【解析】初中数学湘教版七年级下册3.3.1运用平方差公式因式分解 同步练习

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初中数学湘教版七年级下册3.3.1运用平方差公式因式分解同步练习

一、单选题

1．（2023八上·方城期末）分解因式结果正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】解：原式

故答案为：D

【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.原式提取x，再利用平方差公式分解即可.

2．（2023八下·龙泉驿期末）下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（）

A．x2+y2B．x2﹣2x﹣3C．x2+2x+1D．x2﹣4

【答案】D

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】A．多项式中的两项同号，不能用平方差公式分解因式；

B．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；

C．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；

D．能变形为x2﹣22，符合平方差公式的特点，能用平方差公式分解因式．

故答案为：D．

【分析】根据平方差公式的构成特点，逐个判断得结论．

3．（2023七下·大新期末）下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是()

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法

【解析】【解答】A.=(2+m)(2-m)，故不符合题意；

B.不能运用平方差公式因式分解，故符合题意；

C.=(xy+1)(xy-1)，故不符合题意；

D.=[(m-a)+(m+a)][(m-a)-(m+a)]=-4am，故不符合题意；

故答案为：B.

【分析】经观察只有B提公因数-1后是平方和的形式，故不能运用平方差公式因式分解，由此可得正确答案选项.

4．（2023八下·宝安月考）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）

A．a2﹣b2B．49x2﹣y2z2

C．﹣x2﹣y2D．16m2n2﹣25p2

【答案】C

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），能用平方差公式分解，故此选项不合题意；

B、49x2﹣y2z2＝（7x+yz）（7x﹣yz），能用平方差公式分解，故此选项不合题意；

C、﹣x2﹣y2不能用平方差公式分解，故此选项符合题意；

D、16m2n2﹣25p2＝（4mn﹣5p）（4mn+5p），能用平方差公式分解，故此选项不合题意；

故答案为：C．

【分析】能运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此判断即可．

5．（2023七下·长兴期中）若s+t=3，则s2-t2+6t的值是（）

A．3B．6C．9D．12

【答案】C

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：∵s+t=3

s2-t2+6t

=(s+t)(s-t)+6t

=3(s-t)+6t

=3s-3t+6t

=3(s+t)

=33

=9.

故答案为：C.

【分析】根据平方差公式可得s2-t2+6t=(s+t)(s-t)+6，把s+t=3代入原式=3(s-t)+6t，即可求得。

6．（2023八上·南丹月考）将因式分解，结果正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】解：xn+1xn-1=xn-1(x2-1)=xn1(x+1)(x1).

故答案为：D.

【分析】先提公因式xn-1，再用平方差公式进行分解即可.

7．（2023八上·南通期中）已知，则的值为（）

A．0B．1C．3D．4

【答案】B

【知识点】代数式求值；因式分解﹣公式法

【解析】【解答】∵，

∴===1

故答案为：B.

【分析】由平方差公式代入，即可化简原式。

8．（2023·桂林）因式分解a2﹣4的结果是（）

A．（a+2）（a﹣2）B．（a﹣2）2

C．（a+2）2D．a（a﹣2）

【答案】A

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：原式＝（a+2）（a﹣2），

故答案为：A.

【分析】根据平方差公式分解因式即可.

9．多项式x2＋y2、－x2＋y2、－x2－y2、x2＋（－y2）、8x2－y2、（y－x）3＋（x－y）、2x2－y2中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【答案】B

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【分析】根据平方差公式的特征依次分析即可。

【解答】能在有理数范围内用平方差公式分解的有－x2＋y2、x2＋（－y2)、2x2－y2、（y－x)3＋（x－y)共4个，

故选B.

【点评】解答本题的关键是熟练掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

10．（2023八下·西安月考）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A．爱我中华B．我游中华C．中华美D．我爱美

【答案】A

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】解：2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），

信息中的汉字有：华、我、爱、中.

所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华.

故答案为：A.

【分析】利用提公因式法分解因式，然后再利用平方差公式进行分解，由题意可得密码信息。

二、填空题

11．（2023九上·哈尔滨月考）把多项式分解因式的结果为．

【答案】

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】解：，

故答案为．

【分析】首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可得出答案．

12．（2023九上·南宁期末）分解因式：.

【答案】

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】解：，

故答案为：.

【分析】先提取公因式ab，然后利用平方差公式继续分解即可.

