2023年研究生类研究生入学考试专业课量子力学历年高频考题带答案难题附详解

2023年研究生类研究生入学考试专业课量子力学历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.一束自旋为的粒子进入施特恩-格拉赫装置SG(Ⅰ)后被分成两束，去掉其中的一束，另一束进入第二个施特恩-格拉赫装置SG(Ⅱ)，SG(Ⅱ)与SG(Ⅰ)的交角为θ，则粒子束穿过SG(Ⅱ)后又被分成两束．求这两束的相对数目之比．2.粒子被约束在半径为r的圆周上运动

(1)设立“路障”进一步限制粒子在的一段圆弧上运动：

求解粒子的能量本征值和本征函数．

(2)设粒子处在情形(1)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最低能量态的概率是多少?3.自旋为1/2的粒子处于磁场B中，该粒子绕磁场进动的角频率记为ω=-γB，设t=0时刻粒子处于自旋朝下状态|ψ(0)〉=|*〉，求：(1)t时刻粒子仍处于该状态的概率；(2)求t时刻粒子自旋朝上的概率．4.中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能，总角动量J=L+S．Φ是J2，L2，S2，Jz的共同本征态．现有一电子处于3P1/2态，且mj=1/2．

(1)在一级近似下，ξ(r)可用常数代替，请问电子的能量与3P3/2态差多少?

(2)请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少?

5.证明：为了保证轨道角动量是厄米算符，波函数ψ(r，θ，φ)满足单值性条件

ψ(r，θ，φ)=ψ(r，θ，φ+2π)6.一个磁矩为μ=μ0σ的自旋为1/2体系处于一个沿z轴大小为B0的均匀磁场中．在t=0时，再在x轴方向加入一个大小为B1的均匀常磁场，此时新合成的磁场仍是常磁场，设其方向为z'轴在t=0时刻及以前，体系自旋处于的本征态上，问：

(1)在t=0时刻B1磁场加入瞬间，体系自旋沿z'轴的投影的概率各是多少?

(2)在t＞0时，体系所处的态矢量的矩阵表示|ψ(t)〉为多少?

(3)在t=T时，体系处于自旋态的概率．7.在球坐标下，证明是厄米算符．8.电子在恒定均匀磁场B=Bez中运动(ez为z方向单位矢量)，同时考虑空间运动与自旋运动：

(1)写出体系的哈密顿量；

(2)求的本征值与本征函数．9.量子力学刚性转子被约束在一平面内转动，它对转轴的转动惯量是I，并有电偶极矩μ(位于平面内)．转子放在一弱均匀电场ε中，电场位于转动平面内．将电场看成微扰，求能量修正值．10.考虑有二重内部自由度的粒子，其简并基态|A〉，|B〉对应于同一能量E0，即

试求相互作用

引起的能量修正．11.电子在有心力场中运动，其中a，b是正数，r=|r|，求它的基态能量和函数．

12.设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即V=V(t)，与坐标r无关．试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解ψ(r，t)的一般形式，并取V(t)=V0cos(ωt)，以一维情况为例说明V(t)的影响．13.设硼原子(原子序数为5)受到的微扰作用，在简并微扰一级近似下：

(1)论答：其价电子2p能级分裂为几个能级?

(2)若已知其一个能级移动值为A＞0，则其余诸能级移动值为多少?

(3)求出各分裂能级对应的波函数(用原来的诸2p波函数表达)．14.对于三维谐振子，势能为，设ωx：ωy，ωz=1:1:2，求能级分布和相应的简并度．15.质量为μ的粒子在均匀力场f(x)=-F，(F＞0)中运动，ρ(p，t)为其在动量空间的概率密度，导出的关系，并加以解释．16.有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场中运动．在动能的非相对论极限下，基态能考虑T与p的关系昀相对论修正，计算基态能级的移动ΔE至阶(C为光速)．17.一个带电粒子被限制在半径为R的圆环上运动，其质量为μ，电荷量为q．在圆环中加上磁场，磁通量为Φ，磁场被约束在r＜R的区域，此时环上磁场为零，但矢势A不为零．粒子的哈密顿量可写为

(1)请问能谱是分立的还是连续的?

