圆中心在坐标原点，对称轴为轴，且过点、.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆上的任一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于.试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝eq\f(1,x－a)＋eq\f(λ,x－b)(a，b，λ为实常数)．（1）若λ＝－1，a＝1．=1\*GB3①当b＝－1时，求函数f(x)的图象在点(EQ\r(,2)，f(EQ\r(,2)))处的切线方程；=2\*GB3②当b＜0时，求函数f(x)在[EQ\F(1,3)，EQ\F(1,2)]上的最大值．（2）若λ＝1，b＜a，求不等式f(x)≥1的解集构成的区间D的长度．（定义区间，，，的长度均为，其中．）20．（本小题满分16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Mn}满足条件：M1=，当n≥2时，Mn=－，其中数列{tn}单调递增，且tn∈N*．（1）若an＝n，①试找出一组t1、t2、t3，使得M22＝M1M3；②证明：对于数列an＝n，一定存在数列{tn}，使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方；（2）若an＝2n－1，是否存在无穷数列{tn}，使得{Mn}为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{tn}；若不存在，说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．A．（选修4－1：几何证明选讲）如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是与⊙O的交点．若，，，求线段的长．B．（选修4－2：矩阵与变换）变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是．（1）求点在作用下的点的坐标；（2）求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程．C．（选修4－4：坐标系与参数方程）已知直线经过点，倾斜角．（1）写出直线的参数方程；（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积．D．（选修4－5：不等式选讲）对任给的实数a和b，不等式恒成立，求实数x的取值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设为随机变量，若为整数，则；若为小于1的分数，则；若为大于1的分数，则．（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望．23．（本小题满分10分）已知为整数且，，其中，，求证：对一切正整数，均为整数．2015年高考模拟试卷(9)参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．；2．1；3．6；4．7；5．；6．3；7．；8．(1,2]；9．；10．．【解析】，根据向量分解基本定理，可得，所以11．．【解析】的解集为，所以或恒成立，又，所以．12．或．【解析】设直线与和的交点为，，根据题意可得，令，可得，代入可得或，而所求直线的斜率，代入可得或，所以所求直线的方程为或．13．=4\*GB3④.【解析】，所以，令，得，所以在内单调递减，而在内是单调递增，可知=1\*GB3①不正确，令，则，可得在不是单调的，所以=2\*GB3②=3\*GB3③不正确，令，得是单调递增，所以=4\*GB3④正确．14．．【解析】考察中，S中的元素组成项的等差数列，，所以各元素之和为．二、解答题15．（1）在⊿ABC中由余弦定理知所以.（2）在⊿ABC中,,,.16．（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC＝BC，DO面DBC，所以DO⊥面ABC．又AE⊥面ABC，则AE//DO．又AE面DBC，DO面DBC，故AE//面DBC．（2）由（1）知DO⊥面ABC，AB面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB面ABD，则DC⊥面ABD．又AD面ABD，故可得AD⊥DC．17．(1)由题意得，又因为，所以直线的斜率，故直线的方程为，即.(2)由(1)易知，即.令得，令得.由题意解得..令，则.当时，;当时，;当时，当时，所求面积的最小值为.18．(1)依题意，设此椭圆方程为，过点、，可得，解之得，所以椭圆的方程为．(2)(i)当直线的斜率均存在时,不妨设直线,依题意,化简得，同理.所以是方程的两个不相等的实数根，.因，所以.所以,设,则,所以，因为，所以，所以，所以，，所以．(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有综上，．19．(1)=1\*GB3①当b＝－1时，f(x)＝eq\f(1,x－1)－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(2,xEQ\s\up4(2)－1)，则f′(x)＝eq\f(－4x,(xEQ\s\up4(2)－1)EQ\s\up4(2))，可得f′(EQ\r(,2))＝－4EQ\r(,2)，又f(EQ\r(,2))＝2，故所求切线方程为y－2＝－4EQ\r(,2)(x－EQ\r(,2))，即4EQ\r(,2)x＋y－10＝0．