13．（2023八上·施秉期末）因式分解：(x＋3)2－9＝.

【答案】x（x+6）

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：(x＋3)2－9=（x+3+3）（x+3-3）=x（x+6），

故答案为：x（x+6）.

【分析】根据平方差公式分解因式即可.

14．（2023七下·义乌期末）已知多项式：①x2+4y2；②﹣+；③﹣﹣；④3x2﹣4y；其中能运用平方差公式分解因式的是.（填序号即可）

【答案】②

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：①x2+4y2不能运用平方差公式分解因式；

②﹣+能运用平方差公式分解因式；

③﹣﹣不能运用平方差公式分解因式；

④3x2﹣4y不能运用平方差公式分解因式，

则能用平方差公式分解的是②.

故答案为：②.

【分析】利用平方差公式的结构特点：有两项，两项的符号相反且两项都能写成平方形式，再逐一判断。

三、解答题

15．（2023七下·高新期末）把下列各式分解因式：

（1）

（2）

【答案】（1）解：

=

=

（2）解：

=

=

【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【分析】（1）运用提公因式法可得；（2）先提公因式，再运用平方差公式.

16．用平方差公式因式分解

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）解：原式=-3xy(y2-9x2)

=-3xy(y+3x)(y-3x)

（2）解：原式=4a2(x2-4y2)

=4a2(x+2y)(x-2y)

（3）解：原式=a2-8a+2a-16+6a

=a2-16

=(a+4)(a-4)

（4）解：原式=(9x2+y2)(9x2-y2)

=

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【分析】(1)提取公因式法进行因式分解，提出-3xy，可得

-3xy(y2-9x2)，对括号内式子利用平方差公式进行因式分解，即可得到最后的结果。

(2)利用提公因式法进行因式分解，提出公因式4a，可得4a2(x2-4y2)，对括号内式子利用平方差公式进行因式分解，即可得到最后的结果。

(3)首先对多项式去括号后合并同类项可得a2-16，对式子利用平方差公式进行因式分解，即可得到最后的结果。

(4)对多项式利用平方差公式进行因式分解，可得(9x2+y2)(9x2-y2)，对(9x2-y2)再利用平方差公式进行因式分解，即可得到最后的结果。

17．（2023七上·闵行月考）试判断的值与的大小关系，并证明你的结论.

【答案】解：原式

．

【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法

【解析】【分析】先根据平方差公式，将原式分解因式，再找出规律，进行约分即可．

18．（2023七下·拱墅月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.

（1）36和2023这两个数是“和谐数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？

【答案】（1）∵36＝102﹣82，2023＝5062﹣5042，

∴36和2023是“和谐数”；

（2）这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.理由如下：

∵;

∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.

【知识点】因式分解﹣公式法；定义新运算

【解析】【分析】(1)按照新定义的概念进行验算即可；

(2)读懂题目意思，应用因式分解，把化成4与整数的乘积的形式即可.

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初中数学湘教版七年级下册3.3.1运用平方差公式因式分解同步练习

一、单选题

1．（2023八上·方城期末）分解因式结果正确的是（）

A．B．

C．D．

2．（2023八下·龙泉驿期末）下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（）

A．x2+y2B．x2﹣2x﹣3C．x2+2x+1D．x2﹣4

3．（2023七下·大新期末）下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是()

A．B．

C．D．

4．（2023八下·宝安月考）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）

A．a2﹣b2B．49x2﹣y2z2

C．﹣x2﹣y2D．16m2n2﹣25p2

5．（2023七下·长兴期中）若s+t=3，则s2-t2+6t的值是（）

A．3B．6C．9D．12

6．（2023八上·南丹月考）将因式分解，结果正确的是（）

A．B．

C．D．

7．（2023八上·南通期中）已知，则的值为（）

A．0B．1C．3D．4

8．（2023·桂林）因式分解a2﹣4的结果是（）

A．（a+2）（a﹣2）B．（a﹣2）2

C．（a+2）2D．a（a﹣2）

9．多项式x2＋y2、－x2＋y2、－x2－y2、x2＋（－y2）、8x2－y2、（y－x）3＋（x－y）、2x2－y2中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

10．（2023八下·西安月考）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A．爱我中华B．我游中华C．中华美D．我爱美

二、填空题

11．（2023九上·哈尔滨月考）把多项式分解因式的结果为．

12．（2023九上·南宁期末）分解因式：.