(2)请求出粒子的能级和波函数．18.设Ψ1与Ψ2是薛定谔方程的两个解，证明与时间无关．19.核子处于三维各向同性谐振子势场中，，能级为

如果此系统受到自旋-轨道耦合的微扰，问N=2能级将如何分裂?画出能级分裂图，给出各能级简并度．20.考虑一个类氢原子：无自旋质量为μ的粒子在中心力场中运动，原子处于z方向均匀磁场中，哈密顿量可写为为角动量z分量，ωL正比于原子磁矩M．

(1)写出原子角动量各分量的期望值的时间演化方程；

(2)假设原子在t=0时刻处于2p轨道，的本征态，求t时刻波函数；

(3)接上问，原子角动量发生进动，求进动周期；

(4)接(2)问，在t时刻测量的可能值和相应概率是多少?

(5)接(2)问，时，测量的可能值和相应概率是多少?

注：本题可能用到的公式如下

球谐函数

在l=1时，算符表象的表示矩阵为21.质量为μ的粒子限制在xy平面上运动，其哈密顿量是

其中λ是小参数．把λxy项当作微扰，试计算能量为的能级的分裂．22.一个质量为μ的粒子受力作用，其波函数满足动量空间的薛定谔方程

其中α是某一实常量，且，求力F(r)．23.在外磁场中一个自旋1/1带电+e的粒子的哈密顿量为

计算算符，设的矩阵形式是什么?24.写出能量表象下的薛定谔方程．25.证明：在非相对论情况量子力学中，对于有心力场V(r)，任何单粒子能量(束缚)本征态满足如下关系

其中ψ(0)是波函数在原点的值，V(r)是势能，μ是粒子的质量，是轨道角动量算符的平方

分析：对于有心力场问题，取球坐标是方便的，此时，体系的哈密顿量为

要证明的等式有两个特点：

(i)|〉是的本征态，利用这个特点，可证

(2)由于，因此，要证明的等式右边两项，除了差一个常数因子之外，等于

综合以上两点，估计由即可证明本题要证的结论．26.一质量为μ粒子被一δ势阱束缚，即V(x)=-λδ(x)，λ＞0．在t=0时，势阱突然关闭(消失)．计算t＞0时波函数的表达式(不必算出结果)．27.设一维谐振子处于第n个激发态，求坐标和动量的均方差的乘积28.由两个自旋为1的全同粒子组成的系统的哈密顿量为，其中分别是两个粒子的自旋算符，J实常量，求：系统的能级和能级简并度，以及系统的本征函数．29.已知力学量正交归一本征函数为，相应的本征值为a，-a，-a．在A象中，力学量的矩阵表示为

其中a，b为实数，求：它们共同本征函数ψ1，ψ2，ψ3，并给出相应的本征值．30.原子核限度为10-13cm，试用不确定原理估算核内质子的动能(以电子伏为单位)．31.考虑一维方势阱，

其中V0＞0．如果一质量为μ、动能为E的非相对论粒子从左入射，问透射概率为多少?E为何值时该概率为1?32.我们可以将半经典的玻尔一索末菲关系

(其中积分沿一封闭的轨道)推广应用到有电磁场存在的情形，只需用p-eA/c代替P．应用这关系及关于线动量p的运动方程，推导一半经典电子在一磁场B中沿任意轨道运动时，其磁通量的量子化条件，对于固体中的电子，这条件可用电子轨道在k空间的尺度S重新加以描述，试找出用B表达的S的量子化条件(忽略自旋效应)．33.设为轨道角动量算符，已知共同的本征函数为Ylm(θ，φ)(球谐函数)，证明的共同本征函数，且本征值为34.体系的哈密顿量，已知力学量Q表象中，有

其中E0和ε均为大于0的实数，且．

(1)求的本征值和本征矢．

(2)求的基态能量(二级近似)及态矢(一级近似)．

(3)求出该体系能级的精确值，这个与(2)问中的结果是呈什么关系?35.电子偶素(e+e-束缚态)类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核．在非相对论近似下，其能量和波函数同氢原子类似．今设在电子偶素的基态里，存在一种接触型自旋交换作用，其中Me与Mp电子和正电子的自旋磁矩利用一级微扰论计算此基态中自旋单态与自旋三重态之间的能量差，决定哪一能量更低．

