郑州轻工业大学概率论与数理统计课件-第20-24讲

第20讲

连续型随机变量及其概率密度徐雅静主讲郑州轻工业大学微课堂概念的引入什么是连续型随机变量?简单的说连续型随机变量就是取值能连续充满某个区间的变量.连续型随机变量及其概率密度微课堂概念的引入设离散型随机变量X

在[a,b]内等间隔的取n个值:连续型随机变量及其概率密度a

=

x1,

x2,

x3,

x4,

…,

xn

=

b.Pa=x1

x2x3s1s2s3…….snxn=bnP{a

X

b}i

1＝s

折线下面积之和！i画X的概率直方图小矩形的面积为Ｘ取对应点的概率微课堂若X为连续型随机变量,由于X在[a,b]内连续取无穷多个值,折线将变连续型随机变量及其概率密度概念的引入xPbf

(

x)Sbf

(

x

)dxa概率等于面积f

(

x)dx.x即X的分布函数

F

(x

)xx

}f

(

x)dx.据此给出下面的定义f

(

x)dx.a为一条光滑曲线

f(x),b且

P{a

X

b}

Sa…….ba可见,对于连续型随机变量X,存在

f(x) 0

,

使

P{a

X同理,对任意的实数x,有P{Xb}f}f

(

x)dx.则称X为连续型随机变量.其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.·

由微积分的知识易知:连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数;在F(x)的导数存在的点上有F

(x)

=

f(x).连续型随机变量及其概率密度2.连续型随机变量及其概率密度【定义】如果对于随机变量X

的分布函数F(x),存在非负函数f(x)使得对于任意实数x有xF

(

x

)

f

(t

)dt则称X为连续型随机变量.其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.·

概率密度的基本性质:(2)归一性:概率密度的以上两条基本性质是充分必要的.连续型随机变量及其概率密度(1)

非负性:

f(x)

0;-P

{-

X

}f

(

x)dx

1.2.连续型随机变量及其概率密度【定义】如果对于随机变量X

的分布函数F(x),存在非负函数f(x)使得对于任意实数x有xF

(

x

)

f

(t

)dt2.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度·

概率密度的基本性质:非负性:f(x)归一性:-0;f

(

x

)dx

1.概率密度的以上两条基本性质是充分必要的.为什么称f(x)为概率密度?若f(x)在点x连续,由于f(x)=F(lxi)m

F

(

xx

)

F

(

x

)x

0xP{

x

X

xxx}

.limx

02.连续型随机变量及其概率密度为什么称f(x)为概率密度?若f(x)在点x连续,由于f(x)=F当∆x>0很小时,连续型随机变量及其概率密度f(x)类似物理中的线密度.P{

x

X

x

x}

f

(

x)

x这表明,f(x)在x的值越大,X落在小区间(x,x+∆x)内的概率就越大.xxxy

f

(

x

)x(lxi)i)m

P{

x

X

xx}.x

0xP{

x

X

xx}f

(

x

)2.连续型随机变量及其概率密度对于连续型随机变量X,P{X

=a}=0(a为任意实数).事实上,设X的分布函数为F(x),{X

=

a}得

0

P{X

=

a}x

>0,则由{a

–

x

<

X

a},P{a

–

x

<

X a}

=

F(a)

–

F(a

–

x),注意到F(x)连续,当

x

0,

P{X

=

a}两边极限都是0,由夹逼准则,

即得P{X

=

a}

=

0.这表明:概率为0的事件不一定是不可能事件;类似地,概率为1的事件不一定是必然事件.连续型随机变量及其概率密度这给计算带来很大的方便.连续型随机变量及其概率密度2.连续型随机变量及其概率密度对于连续型随机变量X,P{X

=a}=0(a为任意实数).在事件“aP{

a

XX

b”中减去“X

=a”或“X

=b”,不影响其概率,即b

}

=

P{a

<

X

b}=

P{a

X

<

b}=

P{a

<

X

<

b}=

F(b)

–

F(a)ba

f

(

x)dxS.3.有关例题连续型随机变量及其概率密度f

(

x)dx1dxA111x

2A)2

(2A

1

/

., |

x

|

11x

20,

|

x

|

1试求:(1)系数A;(2)X落在(–1/2,1/2)内的概率;(3)X的分布函数F(x).解:(1)由概率密度的归一性知A【例1】设随机变量X的概率密度为

f

(x

)Aarcsin

x1

1A111xd2x13.有关例题试求:(1)系数A;(2)X落在(–1/2,1/2)内的概率;(3)X的分布函数F(x).解:(2)连续型随机变量及其概率密度1212XP1