13．（2023八上·施秉期末）因式分解：(x＋3)2－9＝.

14．（2023七下·义乌期末）已知多项式：①x2+4y2；②﹣+；③﹣﹣；④3x2﹣4y；其中能运用平方差公式分解因式的是.（填序号即可）

三、解答题

15．（2023七下·高新期末）把下列各式分解因式：

（1）

（2）

16．用平方差公式因式分解

（1）

（2）

（3）

（4）

17．（2023七上·闵行月考）试判断的值与的大小关系，并证明你的结论.

18．（2023七下·拱墅月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.

（1）36和2023这两个数是“和谐数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】解：原式

故答案为：D

【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.原式提取x，再利用平方差公式分解即可.

2．【答案】D

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】A．多项式中的两项同号，不能用平方差公式分解因式；

B．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；

C．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；

D．能变形为x2﹣22，符合平方差公式的特点，能用平方差公式分解因式．

故答案为：D．

【分析】根据平方差公式的构成特点，逐个判断得结论．

3．【答案】B

【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法

【解析】【解答】A.=(2+m)(2-m)，故不符合题意；

B.不能运用平方差公式因式分解，故符合题意；

C.=(xy+1)(xy-1)，故不符合题意；

D.=[(m-a)+(m+a)][(m-a)-(m+a)]=-4am，故不符合题意；

故答案为：B.

【分析】经观察只有B提公因数-1后是平方和的形式，故不能运用平方差公式因式分解，由此可得正确答案选项.

4．【答案】C

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），能用平方差公式分解，故此选项不合题意；

B、49x2﹣y2z2＝（7x+yz）（7x﹣yz），能用平方差公式分解，故此选项不合题意；

C、﹣x2﹣y2不能用平方差公式分解，故此选项符合题意；

D、16m2n2﹣25p2＝（4mn﹣5p）（4mn+5p），能用平方差公式分解，故此选项不合题意；

故答案为：C．

【分析】能运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此判断即可．

5．【答案】C

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：∵s+t=3

s2-t2+6t

=(s+t)(s-t)+6t

=3(s-t)+6t

=3s-3t+6t

=3(s+t)

=33

=9.

故答案为：C.

【分析】根据平方差公式可得s2-t2+6t=(s+t)(s-t)+6，把s+t=3代入原式=3(s-t)+6t，即可求得。

6．【答案】D

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】解：xn+1xn-1=xn-1(x2-1)=xn1(x+1)(x1).

故答案为：D.

【分析】先提公因式xn-1，再用平方差公式进行分解即可.

7．【答案】B

【知识点】代数式求值；因式分解﹣公式法

【解析】【解答】∵，

∴===1

故答案为：B.

【分析】由平方差公式代入，即可化简原式。

8．【答案】A

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：原式＝（a+2）（a﹣2），

故答案为：A.

【分析】根据平方差公式分解因式即可.

9．【答案】B

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【分析】根据平方差公式的特征依次分析即可。

【解答】能在有理数范围内用平方差公式分解的有－x2＋y2、x2＋（－y2)、2x2－y2、（y－x)3＋（x－y)共4个，

故选B.

【点评】解答本题的关键是熟练掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

10．【答案】A

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】解：2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），

信息中的汉字有：华、我、爱、中.

所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华.

故答案为：A.

【分析】利用提公因式法分解因式，然后再利用平方差公式进行分解，由题意可得密码信息。

11．【答案】

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】解：，

故答案为．

【分析】首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可得出答案．

12．【答案】

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】解：，

故答案为：.

【分析】先提取公因式ab，然后利用平方差公式继续分解即可.

13．【答案】x（x+6）

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：(x＋3)2－9=（x+3+3）（x+3-3）=x（x+6），

故答案为：x（x+6）.

【分析】根据平方差公式分解因式即可.

14．【答案】②

【知识点】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：①x2+4y2不能运用平方差公式分解因式；

②﹣+能运用平方差公式分解因式；

③﹣﹣不能运用平方差公式分解因式；

④3x2﹣4y不能运用平方差公式分解因式，

则能用平方差公式分解的是②.

故答案为：②.

【分析】利用平方差公式的结构特点：有两项，两项的符号相反且两项都能写成平方形式，再逐一判断。

15．【答案】（1）解：

=

=

（2）解