36.两个无相互作用粒子具有相同的质量μ，在宽为a的一维无限深势阱中运动

(1)试写出体系4个最低能级的能量；

(2)试对下列情况的两粒子，分别求出4个最低能级的简并度：

(a)自旋为1/2的全同粒子；

(b)自旋为1/2的非全同粒子；

(c)自旋为1的全同粒子．37.一个自旋为、磁矩大小为μ的粒子处于如下旋转磁场中：

B=Bcos(ωt)ex+Bsin(ωt)ey

其中磁场大小B为定值．若初始时刻粒子的自旋沿z轴负方向，求t＞0时粒子的自旋沿z轴正方向的概率．38.已知t=0时氢原子波函数为(未归一化)

其中ψnlm(r)为氢原子本征态，n，l，m分别为主、角和磁量子数且E1=-13.6eV，求：

(1)处于该状态的氢原子的能量，l2，lz的平均值；

(2)t时刻的状态ψ(r，t)；

(3)t时刻的能量，l2，lz的平均值是多少?39.处于l=0态的极化电子束，通过非均匀磁场后，分裂为强度不同的两束，其中自旋平行于磁场的一束与自旋反平行于磁场的一束的强度比为1:3，试求入射的极化电子束自旋方向与该磁场的夹角大小．40.讨论一个由电子和正电子通过库仑吸引力结合而成的类氢原子体系．对角动量L=0态，这个体系在外磁场B=Bez下的哈密顿量可写成

式中，A，e，m，c为常量，分别为电子及正电子的自旋为1/2的自旋算符．H0是电子动能、正电子动能及电子与正电子之间的库仑能之和．取作微扰，用微扰论求由于自旋而导致的四度简并基态能量变化至一级修正，并简单画出能量修正值随磁场变化图．41.试用变分法求解三维空间如下势阱(其中V0＞0，a＞0)的质量为μ的粒子的基态能量．试探波函数取为．42.一微观粒子沿x轴自由运动，设t=0时刻测定其位置不确定量为Δx．计算t时刻测定该粒子位置时不确定量Δx为多大?43.证明为泡利矩阵．44.已知一量子体系只有两个能量本征态|1〉，|2〉，它们是正交归一的，现对一可观测量测得以下数据

求以|1〉，|2〉为基，的矩阵形式和本征值．45.质量为μ的粒子在吸引δ势V(x)=-Aδ(x)(A＞0)中运动，以谐振子基态型波函数为试探函数，求束缚态的近似能量．46.外磁场中电子的哈密顿量

(1)求位置矢量的对易关系

(2)证明：

(3)证明连续性方程中的概率流密度为

47.以z轴为球坐标的极轴，说明，设氢原子中电子角动量Lz被确定到的5%，说明此时坐标φ完全不确定．48.转动惯量为l，电矩为P的平面刚性转子置于均匀弱电场E中，已知电场是在转子转动平面上，求能级的一级和二级修正值，并给出一级微扰下的波函数．49.一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围，求激发电子到第一激发态所需的能量．(用eV表示．)

，me=0.5MeV/c2，c=3×108m/s50.，其中表示粒子1和粒子2的自旋算符(提醒：要考虑全同性原理，不必用微扰论)

(1)求由上述哈密顿量描写的自旋为粒子系统的基态能量和基态波函数；

(2)求由上述哈密顿量描写的自旋为1粒子系统的基态能量和基态波函数．第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：解

图1

图2

本征值为

本征值对于本征态：

本征值对于本征态：

对于SG(Ⅱ)测量前体系状态为，可将用S·n的本征态来展开

而两束的相对数目之比即为概率之比，因总数目一定，所以

2.参考答案：[解](1)本题为绕定轴转动问题不妨取过圆心轴为z轴，则哈密顿量为：

当0＜φ＜φ0时：

即

所以

取ψ(φ)=Asin(kφ)+Bcos(kφ)

(3)

当φ0＜φ＜2π时：故ψ(φ)=0

(4)

根据连续性条件

ψ(0)=ψ(2π)得B=0

(5)

ψ(φ0)=ψ(2π)得Asin(kφ0)=0

(6)

故有：sin(kφ0)=0，则kφ0=nπ，n=1，2，3，…即：n=1，2，3…

由归一化条件得

故，n=1，2，3，…，相应得本征函数为：

(2)突然撤去“路障”时，粒子处于基态ψn(φ)(n=1)，撤去“路障”后，粒子做圆周运动，为本征态

最低能量时m=0，

处于最低能量态的概率为：

3.参考答案：[解]方法一：利用时间演化算符求解t时刻波函数，然后利用标积求解概率．

体系哈密顿量为

体系t＞0时刻的状态为

首先计算时间演化算符在σz表象中矩阵表示：

利用(σ·A)(σ·B)=A·B+iσ·(A×B)可得

(σ·ω)2=ω2

(3)

