湖南省永州市排龙山中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

湖南省永州市排龙山中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C．D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．2.若直线与圆相切，则的值是A．1，

B．2，

C．1

D．

参考答案：D3.在△ABC中，已知，，，则△ABC的面积等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D因为△ABC中,已知A=30°,C=45°,所以B=180°?30°?45°=105°.因为a=2,也由正弦定理.所以△ABC的面积，4.已知向量

，

，若∥，则=

A.

B.4

C.

D.16参考答案：C因为，所以，即，选C.5.（5分）（2015?淄博一模）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由f（﹣x）==﹣f（x）知函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除BC，再研究函数x﹣sinx单调性选出答案．解：f（﹣x）==﹣f（x），故函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除BC，∵（x﹣sinx）′=1﹣cosx≥0，∴当x＞0时，函数x﹣sinx单调递增，故单调递减，D不符合，A符合，故选：A【点评】：本题主要考查函数的性质，对于函数图象的选择题，可结合排除法与函数的性质，灵活解题．6.已知为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则该椭圆与双曲线的离线率知积的最小值为（

）A．

B．

C.

1

D．参考答案：B设则由余弦定理得，所以从而，当时，上式等号成立.7.

关于的方程在内有两个不相等实数根，则的取值

范围是

A.

B．

C．

D．或参考答案：B略8.若圆（x﹣3）2+y2=1上只有一点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】圆（x﹣3）2+y2=1上只有一点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为1，圆心到渐近线bx+ay=0的距离d==2，得出a，b的关系，可得a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵圆（x﹣3）2+y2=1上只有一点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为1，∴圆心到渐近线bx+ay=0的距离d==2，∴∴b2=a2，∴c2=a2，∴e==，故选A．9.已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称参考答案：D【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；H2：正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的对称性求出b=﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴f（）=（a﹣b）=，平方得a2+2ab+b2=0，即（a+b）2=0，则a+b=0，b=﹣a，则f（x）=asinx+acosx=sin（x+），又a≠0，则=sin（﹣x+）=sin（π﹣x）=sinx为奇函数，且图象关于点（π，0）对称，故选：D．10.已知函数在处取得极值，令函数，程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框内可填入的条件为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C由题意，，而，解得，故．由程序框图可知，当时，，选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.点A、B、C、D在同一球面上，，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为

．参考答案：【详解】试题分析：依题意所以，设的中点为，球心为O,球的半径为R，过三点的截面圆半径为由球的表面积为知，，解得.因的面积为,所以要四面体体积最大，则为射线与球面交点，所以球心到过三点的截面的距离为，所以，所以四面体体积最大为考点：1.球的几何性质；2.几何体的表面积、体积.12.如图,已知圆中两条弦与相交于点,是延长线上一点,且,,若与圆相切,则线段的长为

．参考答案：【知识点】与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．N1答案

解析：∵，∴可设AF=4k，BF=2k，BE=k＞0．由相交弦定理可得：，∴，解得．

∴．∴,根据切割线定理可得：，解得．故答案为。【思路点拨】利用相交弦定理和切割线定理即可得出．13.设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点，当的模最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，则实数的取值范围为________。

参考答案：略14.已知不等式组的解集是不等式2x2﹣9x+a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是． 参考答案：（﹣∞，9]【考点】二元一次不等式组；子集与真子集；一元二次不等式的解法． 【专题】计算题． 【分析】先解出不等式组的解集，再题设中的包含关系得出参数a的不等式组解出其范围． 【解答】解：由得2＜x＜3． 不等式2x2﹣9x+a＜0相应的函数开口向上，令f（x）=2x2﹣9x+a， 故欲使不等式组的解集是不等式2x2﹣9x+a＜0的解集的子集， 只需a≤9． 故应填（﹣∞，9] 【点评】本题是一元二次不等式的解法以及已知一元二次不等式的解集求参数，综合考查了一元二次函数的图象与性质． 15.在中，若向量，且，则角B

。参考答案：略16.若，则二项式的展开式中含x项的系数是

参考答案：24017.体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为．参考答案：6【考点】LR：球内接多面体．【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积，从而得出棱柱的体积．【解答】解：由球的体积公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：a=1，∴a=2，∴该棱柱的体积为=6，故答案为6．【点评】本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（I）若函数f(x)在区间求实数的取值范围；（II）讨论函数f(x)的单调区间．参考答案：略19.已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域.

参考答案：解（1）由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，由点在图像上的故

又（2）当=，即时，取得最大值2；当即时，取得最小值-1，故的值域为[-1,2]

略20.某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D（D与O，C不重合），其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知，设建设的架空木栈道的总长为.（1）设，将y表示成的函数关系式，并写出的取值范围；（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短.参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）由，得，可得，进一步得到，，则函数解析式可求；（2）求出原函数的导函数，得到函数的单调性，可得当时，三段木栈道的总长度最短，由此得到观景台的位置．【详解】（1）由，则，由题意知：为的中垂线，可得，，则，得；（2），∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴当时，即时，三段木栈道的总长度最短．【点睛】本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题．21.已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；（1）若?=﹣1，求sin（α+）的值；（2）O为坐标原点，若|﹣|=，且α∈（0，π），求与的夹角．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）根据已知中A，B，C三点的坐标，我们易求出向量，的坐标，根据=﹣1，我们易得到一个三角方程，解方程即可得到sin（）的值．（2）根据向量减法的三角形法则，我们易将=转化为||=，结合（1）中结论，易构造出关于α的三角方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；∴=（cosα﹣3，sinα）；=（cosα，sinα﹣3）；∴=cos2α+sin2α﹣3（sinα+cosα）=1﹣3（sinα+cosα）=1﹣3sin（）=﹣1∴sin（）=（2）∵=||=||===∴cosα=﹣又∵α∈（0，π）∴α=，则与的夹角为﹣=．【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，同角三角函数关系，辅助角公式，三角函数给值求角，其中根据平面向量数量积运算公式，将问题转化为三角函数问题是解答问题的关键．22.(21)（本小题满分12分）

已知函数

(I)当1<a<4时，函数在上的最小值为