1x2

dx1

/211/

2arcsin

x1

/

21, |

x

|

1f

(

x

)1x

20, |

x

|

11

/2, |

x

|

11x

20,

|

x

|

1A【例1】设随机变量X的概率密度为

f

(x

)

1（-61-

6

）

3

.3.有关例题连续型随机变量及其概率密度解:(3)因为F

(x)f

(

t

)dt当x

<-1时,F

(x

)x0dt

0;当

-1

x

<

1时,

dtx1t

2111xarcsin

t111

arcsin

x

21

;1F

(

x)

0

dt, |

x

|

11x

20,

|

x

|

1A【例1】设随机变量X的概率密度为f

(x

)试求:(3)X的分布函数F(x).x3.有关例题1时,连续型随机变量及其概率密度F

(

x

)1.x当

-1

x

<

1时,当

x

F

(

x)f

(t

)dt, |

x

|

11x

20,

|

x

|

1A解:(3)因为F

(x)【例1】设随机变量X的概率密度为f

(x

)试求:(3)X的分布函数F(x).xf

(

t

)dt当x

<-1时,F

(x

)x0dt

0;1

11

;x

dt

0dt11t

2111

arcs2in

x0dt13.有关例题连续型随机变量及其概率密度F

(

x

)1

arcsi2n2n

x1

,x11

x

1,x

10

,, |

x

|

11x

20,

|

x

|

1A【例1】设随机变量X的概率密度为f

(x

)试求:(3)X的分布函数F(x).解:(3)所以X的分布函数为3.有关例题【例2】设随机变量X的分布为F(x)

=

A

+

Barctan

x,<

x

<

+求(1)系数A和B;(2)X落在(–1,1)内的概率;(3)X的概率密度.解:

(1)

由F( )

=

0,

F(+)=1,

可知于是连续型随机变量及其概率密度2()

1A

1

,B12πx1

arctan

x

,A

B

2(

)

0A

BF

(

x

)

2

13.有关例题【例2】设随机变量X的分布为F(x)

=

A

+

Barctan

x,<

x

<

+求(1)系数A和B;(2)X落在(–1,1)内的概率;(3)X的概率密度.连续型随机变量及其概率密度1

arctan

121

，,1

arct2an(

1)x2

1

1(3)

f

(

x

)F

"(

x

)

1(1

x

2

)x解:(1)F

(

x

)

2

1 1

arctan

x

,(2)

P{–1

<

X

<

1}

=

F(1)

–

F(–1)微课堂2.概率密度f(x)的性质:连续型随机变量及其概率密度小结1.连续型随机变量的F(x)与f(x)x(x)存在的点）关系:F

(x

)f

(

x)

Ff

(

x)dx(在x)F(1)非负性f

(x

)0; (2)归一性f

(

x)dx1abf

(

x)dxF

(b)F

(a).3.P{计a

算概X

率b:}微课堂1.设随机变量X具有概率密度试求:(1)系数A;(2)X落在区间(0.3,0.7)内的概率;(3)X的概率密度.连续型随机变量及其概率密度练习题0，

其它.C

(

9

x

2

),3

x

3,1,0,2f

(

x

)(1)求常数C;(2)求P{X

<0};(3)求X的分布函数.2.设连续随机变量的分布函数为x

00

x

1x

1F

(

x

)Ax,2021年5月教学设计:主讲老师:徐雅静

汪远征

徐雅静

徐姗

郑州轻工业大学艺术设计:制作单位:制作时间:连续型随机变量及其概率密度第21讲

均匀分布与指数分布徐雅静主讲微课堂回顾均匀分布与指数分布1.连续型随机变量F(x)与f(x)关系xF

(

x

)

f

(

x)dxF

(

x)

f

(

x)

(在F

(

x)存在的点）2.概率密度f(x)的性质(1)非负性f

(x

)0; (2)归一性f

(

x)dx1abf

(

x)dxF

(b)F

(a).3.P{计a

算概X

率b}1.均匀分布【定义1】如果连续型随机变量X具有概率密度则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X