其中，所以

故在表象中时间演化算符矩阵表示为

(4)

即

(5)

(1)t时刻粒子仍处于自旋朝下的概率为

方法二：求解定态薛定谔方程，然后写出其一般解，利用标积求出概率．

取ω=ωn，由(1)式可得

上式的解为

故一般解为

因为

所以

因此

故在t时刻仍处于自旋朝下态的概率为

因为，所以上式与方法一一致．

(2)粒子自旋朝上的概率为

4.参考答案：[解]Φljmj≡|ljmj〉为的本征态，本征值分别为

对于态：

(1)在一级近似下：

为L·S的本征态，对应的能量为

为L·S的本征态，对应的能量为

所以电子的能量与

(2)由题给公式：，所以

即

所以在态上的平均值为：

所以

在z方向均匀磁场中电子的能量改变为：(近似到一级)

故

即电子能量改变为5.参考答案：[证明]厄米算符的定义要求对于任意两个波函数，有下式成立：

如果f=f(r，θ)与φ无关，则有

即

被积函数对r，θ部分的任意性特征要求

鉴于φ=0的方向可以任意选择，故有ψ(r，θ，φ)=ψ(r，θ，φ+2π)．6.参考答案：[解]系统的哈密顿量为

依据上题方法二，上式改写为

此处单位矢量n=(sinθ，0，cosθ)，即z'轴方向．则

容易解得上式的本征值和本征函数为

(1)在t=0时刻B1磁场加入瞬间，体系状态来不及改变，仍为故此时粒子自旋沿z'轴的投影的概率为

考虑到，则有

所以

其中cosθ，sinθ由(3)式给定，

(3)在t=T时，体系处于自旋态的概率为

7.参考答案：[证明]取任意波函数ψ与χ，则

8.参考答案：解：此题中应该不考虑自旋与轨道间相互作用

(1)

(2)显然自旋角动量与轨道角动量可以分离变量

令ψ=φ(r)χ，代入上式：

即：

解得：

9.参考答案：解：无外场作用时，，本征方程为

解得

微扰哈密顿量为(选x方向为ε方向)

能量一级修正为E(1)=0

能量二级修正为

10.参考答案：解：二重简并，各微扰矩阵元计算如下：

同理：

所以

因为为力学量，a、b为实数，故求的本征值即可．

所以

故能量修正为11.参考答案：[解]设粒子的径向波函数为：R(r)=χ(r)/r，则χ(r)满足方程

对于基态l=0，只有径向波函数才有意义由于V(r)=0，令，则问题化为下列边值问题：

由χ(a)=0定出解的形式为

χ(r)=asink(r-a)

(3)

由χ(b)=0可得k的可能值

k=nπ/(b-a)，n=1，2，…

(4)

粒子处于基态时，相应的n=1，于是得到基态能量：

由归一化条件可得

故归一化的基态径向波函数为

而基态归一化波函数为

其中来自于球谐函数部分．12.参考答案：[解]令，代入含时薛定谔方程可得

所以

解得：

取V(t)=V0cos(ωt)，则有

所以对于一维情况有

上式表明：外场的作用仅是给平面波提供一个受时间调制的相角．13.参考答案：解：

(1)2p能级上只有一个电子，n=2，l=1，故m=1，0，-1．取，能级为E2，三重简并．考虑H'影响，为此需计算H'在空间上矩阵元，因对φ依赖性取决于eimφ，可先考察哪些矩阵元非零：

