湖北高考数理科试卷(带详解)

2012湖北高考理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．方程的一个根是（）A． B． C． D．【测量目标】复数的一元二次方程求根.【考查方式】给出一元二次方程，由求根公式求出它的根.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】根据复数求根公式：，所以方程的一个根为，答案为A.2．命题“”的否定是（）A． B．C． D．【测量目标】常用逻辑用语，含有一个量词的命题的否定.【考查方式】给出了存在性命题，根据逻辑用语写出命题的否定.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定因此选D.3．已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）第4题图A． B.C． D．【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】给出了二次函数的图象，求出函数解析式，由定积分的几何意义可求得面积.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】根据图像可得：，再由定积分的几何意义，可求得面积为.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C．D．第4题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出了几何体的的三视图，确定其为圆柱，根据体积公式求出体积.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为.选B.5．设，且，若能被13整除，则（）A．0B．1C．11D．12【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据其展开式的系数求解.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】由于51=521，又由于13|52,所以只需13|1+a，0a＜13,所以a=12选D.6．设是正数，且，，，则（）A．B．C． D．【测量目标】不等式的基本性质.【考查方式】给出含未知量的3个方程，根据柯西不等式的使用及其去等条件可得出答案.【试题解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈循环：当n=1时，得s=1，a=3.（步骤1）第二圈循环:当n=2时，得s=4，a=5（步骤2）第三圈循环：当n=3时，得s=9，a=7（步骤3）此时n=3，不再循环，所以解s=9.（步骤4）．（Ⅰ）（Ⅱ）【试题解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有种，答案：90.（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为.法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个,按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因,则.14．如图，双曲线的两顶点为虚轴两端点为两焦点为.若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为.则第14题图（Ⅰ）双曲线的离心率；（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值.【测量目标】双曲线的标准方程、定义、离心率，以及一般平面几何图形的面积计算.【考查方式】给出了双曲线和平面几何图形的位置关系求出离心率，根据面积公式求出面积比.【难易程度】较难【参考答案】（I），（II）【试题解析】（Ⅰ）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，（步骤1），又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出.（步骤2）（II）菱形的面积，设矩形，，∴（步骤3），∵，∴(步骤4)∴面积，∴（步骤5）∵∴（步骤6）.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D在的弦AB上移动，，连接OD，过点D作的垂线交于点C，则CD的最大值为.第15题图【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线与圆的位置关系，判断点D的位置从而求出线段最大值.【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】（由于,因此,线段OC长为定值，即需求解线段OD长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时D为AB的中点，点C与点B重合，因此16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为.【测量目标】平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.【考查方式】给出了两曲线的极坐标方程，将它们化为一般方程并求出交点.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】在直角坐标系下的一般方程为，将参数方程（t为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物线（步骤1），联立上面两个方程消去有，设两点及其中点的横坐标分别为（步骤2），则有韦达定理,又由于点点在直线上，因此的中点.（步骤3）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的变换及化简.