~

U(a,b).均匀分布的均匀性体现在哪里?均匀分布与指数分布1f

(

x

),

a

x

bb

a其它0,1.均匀分布X

~

U(a,

b)均匀分布落在等长小区内的概率相等！均匀分布与指数分布(若(若x1

,x2

)b

ab

ax2x1lx2abx1与小区间的

l.长度成正比1(

a

,

b)P{

x1

X

2x

}x

2

dx1

b

ax1f

(

x

),

a

x

bb

a其它0,均匀分布的均匀性体现在哪里?l1.均匀分布X

~

U(a,

b)·

均匀分布的分布函数为:均匀分布与指数分布b

a0,x

aF

(

x

)a

x

b

x

a

,1,

xb1f

(

x

),

a

x

bb

a其它0,1.均匀分布如果只保留整数,舍入误差均匀分布应用很广范,如:·四舍五入的舍入误差服从均匀分布.服从均匀分布U(–0.5,0.5).·假定班车每隔a分钟发出一辆,乘客随机到达车站,候车时间服从区间均匀分布(0,a).……均匀分布与指数分布1.均匀分布P{10

<

X

<

15}

+

P{25

<

X

<

30}均匀分布与指数分布7：0

07：157：1072：2：57：3

05【例1】某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,如果乘客在7:00到7:30之间随机到达此站,试求他候车时间少于5分钟的概率.解:设X为乘客到车站的时间(单位:分钟),则

X

~

U(0,

30).1

/

30,

0

x

300,

其它f

(

x

)5候车不超过5分钟的时间段dx

dx25

3010

301

1153031.2.指数分布则称X服从参数为的指数分布,记为X

~

Exp(

).均匀分布与指数分布10,(

0)x

0f

(

x

)【定义2】如果随机变量X概率密度为xe

,

x

02.指数分布则称X服从参数为的指数分布,记为X

~

Exp(

).指数分布常用作各种“寿命”分布的近似分布均匀分布与指数分布10,(

0)x

0f

(

x

)【定义2】如果随机变量X概率密度为xe

,

x

02.指数分布则称X服从参数为的指数分布,记为X

~

Exp(

).例如:电子元器件的寿命;随机服务系统中的服务时间;……均匀分布与指数分布10,(

0)x

0f

(

x

)【定义2】如果随机变量X概率密度为xe

,

x

02.指数分布则称X服从参数为

的指数分布,

记为X

~

Exp(

).·

指数分布的分布函数为均匀分布与指数分布F

(

x

)x-f

(t

)dt0x

1etdt,

x0t

x-

e,x00,x00,x001(

0)0,x

0f

(

x

)【定义2】如果随机变量X概率密度为xe

,

x

02.指数分布则称X服从参数为

的指数分布,

记为X

~

Exp(

).均匀分布与指数分布F

(

x

)-指数分布的分布函数为t

x0,0e0e,

x

0x

010,x,e

x

0x

01(

0)0,x

0f

(

x

)【定义2】如果随机变量X概率密度为xe

,

x

02.指数分布均匀分布与指数分布00F

(

x

)1

e0,

x则称X服从参数为

的指数分布,

记为X

~

Exp(

).指数分布的分布函数为x,

x1(

0)0,x

0f

(

x

)【定义2】如果随机变量X概率密度为xe

,

x

0),则对任意s

>0,t

>0,2.指数分布【定理】(指数分布的无记忆性)设X

~

Exp(有

P{X

>s

+t

|

X

>s}=P{X

>t}.证:因为X

~

Exp(θ),所以,当x

>0时,P{X

>x}=1–F(x)=1–(1–e

–x/θ

)=e

–x/θ,于是均匀分布与指数分布P

{

X

s

t

|

X

s

}P{(

X

s

t

) (

X

s)}

P{

X

s

t}eP{

X

s}(

s

t

)

/es

/P{

X

s}e

t

/

P{

X

t

}.F

(

x

)1

e0,x

/

x,

0x

0.2.指数分布方法一:X的概率密度为均匀分布与指数分布e

1x

0

，x

00.368.

1e1e30,f

(

x

)【例2】假定自动取款机对每位顾客的服务时间（单位:分钟）服从θ

=3的指数分布.如果有一顾客恰好在你前面走到空闲的取款机,求(1)你至少等候3分钟的概率;(2)你等候时间在3分钟至6分钟之间的概率.解:以X表示对这位顾客的服务时间,则X

~

Exp(3),x3

,(1)P{

X

3}31e3x33x3dx-e2.指数分布方法一:X的概率密度为均匀分布与指数分布20.233.x

0

，x

0e

1

-

ef

(

x

)【例2】假定自动取款机对每位顾客的服务时间（单位:分钟）服从θ

=3的指数分布.如果有一顾客恰好在你前面走到空闲的取款机,求(1)你至少等候3分钟的概率;(2)你等候时间在3分钟至6分钟之间的概率.解:以X表示对这位顾客的服务时间,则X