令由微扰对应的久期方程相应的行列式非零：

可得，0，-a．所以能级分裂为三条

(2)由于其中一个能级移动值为A＞0，可取a=A，则其余能级移动为0，-A．

(3)由第一问知久期方程为：

对于，故

对于，故

对于能级：

14.参考答案：[解]由题意可知，能级应该为三个独立的谐振子能级之和，即

其中nz，nx，ny为非负整数，

当ωx:ωy:ωz=1:1:2时，可取ωx=ωyω，ωz=2ω，所以有

取N=2nz+nx+ny，则2nz≤N，

nz有，一共有种取法(注：[]表示取整)．nz确定后，nx≤N-2nz，nx有0，1，2，…，N-2nz，一共有N-2nz+1种取法．

，N-2nz+1=1(N为偶数)或2(N为奇数)所以，N为偶数时，利用等差数列求和公式，总取法数，即能级简并度为

当N为奇数时，总取法数，即能级简并度为

15.参考答案：解：在动量表象中计算，哈密顿量为

波函数满足薛定谔方程

上式取共轭可得

作变换，用左乘(2)式，左乘(3)式，可得

即

上式的一般解为

表示在动量空间以速度f传播的波包．16.参考答案：解：方法一：由微扰论知基态能级的移动为：

考虑到

由可得

近似到阶的基态能级的移动为

方法二：利用产生算符和湮没算符计算．

由式知，可考察势能和势能平方的平均值．鉴于谐振子问题中，动能平均和势能相等，故式中前两项抵消．所以仅需要计算势能平方的平均．利用，结合，可得

故

对于基态，取n=0可得

17.参考答案：解：

显然的本征态为系统的本征态，即

代入定态薛定谔方程可得

其中m为整数．因此，粒子的能级是分立的．18.参考答案：[证明]试将此式对时间求偏导数，再利用所满足的薛定谔方程，有：

最后一个等号是利用高斯定理将题给的体积分(τ)变换成(τ)的包围面S的面积分，若Ψ2，Ψ2满足平方可积条件

可得这面积分等于零，所以体积分是与时间无关的．19.参考答案：解：由题意知N=2nr+l=2，故有两种情况：nr=0，l=2，5重简并；nr=1，l=0，非简并，考虑到自旋，简并度加倍，即此能级是12重简并的，本征态为

这是非耦合表象中的基矢量．

微扰哈密顿量为

为求微扰引起的能级分裂，只需要在N=2子空间对角化．选择耦合表象来计算，耦合基是|2ljmj〉，对应的量子数如下

在耦合表象中，微扰哈密顿量为对角矩阵，相应矩阵元为

能级分裂图如下图所示．图中D表示简并度．

20.参考答案：[解]

(1)角动量各分量与中心力场哈密顿量对易，所以有

由(2)式和(3)式可得

解得

(2)对于2p轨道，角量子数为1，能级为

的本征方程为

当时，结合归一化条件|c1|2+|c2|2+|c3|2=1可得

其中分别为属于本征值的本征态．

(3)进动周期：

(4)由(13)式可得：在t时刻测量的可能值为概率分别为：

(5)在时，有

为了计算测量Lx的可能值，需要知道Lx的本征函数，计算易得

所以

测量的概率为

测量Lx=0的概率为

测量的概率为

21.参考答案：解：由题意，故其本征函数为两谐振子本征函数之积，能量为两谐振子系统能量之和，即

当nx=1，ny=0或者nx=0，ny=1时为第一激发态，，2重简并．

现计算在第一激发态对应的2×2空间中矩阵元：

取，则有

由于，故，因此

同理：

故久期方程为

由对应行列式为零，解得：

所以能级分裂为两条，能级间距为，即

22.参考答案：解：考虑到在动量空间中所以

将动量空间薛定谔方程变到坐标空间，可得

因此，故所求的力为

23.参考答案：[解]在海森伯表象中，有

因此

若，则

得

其中由初始条件得

因此

24.参考答案：解：在能量表象中，哈密顿为对角矩阵，其矩阵元为

即

由于，则Cn=〈n|ψ(r，t)〉为能量表象中的波函数．则在能量表象中的波动方程为

25.参考答案：[证明]因，故有

|〉是H的本征态，可令|〉=Rnl(r)Ylm(θ，φ)，则

但，故有结论．26.参考答案：[解]对于束缚态，归一化的本征函数为

其中．束缚态的能级为．

势阱突然关闭时，粒子状态不变，但系统的本征态变为平面波，系统在t＞0时的波函数应为动量本征态的叠加态

由已知条件：Ψ(x，0)=ψ(x)，可得展开系数

t＞0时动量空间的波函数形式上较简单，由(3)式可得

由(2)式有

其中．由，上式可化为

27.参考答案：解：方法一：

所以

由位力定理可知

即

所以

方法二：取粒子数表象有

28.参考答案：[解]对于自旋为1的粒子

的属于本征值的本征态为

由上述表达式容易证明：

(1)两自旋为1的粒子在非耦合表象中的力学量完全集为，本征态为

α(1)α(2)，β(1)β(2)，γ(1)γ(2)，α(1)β(2)，β(1)α(2)

