高考数学总复习圆锥曲线之四边形面积问题培优课件

第26讲四边形面积问题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，，设，可得，设的方程为，的方程为，到直线的距离为，由解得，即，，可得，则四边形的面积为，解得，则双曲线的方程为，焦点，，以为直径的圆的方程为，联立双曲线方程，解得，，可得在以为直径的圆外，且在双曲线上，可得的横坐标的范围是，，．故选：．二．填空题（共2小题）2．设、为椭圆的左右焦点，过椭圆的中心任作一直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于7．【解答】解：因为四边形是平行四边形，所以，四边形可以成两个全等三角形的组合图形，则；当取最大值时四边形面积最大，即当点、分别在上下顶点时，取最大值，四边形面积最大，令椭圆的实半轴为，虚半轴为，焦半径为此时，．故答案为7．3．设，是椭圆的两个焦点，过，分别作直线，．且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），则四边形面积的最大值为4．【解答】解：由题意可得椭圆的焦点，的坐标分别为，，，，因为，设平行线间的距离为，所以四边形面积为，①当直线的斜率不存在时，可得四边形为矩形，设直线的方程：，代入椭圆的方程可得，所以，，这时，②当直线的斜率存在且不为0时，且，由椭圆的对称性可得为平行四边形，设的方程为：，设，，，，联立直线与椭圆的方程，整理可得，，，所以，可得两条平行线间的距离，所以令，则，所以，所以，故答案为：4．三．解答题（共15小题）4．已知椭圆的离心率，过右焦点作与轴垂直的直线，与椭圆的交点到轴的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于、两点、不在轴上），若，求四边形面积的最大值．【解答】解：（1）由已知可得，因为直线经过右焦点，所以，即，又因为，所以，，，所以椭圆的方程为．（2）因为过的直线与椭圆交于，两点，不在轴上），所以设直线的方程为，联立．得，设，，，，则，因为，所以四边形为平行四边形，所以，令，得，由对勾函数的单调性，得当，即时，．5．已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，椭圆的右顶点为，且满足．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为（其中的直线过点，且与椭圆交于点，，弦的中点为，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的取值范围．【解答】解：（1）由得，，椭圆（2分）（2）斜率为（其中的直线过点，可得直线方程为：，由消得△恒正，，（4分），（此处也可以用点差法：由得，由得，即为、两点的坐标（6分）点，到直线的距离之和为（8分）（10分）的取值范围：（12分）6．已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．【解答】解：（1）证明：的导数为，设切点，，，，即有，，切线的方程为，即为，切线的方程为，联立两切线方程可得，可得，即，直线的方程为，即为，可化为，可得恒过定点；（2）法一：设直线的方程为，由（1）可得，，中点，由为切点可得到直线的距离即为，可得，解得或，即有直线的方程为或，由可得，四边形的面积为；由，可得，此时到直线的距离为；到直线的距离为，则四边形的面积为；法二：（2）由（1）得直线的方程为．由，可得．于是，，，．设，分别为点，到直线的距离，则，．因此，四边形的面积．设为线段的中点，则．由于，而，与向量平行，所以．解得或．当时，；当时，．综上，四边形的面积为3或．7．如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，已知，且．（Ⅰ）求、的方程；（Ⅱ）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，且．，且．，且．解得：．椭圆的方程为，双曲线的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．直线不垂直于轴，设的方程为，联立，得．设，，，，，，则，．则．在直线上，．直线的方程为，联立，得．解得，代入得．由，得．，的坐标分别为，则，到的距离分别为：，．，在直线，的两端，．则四边形的面积．当，即时，四边形面积取得最小值2．8．已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，过点作直线，与抛物线相切，，为切点，，与轴分别交于，两点．（Ⅰ）求焦点的坐标，并证明直线过点；（Ⅱ）求四边形面积的最小值．【解答】解：解法一：，设，则即同理．又在，上，则，所以．所以直线过焦点．解法二：，设直线方程为，则由得，所以，过的切线方程为，过的切线方程为，所以交点的坐标为因为在直线上，所以，所以即直线过焦点．由知，代入得，则，则，到的距离，所以，由（1）知，则，所以，令，则，在，上是增函数，则四边形面积的最小值为3．9．已知，，曲线上任意一点满足直线与直线的斜率之积为．（1）求曲线的标准方程；（2）已知直线过（与轴不重合）且交于，两点，过且垂直于直线的直线交于，两点，求四边形面积的取值范围．【解答】解：（1）设动点，由题意可知，，，，化简可得：．（2）当与轴不垂直时，设的方程为，，，，．由得．则，所以．过点且与垂直的直线，圆心到的距离为，所以．故四边形的面积．可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为，当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12．综上，四边形面积的取值范围为．10．平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于，两点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．