~

Exp(3),x3

,(2)

P{3

X6}

6

1

e3

33

1e1e30,x

6x3

dx

-e

32.指数分布【例2】假定自动取款机对每位顾客的服务时间（单位:分钟）服从θ

=3的指数分布.如果有一顾客恰好在你前面走到空闲的取款机,求(1)你至少等候3分钟的概率;(2)你等候时间在3分钟至6分钟之间的概率.解:以X表示对这位顾客的服务时间,方法二:X的分布函数均匀分布与指数分布，0F

(

x

)1

e0,x

/

3x3x,x

0(1)

P

{

X3}1

F

(3)1

(1

e3

/

3)

e10.368.2.指数分布【例2】假定自动取款机对每位顾客的服务时间（单位:分钟）服从θ

=3的指数分布.如果有一顾客恰好在你前面走到空闲的取款机,求(1)你至少等候3分钟的概率;(2)你等候时间在3分钟至6分钟之间的概率.解:以X表示对这位顾客的服务时间,方法二:X的分布函数均匀分布与指数分布F

(6)6

/

3)

(1

e3

/

3)(2)

P{3

X

6}e1e2F

(3)

(1

e0.233.，0F

(

x

)1

e0,x

/

3x3x,x

02.指数分布【例2】假定自动取款机对每位顾客的服务时间（单位:分钟）服从θ

=3的指数分布.如果有一顾客恰好在你前面走到空闲的取款机,求(1)你至少等候3分钟的概率;(2)你等候时间在3分钟至6分钟之间的概率.如果你到达时取款机正在为一名顾客服务,同时没有其他人在排队等候,上面答案变吗?·

答案不变.均匀分布与指数分布微课堂均匀分布与指数分布小结常用连续型随机变量均匀分布:X

~

U(a,b),10，f

(

x

)x

0.f

(

x

)

1e0,1,x0,x

00.x0，F

(

x

)x

/

,1

exbb,

a

xb

a其它.0,b,

F

(

x

)

1,指数分布:

X

~

Exp(

), >

0,x

axa

ax,a

x

b微课堂设随机变量X在(2,5)上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率.设某人电话通话时间X（分钟）服从指数分布,概率密度为求她的通话时间在10

~

20分钟之间的概率;若她已打了10分钟,求她继续通话超过15分钟的概率.均匀分布与指数分布练习题(

0)0,x

0.0,f

(

x

)151

e

x

/

15

,x2021年5月教学设计:主讲老师:徐雅静

汪远征

徐雅静

徐姗

郑州轻工业大学艺术设计:制作单位:制作时间:均匀分布与指数分布练习题解答1.设随机变量X在(2,5)上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率解:因为随机变量X在(2,5)上服从均匀分布,所以X的概率密度为均匀分布与指数分布事件“对X的观测值大于03,”的概其概其率它率它为

1

,2x

5f

(

x

)33P{

X

3}1

dx2

.53

3练习题解答1.设随机变量X在(2,5)上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率解:事件“对X的观测值大于3”的概率为于是均匀分布与指数分布P{

X

3}3

2设Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数,则2Y

~

B

3,

,3223P{Y

2}C

(3323C

3()3

)2

1320.27练习题解答2.设某人电话通话时间X（分钟）服从指数分布,概率密度为求她的通话时间在10

~

20分钟之间的概率若她已打了10分钟,求她继续通话超过15分钟的概率.均匀分布与指数分布x

0.0,f

(

x

)

1

e

x

/

15

,x150,20

110

15e4e3

.解:(1)P{10

X

20}x15

dx2e3115(2)P

{

X

25

|

X

10}P{

X

151}5

ee1

.x15

dx第22讲

正态分布徐雅静主讲微课堂你可能听说过声名显赫的正态分布,也可能见过这些优美漂亮的钟型曲线.你知道它的来历、知道它超凡的应用吗？正态分布前言1222(

x

)2N

(

,2),f

(

x

)

e1.正态分布的背景·大约18世纪中叶, 英国数学家棣莫佛和法国数学家拉普拉斯发现

了一个近似公式——棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理:·

这一公式被认为是正态分布的首次露面.正态分布拉普拉斯

(Laplace,1749—1827)法国数

学家和物理学家,法国科学院院士。棣莫弗(De

Moivre,1667-1754)法国–英国数学家。1et2xd2

txn

p(1

p)