β(1)γ(2)，γ(1)β(2)，α(1)γ(2)，γ(1)α(2)

(2)两自旋为1的粒子在非耦合表象中的力学量完全集本征态可由(1)问中9个态线性叠加表示出来令总自旋S量子数为S，则由角动量耦合理论可得

S=S1+S2，S1+S2-1，…，|S1-S2|，S=2，1，0

(2)

总自旋z分量的量子数ms及的共同本征态及简并度为

S=2:ms=2，1，0，-1，-2；本征态记做χ2ms，5重简并

S=1:ms=1，0，-1；本征态记做χ1ms，3重简并

S=0:ms=0；本征态记做χ00，非简并

考虑到，所以体系的能级为

能级列表如下：

(3)下面求解本征态的具体表达式

通过全同粒子的波函数的对称化规则和(1)式容易得到：

χ2m和χ00为对称波函数；χ1m为反对称波函数．

具体表达式如下：

29.参考答案：[解]从已知条件中可看出[A，B]=0，故存在共同的本征态力学量A的正交归一本征态可取为

(1)对于力学量A，本征值为a的本征态无简并，所以也为力学量B的本征态，有

本征值为b，即

(2)力学量A的本征值为-a的本征态为二重简并，记记共同的本征态为Ψ有

所以可得：

同理：B21=b

所以，根据(2)式可得：B'=b，-b

对于B'=b，可得：c1=c2，考虑到归一化条件，所以

对于B'=-b，可得：-c1=c2，考虑到归一化条件，所以

总之，共同本征函数，对应力学量的本征值为a，-a，-a；力学量的本征值为b，b，-b．30.参考答案：[解]可用Δp估计p，，故有

因为

故：

31.参考答案：解

其中，

根据边界条件确定R，S，A，B.x=0点及x=a点，ψ(x)、ψ'(x)连续，

1+R=A+B，k(1-R)=k'(A-B)

透射概率为

要达到共振透射，须满足k'a=nπ，即入射粒子动能时，发生共振透射，粒子的透射概率为1．32.参考答案：解：在电磁场存在下，正则动量，其中p为机械动量，由推广的玻尔-索末菲关系，有

