浅析解析几何中的角度求法

精品文档-下载后可编辑浅析解析几何中的角度求法例1：已经知圆C：（x+4）+y=4和点A（-2，0），圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y轴相交于M，N两点，问：∠MAN是否为定值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不是，说明理由。

分析：判断角是否为定值，只需判断该角所对应的某一种三角函数值是否为定值即可，采用余弦定理可求得余弦值，采用到角公式可求得正切值，均可进行判断。以下对两种解法进行比较区别。

解：设圆D的圆心为（0，b），半径为r，则M（0，b+r），N（0，b-r），由于圆C与圆D外切，

2+r=，即b-r=4r-12。

方法一（利用余弦定理）：AM=，AN=，MN=2r。在MAN中，利用余弦定理得：cos∠MAN===，将b-r=4r-12代入得：cos∠MAN==，所以∠MAN=。

方法二（利用到角公式）：tan∠MAN===，

将b-r=4r-12代入得tan∠MAN=，所以∠MAN=。

例2：椭圆+=1的左右焦点分别为F，F，P为椭圆左准线上的一个动点，问：当P处于何位置时，∠FPF取得最大值？并求出此最大值。

分析：求角的最值问题时同样需要借助该角的某一三角函数值，同时还需结合三角函数的单调性进行判断，采用余弦定理应用余弦函数单调性、采用到角公式应用正切函数的单调性均可解决问题。

解：依题意可得F（-1，0），F（1，0），左准线为x=-4，设P（-4，y），y＞0。

方法一（利用余弦定理）：|PF|=，|PF|=，|FF|=2。在PFF中，由余弦定理得：cos∠FPF===

==≥。

当cos∠FPF=时，

∠FPF取得最大值，为arccos，此时y=，即P（-4，），由对称性知处于x轴下方的P的坐标为（-4，-），所以当P（-4，±）时，∠FPF取得最大值为arccos。

方法二（利用到角公式）：k=-，k=-，

tan∠FPF===≤=。

，当y=即y=时，∠FPF取得最大值，为arctan，此时P（-4，），再由对称性知处于x轴下方的P的坐标为（-4，-），所以当P（-4，±）时，∠FPF取得最大值为arctan。

注：以上两题对利用余弦定理及到角公式两种解法进行比较，我们可以发现到角公式不仅减少了运算量，同时还降低了计算过程的技巧性难度。

例3：如图，直线+=1与抛物线y=2px（p＞0）交于M（x，y），N（x，y）两点，求当a=2p时，∠MON的大小。

分析：由于此题涉及的未知数较多，利用余弦定理必须求得三边的长度，过程繁琐复杂，计算量大，采用到角公式则可减少计算量，过程简单。

解：把M（x，y），N（x，y）代入直线方程得：+=1，+=1，

所以x=a-y，x=a-y，再联立+=1y=2px可得y+y-2ap=0，

y+y=-，yy=-2ap，

kk===

=，把a=2p代入得原式=-1，所以∠MON=。

例4：椭圆+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F为左焦点，A为左顶点，B为上顶点，C为下顶点，直线CF与AB交于D点，求∠BDC的大小。

分析：若采用余弦定理，则在求BD，CD的长度时就相当麻烦，而用到角公式时借助A点就可求得k，k，显得简单。

解：e==，所以a=2c，

又a=b+c，

b=c，

tan∠BDC==。

将a=2c，b=c代入得：tan∠BDC=-3。

∠BDC∈（0，π），∠BDC=π-arctan3。

综合上面几例我们可以看出，在求解与角度有关的问题时，虽然两种方法均可以解决，可无论是解题的计算过程复杂程度，还是技巧能力要求方面，到角公式均有其优越性。

解析几何因其考虑问题方法多样，计算过程较为繁琐的特点一直以来都是学生较为畏惧的一部分内容，而作为高考的必考题型，掌握相对