2nlnlim

Pnnp1.正态分布的背景正态分布·十九世纪前叶,高斯(Gass,德国)对正态分布加以推广,对于正态分布历史地位的确立起到了决定性作用.·

正态分布通常称为高斯分布.高斯(Gauss,1777－1855)德国著名数学

家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一,并享有“数学王子”之称,以他名字“高斯”命名的成果达110个,属数学家中之最。1.正态分布的背景·十九世纪前叶,高斯(Gass,德国)对正态分布加以推广,对于正态分布历史地位的确立起到了决定性作用.·

正态分布通常称为高斯分布.正态分布德国10马克纸币德国钢镚1.正态分布的背景自然界和人类社会中很多现象都可以用正态分布来研究.人的生理特征尺寸和指标;如:身高、体重、血压、血小板…正常情况下生产的产品尺寸;如:长度、重量、高度…正态分布1.正态分布的背景自然界和人类社会中很多现象都可以用正态分布来研究.·

各种统计数据:如:某市一昼夜的耗电量、企业生产的各种数据、国民经济的各种指标…正态分布1.正态分布的背景自然界和人类社会中很多现象都可以用正态分布来研究.·

各种误差:如:机械零件加工的误差、各种测量误差...·

试验次数很大的二项分布、泊松分布;…..正态分布2.正态分布的定义【定义】如果随机变量

X

的概率密度为2

(>0)为参数,则称X

服从参数为,

2的正态分布其中

,记为X N(μ,

σ2).正态分布N(μ,σ2)的分布函数为正态分布1xF

(

x

)

e

22(

t

)2dt

.2exf

(

x

)2(

x2)2,12优美漂亮的钟形曲线不好积分,软件计算最美数学学公式2.正态分布的定义f(x)的图形具有以下的特点:曲线关于x

=

对称.当x

=

时f(x)取到最大值(3)

x

=是曲线的拐点,曲线以x轴为渐进线.正态分布12f

(

)

.,x2f

(

x

)

e22(

x

)122.正态分布的定义f(x)的图形具有以下的性质:(4)

如果固定 ,

改变

的值,

则图形沿着x轴平移,

其形状不改变.称

为位置参数.正态分布,

x2f

(

x

)

e22(

x

)122.正态分布的定义f(x)的图形具有以下的性质:的值,

则 愈小,

图形变得愈尖,

X

落在

附(5)

如果固定 ,

改变的概率越大.称

为尺度参数.正态分布,

x2f

(

x

)

e22(

x

)12x3.标准正态分布对于X N(μ,

σ2),

当

μ

=

0,

σ

=

1时,正态分布1(x)和

(x)称为标准正态分布,记作X

~

N(0,1).N(0,1)的概率密度和分布函数分别记为x

22

,(

x

)

e21x

t

2e

2

dt

.Φ(

x

)2,x2f

(

x

)

e22(

x)12y3.标准正态分布对于X N(μ,

σ2),

当

μ

=

0,

σ

=

1时,称为标准正态分布,记作X

~

N(0,1).N(0,

1)的概率密度和分布函数分别记为

(x)和

(x)易知 (–x)

=

1

–

(x).(x)的值可查表,或调用相关软件的函数计算.正态分布12(

x

)1xx

2

t

22

,e

2

dt

.e Φ(

x

)2-

xx,x2f

(

x

)

e22(

x)12(

x

)1-

(x)=？1-P{X≤x}(-x)=P{X≤

？x-}x}-3.标准正态分布正态分布对于X

N(1,

0),x

22(

x

)1

2

,ext

2e

2

dt

.Φ(

x

)12易知 (–x)

=

1

–

(x).(x)的值可查表,或调用相关软件的函数计算.对任意x

≥0,有P{|

X

|

x

}P

{

x

Xx

}

Φ(

x

)

Φ(

x

)2Φ(

x

)3.标准正态分布正态分布易知

(–x)

=

1

–

(x).(x)的值可查表,或调用相关软件的函数计算.·

对任意x

≥0,有P{|

X

|

x

} 2Φ(

x

)

1.对于X

N(1,

0),x

22(

x

)1

2

,ext

2e

2

dt

.Φ(

x

)12正态分布=NORM.S.DIST(-1.52,TRUE)P{|

X

|

x

} 2Φ(

x

)

11

Φ(1.52)0.0643.1(3)