由及电子在电磁场中运动

的经典方程式(设B是恒场)．则

又由，得

所以轨道在k空间中所占的面积Sn与其在位置空间中的面积An之间关系为

故有

33.参考答案：[解]由已知条件知

(1)考虑到，可变换为因为

而，故有对易，所以

因此的本征函数，本征值为

(2)考虑，同理先考虑．取，其中，则

式中(1，2，3)≡(x，y，z)．故有

因此，的本征函数，本征值为34.参考答案：解：本题中未对角化，需要首先求解的本征态．

(1)的本征值与本征函数

对应本征函数分别为：

(2)基态：

鉴于给定的H0矩阵非对角，需要先计算微扰矩阵元：

同理有：

所以，近似到二级近似基态能量为

(3)精确解

存在非零本征值的条件是久期方程对应的行列式为零，即有

所以：

解得：

讨论：由于，所以有

化简并整理得，体系的能级(从小到大排列)为：

即基态的精确解在泰勒展开到一级项时，可得(2)问中结果．35.参考答案：解：根据已知条件，微扰哈密顿量为

其中为电子偶素的总自旋．

未微扰时，基态能量为

其中

是四度简并的，4个简并的波函数记做

φ1=ψ100χ11,φ2=ψ100χ10，φ3=ψ100χ1-1，φ4=ψ100χ00

在简并的态之间的微扰矩阵元

这是因为4个总自旋的本征态相互正交，它们都是的本征态，即微扰矩阵为对角矩阵，因此简并微扰可以用非简并微扰论来处理，对角元素就是能量一级修正．

考虑到微扰哈密顿量自旋部分与总自旋z分量无关，所以对自旋三重态，一级修正能量都相同，均为

对自旋单态

自旋三重态能量高于自旋单态的能量，它们之间的能量差为

将(3)式代入上式可得

36.参考答案：解：一维无限深势阱粒子波函数：

两粒子(无相互作用)时：

(1)基态：

第一激发态：n=1，m=2或者n=2，m=1：

第二激发态：

第三激发态：n=1，m=3或者n=3，m=1；

(2)(a)两自旋为1/2的全同粒子

空间波函数为

对称：

反对称：

自旋部分：

基态：n=m=1，，无简并

第一激发态：简并度为4

第二激发态：n=m=2，，无简并

第三激发态：简并度为4(b)两自旋为1/2的非全同粒子(可分辨)，波函数不必对称化，有基态：n=m=1，，波函数为

第一激发态：，波函数为

第二激发态：

第三激发态：，波函数为

(c)自旋为1的两全同粒子：总波函数要求对称

自旋部分：单粒子自旋态记作α，β，γ，则

对称：χ22=αα，χ2-2=γγ

反对称：

空间部分：

基态：，波函数为空间对称、自旋对称，6重简并；

第一激发态：，波函数为空间自旋均对称或均反对称，9重简并；

第二激发态：，波函数与基态类似，6重简并；

第三激发态：，波函数为空间自旋均对称或均反对称，9重简并．37.参考答案：[解]在σz表象中，哈密顿量表示为：

设t＞0时体系的自旋波函数为

代入含时薛定谔方程得到

结合(1)式和(3)式可得

其中令a(t)=c1(t)e-iωt/2，b(t)=c2(t)eiωt/2，代入(4)式和(5)式可得

令f(t)=c1(t)+c2(t)，g(t)=c1(t)-c2(t)，(6)式和(7)式相加或相减可得

解得

由初始条件，可得a(0)=0，b(0)=1．即c1(0)=0，c2(0)=1，所以

f(0)=1，g(0)=-1

(12)

因此

故有t＞0时刻波函数为

t＞0时粒子自旋沿z轴正向的概率为

38.参考答案：[解]归一化波函数为(t=0)

(1)从上式可知：能量量子数n=1，2；l2量子数l=0，1；lz量子数m=0，1，-1故

(2)t时刻的状态为：

(3)因能量满足：，所以为守恒量．由于守恒量的平均值在任意状态的平均值不随t改变，故

39.参考答案：[解]自旋平行与反平行的强度比，即是极化电子束按自旋在磁场方向投影算符的本征态分解的概率比．

方法一：设磁场方向为z轴，极化方向为n=(sinθ，0，cosθ)，则在表象中

入射态满足方程：

注意：极化方向沿n方向，此时本征值为正．解得

a:b=(1+cosθ)/sinθ=cot(θ/2)

(2)

磁场方向沿z轴，所以电子通过磁场后，分裂为z轴正、负方向两束根据测量假没理论，入射态用自旋本征态展开，展开系数模方比值即为强度比，由已知条件和(2)式可得：

解得

方法二：设自旋极化方向为z轴，磁场方向为n，自旋顺磁场方向的概率为P+，反方向的概率为P-，由题设P+:P-=1:3，又P++P-=1，故可解出

所以

又因为，比较得40.参考答案：解：对于的基态|lm〉=|00〉．而

正电子与负电子为可分辨粒子(因电荷不同)，当考虑自旋后，不必对称化波函数导致的基态四重简并，取

|lmsms〉≡|00sms〉；s=1，0；ms=1，0，-1．

取

首先由于

又利用

可计算得

故有：

，

，其他为0

所以：

由久期方程：得

取可解得

当B=0时，

能量修正值随磁场变化图如下：

讨论：(1)当磁场为弱场时，可将视作微扰，此时一级微扰为零，由二级微扰论可知能量与磁场的平方成正比；

(2)当磁场为强场时，由于，能量与磁场呈线性关系．41.参考答案：解：本题中应特别注意动能平均值在球坐标中的计算．

由题意知：波函数关于角向对称，故对于动能只需要计算径向动能，关于角向部分贡献波函数加上归一化因子即可．

取ψ(r)=Ae-λr，首先求归一化因子

经过分部积分解得：

(1)动能平均值计算：

(2)势能平均值计算：

故有在试探波函数下的能量为

因束缚态能量小于零，因此必须

对于束缚态，λ＞0，由极值条件可知，当时有V0极小值，因此

由可得

整理得到：

由(7)式和束缚态条件可得：

由三阶方程求根公式可以求得能量取极小值时(即基态)的，将其代入(5)式可得基态能量为

42.参考答案：[解]自由粒子，由于，所以

而p=p0，Δp=Δp0，所以43.参考答案