=2\*GB3②当λ＝－1时，f(x)＝eq\f(1,x－1)－eq\f(1,x－b)，则f′(x)＝－eq\f(1,(x－1)EQ\s\up4(2))＋eq\f(1,(x－b)EQ\s\up4(2))＝eq\f((x－1)EQ\s\up4(2)－(x－b)EQ\s\up4(2),(x－1)EQ\s\up4(2)(x－b)EQ\s\up4(2))＝eq\f(2(b－1)(x－EQ\F(b＋1,2)),(x－1)EQ\s\up4(2)(x－b)EQ\s\up4(2))．因为b＜0，则b－1＜0，且b＜EQ\F(b＋1,2)＜eq\F(1,2)故当b＜x＜EQ\F(b＋1,2)时，f′(x)＞0，f(x)在(b，EQ\F(b＋1,2))上单调递增；当EQ\F(b＋1,2)＜x＜eq\F(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)在(EQ\F(b＋1,2)，eq\F(1,2))单调递减．(Ⅰ)当EQ\F(b＋1,2)≤EQ\F(1,3)，即b≤－EQ\F(1,3)时，f(x)在[EQ\F(1,3)，EQ\F(1,2)]单调递减，所以[f(x)]max＝f(EQ\F(1,3))＝EQ\F(9b－9,2－6b)；(Ⅱ)当EQ\F(1,3)＜EQ\F(b＋1,2)＜EQ\F(1,2)，即－EQ\F(1,3)＜b＜0时，[f(x)]max＝f(EQ\F(b＋1,2))＝EQ\F(4,b－1)．综上所述，[f(x)]max＝EQ\b\lc\{(\a\al(EQ\F(4,b－1)，－EQ\F(1,3)＜b＜0，,EQ\F(9b－9,2－6b)，b≤－EQ\F(1,3)．)),(2)f(x)≥1即eq\f(1,x－a)＋eq\f(1,x－b)≥1．(*)①当x＜b时，x－a＜0，x－b＜0，此时解集为空集．②当a＞x＞b时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≤(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0，设g(x)＝x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)，因为△＝(a－b)EQ\s\up4(2)＋4＞0，所以g(x)有两不同的零点，设为x1，x2(x1＜x2)，又g(a)＝b－a＜0，g(b)＝a－b＞0，且b＜a，因此b＜x1＜a＜x2，所以当a＞x＞b时，不等式x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0的解为b＜x≤x1．=3\*GB3③当x＞a时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≥(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≤0，由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2,综上所述，f(x)≥1的解构成的区间为(b，x1]∪(a，x2]，其长度为(x1－b)＋(x2－a)＝x1＋x2－a－b＝a＋b＋2－a－b＝2．20．（1）若an＝n，则Sn＝eq\F(n2＋n,2)，①取M1＝S1＝1，M2＝S4－S1＝9，M3＝S13－S4＝81，满足条件M22＝M1M3，此时t1＝1，t2＝4，t3＝13．②由①知t1＝1，t2＝1＋3，t3＝1＋3＋32，则M1＝1，M2＝32，M3＝92，一般的取tn＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝eq\F(3n－1,2)，此时＝EQ\F(EQ\F(3EQ\s\up4(n)－1,2)(1＋EQ\F(3EQ\s\up4(n)－1,2)),2)，＝EQ\F(EQ\F(3EQ\s\up4(n－1)－1,2)(1＋EQ\F(3EQ\s\up4(n－1)－1,2)),2)，则＝－＝EQ\F(EQ\F(3EQ\s\up4(n)－1,2)(1＋EQ\F(3EQ\s\up4(n)－1,2)),2)－EQ\F(EQ\F(3EQ\s\up4(n－1)－1,2)(1＋EQ\F(3EQ\s\up4(n－1)－1,2)),2)＝(3n－1)2，所以为一整数平方．因此存在数列{tn}，使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方．（2）假设存在数列{tn}，使得{Mn}为等比数列，设公比为q．因为Sn＝n2，所以＝tn2，则M1＝t12，当n≥2时，Mn＝tn2－tn－12＝qn－1t12，因为q为正有理数，所以设q＝eq\F(r,s)(r，s为正整数，且r，s既约)．因为tn2－tn－12必为正整数，则eq\F(rn－1,sn－1)t12∈N*，由于r，s既约，所以eq\F(t12,sn－1)必为正整数．若s≥2，且{tn}为无穷数列，则当n＞logst12＋1时，eq\F(t12,sn－1)＜1，这与eq\F(t12,sn－1)为正整数相矛盾．于是s＝1，即q为正整数．注意到t32＝M3＋M2＋M1＝M1(1＋q＋q2)＝t12(1＋q＋q2)，于是eq\F(t3EQ\s\up2(2),t1EQ\s\up6(2))＝1＋q＋q2．因为1＋q＋q2∈N*，所以eq\F(t3EQ\s\up2(2),t1