【解答】解：（1）直线过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，故，因为椭圆的离心率为，则，解得，所以，故椭圆的方程为；（2）由，可得或，因此；由题意，可设直线的方程为，，，，，由，可得，所以，因为，则直线的斜率为1，所以，故四边形的面积为，当时，取得最大值，故四边形面积的最大值为．11．过椭圆右焦点的直线交于，两点，且椭圆的长轴长为短轴长的倍．（1）求的方程；（2），为上的两点，若四边形的对角线分别为，，且，求四边形面积的最大值．【解答】解：（1）由题意知，解得，，所以的方程为：；（2）联立方程组，解得，、，可得．依题意可设直线的方程为：，与线段相交，联立方程组消去得：，设，，，，则，四边形的面积，当时，最大，最大值为．所以四边形的面积最大值为．12．已知双曲线的离心率，点、分别是曲线的两条渐近线、上的两点，△为坐标原点）的面积为9，点是曲线上的一点，且．（1）求此双曲线的方程；（2）设点是此双曲线上的任意一点，过点分别作、的平行线交、于、两点，试证：平行四边形的面积为定值．（3）若点是此双曲线上不同于实轴端点的任意一点，设、分别为双曲线的左、右焦点），且，，试求的变化范围．【解答】（1）解：双曲线的离心率，，则，双曲线的渐近线方程为，设，，，，，则，，，，即，可知所求双曲线方程为，点在双曲线上，，①，．又，②联立①②解得：，则，所求双曲线方程为；（2）证明：设，，则．双曲线的渐近线方程为，设其中一条平行的直线方程为，即．联立，解得，不妨设点，则，又点到直线的距离，（定值）；（3）解：为双曲线上任意一点，，又，，即，，即．，，，则，，，．13．已知，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的垂线，在轴上方交双曲线于点，且．（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；（2）过点的直线和双曲线的右支交于，两点，求△的面积最小值；（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于，两点，求平行四边形的面积．【解答】解：（1）双曲线的，，可令，解得，设，由，可得，解得，则双曲线的方程为，可得双曲线的方程为，即有，可得夹角；（2）当直线的斜率不存在，可得，，，，可得△的面积为；直线的斜率存在，设过点的直线设为，联立双曲线方程，可得，设，，，，又，，可得，可得△的面积为，设，可得，综上可得△的面积的最小值为；（3）设，可得，双曲线的渐近线方程为，到直线的距离为，由平行于直线的直线，联立直线，可得，，，即有行四边形的面积为．14．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和．（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和．请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由．【解答】解：（1）因为双曲线，可得，，，由双曲线的定义可得，又因为，可得，，因为，由，可得，则点的横坐标为，所以，，，可得，即点，过点且与渐近线平行的直线的方程为，联立双曲线的方程，解得点，直线的方程为，点到直线的距离为，且，因此，四边形的面积为；（2）四边形的面积为定值，理由如下：设点，，双曲线的渐近线方程为，则直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，即，点到直线的距离为，，且，因此，（定值）．15．已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若互相平行的两条直线，分别过定点和，且直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，若四边形的面积为，求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，所以，点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不含左右顶点）．因为，，，所以，，，所以，点的轨迹方程为．设，，．由得，，又．故，点的轨迹的方程为，即．（Ⅱ）由题意可知，当直线的斜率不存在时，易求得，，，．这时，四边形的面积为，不符合要求．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，则直线的方程为由消去得，设，，，，则，．故，，又，两条平行直线，间的距离．由椭圆的对称性知：四边形为平行四边形，其面积，解得，或．故，直线的方程为或．16．如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且．（1）求，的方程；（2）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值．【解答】解：（1）因为，所以，即，因此，即，从而，，，于是，所以，，故椭圆方程为，双曲线的方程为．（2）因为直线不垂直于轴且过点，故可设直线的方程为．由联立椭圆方程，得，易知此方程的判别式大于0．设，，，，则，是上述方程的两个实根，所以，，因此，的中点为，，故直线的斜率为，的方程为，即．由联立双曲线方程，得，所以，，，从而，设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，所以，因为点，在直线的异侧，所以，于是，从而，又因为，所以，四边形面积而，故当时，取得最小值2．四边形面积的最小值为2．17．已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，如图所示．①若，求圆的方程；②设与四边形的面积分别为，，若，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上，，解得，，椭圆的方程为．（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，设，则的圆心坐标为，的方程为，直线方程为，，即，又圆的半径，由，得，解得，，圆的方程为：或．②由①知方程为，，由，得，，则△，，，，，，，，当时，的方程为，，，，，．，．当直线的斜率不存在时，方程为，，