【考查方式】求出函数解析式，根据三角变换求得最小正周期和在特定区间类函数的取值范围.【难易程度】容易【试题解析】（I）因为（步骤1）.由直线是图象的一条对称轴，可，所以，即又所以k=1，故，所以的最小正周期为.（步骤2）（II）由的图象过点，得，（步骤3）即即.故（步骤4）由有所以，得故函数在上的取值范围为.（步骤5）18．（本小题满分12分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.【测量目标】等差数列的通项，前n项和.【考查方式】由等差数列的前三项和以及积的大小求出通项，由前三项成等比关系求出新数列的前n和.【难易程度】容易【试题解析】（I）设等差数列的公差为d，则，.有题意得解得或（步骤1）所以由等差数列通项公式可得或故或（步骤2）（II）当时，分别为,不成等比数列.当时，分别为成等比数列，满足条件.故（步骤3）记数列的前n项和为.当n=1时，当n=2时，当n，=当时，综上，.（步骤4）19．（本小题满分12分）如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．图1图2第19题图【测量目标】三棱锥的体积公式，均值不等式求最值，利用导数求函数的最值，空间直角坐标系的建立，平行与垂直关系的综合应用.【考查方式】给出了空间几何体的边、角等，通过均值不等式或者导数求出体积的最大值，利用空间向量或者垂直与平行关系求得线面角的大小.【难易程度】中等【试题解析】（I）解法1：在如图1所示的△ABC中，设BD=x，则.由知，△ADC为等腰直角三角形，所以AD=CD=3.（步骤1）由折起前平面BCD.又,所以于是当且仅当即当x=1时，等号成立，故当x=1，即BD=1时，三棱锥的体积最大.（步骤2）解法2：同解法1，得（步骤1）令由，解得x=1.当时，当时，.所以当x=1，取1得最大值.故当BD=1时，三棱锥的体积最大.（步骤2）(II)解法1：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系.由（I）知，当三棱锥的体积最大时，.于是可得且（步骤3）设.因为等价于,即，故（步骤4）所以当DN=（即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，.设平面的一个法向量为由，及得可取.（步骤5）即EN与平面BMN所成角的大小.（步骤6）第19题图a解法2：由（I）知，当三棱锥的体积最大时，（步骤3）如图b,取CD的中点F，连接,EF,则AD.由（I）知平面BCD，所以MF平面BCD.（步骤4）如图c，延长FE至P点使得FP=DB，连接BP,DP，则四边形DBPF为正方形，所以取DF得中点N，连接EN，又E为FP的中点，则DP，所以因为平面BCD，又EN面BCD，所以.又因为面BMF，所以ENBM..因为当且仅当而点F是唯一的，所以点N是唯一的.即当(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)，.连接MN，ME，由计算得NB=NM=EB=EM=，所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，（步骤5）如图在平面EGN中，过点E作EH于H,则EH平面BMN.故是EN与平面BMN所成的角.在△EGN中，易得EG=GN=NE=，所以△EGN是正三角形，故即EN与平面BMN所成角的大小为.（步骤6）图b图c图d第19题图20．（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求：（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率.【测量目标】概率的加法公式与方差，条件概率.【考查方式】给出了降水量与工期延误的关系，根据概率的加法公式以及方差公式求出延误天数的均值与方差、条件概率.【难易程度】中等【试题解析】（I）由已知条件和概率的加法公式有:（步骤1）所以Y的分布列为：026100.30.40.20.1于是，故工期延误天数Y的均值为3，方差9.8.（步骤2）（II）由概率的加法公式，又.由条件概率，得.故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.（步骤3）21．（本小题满分13分）设是单位圆上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k＞0，都有？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】双曲线的标准方程，直线的方程，直线与双曲线的位置关系，双曲线中的定点问题.【考查方式】给出了圆的方程以及直线与圆的位置关系，从而判断轨迹为何种曲线，根据直线与方程的联立求出满足条件的点.【难易程度】较难【试题解析】（I）如图1，设则由可得所以①因为A点在单位圆上运动，所以②将①式代入②式即得所求曲线C的方程为，（步骤1）因为所以当0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为；（步骤2）当m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为.（步骤3）（II）解法1：如图2、3设则直线QN的方程为，将其代入椭圆C的方程并整理可得依题意可知此方程的两根为于是由韦达定理可得，即（步骤4）因为点H在直线QN上，所以于是.而等价于=即，又m＞0，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.（步骤5）第21题图1解法2：如图2、3，，设则因为P,H两点在椭圆C上，所以，两式相减可得（步骤3）依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P,H不重合，故，于是由③式可得.（步骤4）又Q,N,H三点共线，所以，即于是由④式可得（步骤5）而等价于=,即=，又m＞0，得m=.故存在m=，使得在其对应的椭圆上，对任意的k＞0，都有.（步骤6）图2图3（0＜m＜1）（m＞1）第21题图22．（本