P{|

X

|

<

1.52}

=

2Φ(1.52)2

0.9357

10.8714.标准正态分布【例1】设X

~

N(0,1),计算下列概=N率调O.RM用M用.ESx.cDeIlS函T(数1.52,TRUE)P{X

<1.52}=Φ(1.52)0.9357.调用Excel函数(2)

P{X

<

–1.52}

=

Φ(1.52)微课堂小结正态分布N

(0，1)微课堂设X

~

N(0,1),查表或用Excel等软件计算下列概率.并解释这些概率说明什么.P{X

<

0}P{|

X

|

<

1}P{|

X

|

<

2}P{|

X

|

<

3}正态分布练习题2021年5月教学设计:主讲老师:徐雅静

汪远征

徐雅静

徐姗

郑州轻工业大学艺术设计:制作单位:制作时间:正态分布第23讲随机变量函数的分布徐雅静主讲微课堂应用中,常常会用到随机变量函数.显然,随机变量的函数也是随机变量,也需要研究它的概率分布.例如:随机变量函数的分布前言国际上流行的标准体重W

=H

–105,等等已知随机变量X的概率分布,如何求其函数Y

=g(X)的概率分布?分子运动的动能E2

1

mV

2

;1.离散型随机变量函数的分布随机变量函数的分布设X是离散型随机变量,X的分布律为则Y

=g(X)也是一个离散型随机变量.如何求出X的函数Y

=g(X)的分布律呢?容易得到Y

=……g(X)

g(x1

)

g(x2

)pi

p1

p2…png(xn

)…Xx1x2…xn…pip1p2…pn…1.离散型随机变量函数的分布如何求出X的函数Y

=g(X)的概率分布?容易得到当g(x1),g(x2),…,g(xn)中有某些值相等时,把它们分别合并,并应的概率相加即得Y的分布律.随机变量函数的分布Y

=

g(X)g(x1

)

g(x2

)…g(xn

)…pip1

p2…pn…1.离散型随机变量函数的分布【例1】已知随机变量X的分布律如下:求Y

=X

2

+X,Z

=X

2

+1的分布律．解:由X的分布律可得如下表格随机变量函数的分布X

–

2

–

1

0

1

2pi

0.2

0.1 0.1

0.3

0.3pi0.20.10.10.30.3X–

2–

1012Y=X2

+

X20026Z=X2

+

1521251.离散型随机变量函数的分布【例1】已知随机变量X的分布律如下,求Y

=X

2

+X,Z

=X

2

+1的分布律．解:由X的分布律可得如下表格由此表格,得Y,Z的分布律分别为随机变量函数的分布pi0.20.10.10.30.3X–

2–

1012Y=X2

+

X20026Z=X2

+

152125随机变量函数的分布2.连续型随机变量函数的分布设X为连续型随机变量,已知X的概率分布.如何求出X的函数Y

=g(X)的概率分布?分布函数法:(1)求Y的分布函数FY(y);FY(y)

=

P{Y

y}

P{

g

(

X

)

y

}P{

X

D}这里{X

D}是与{g(X)

y}

等价的事件;(2)FY(y)对y求导,得到Y的概率密度fY(y)．随机变量函数的分布3).(

y

1

)

d

(

y

1

)1

yf

133

dy3X

(FX

((

y1

)/

3).(2)FY(y)对y求导得Y的概率密度FY

(

yX)fY

(

y

)f0

x

1,0

2

x其,他.解:(1)求Y的分布函数FY(y)FY

(

y

)

P{Y

y

}P

{

3

X

1

y

}P{

X

(

y

1)

/

3}2.连续型随机变量函数的分布【例2】设随机变量X的概率密度为

fX

(x

)Y

=3X

–1,求Y的概率密度.随机变量函数的分布)1y

13fY

(

y

)X33其他.f

(3

0，3

,0y

11，3().1

)

d

(

y1

)

1

yf

133

dy31

2(

y

1)Xf

(

y

)Y

YF

(

yX)(

y将Xf的f的概率密度代入得0

x

1,0

2

x其,他.解:(1)求Y的分布函数FY(y)(2)FY(y)对y求导得Y的概率密度2.连续型随机变量函数的分布【例2】设随机变量X的概率密度为

fX

(x

)Y

=3X

–1,求Y的概率密度.随机变量函数的分布f

(

y

)1f

()Y3X33其他.3

30，011，1

2(

y

1)

,

yy

1,1

y

2，其他.2(

y

1)90，0

x

1,0

2

x其,他.解:(1)求Y的分布函数FY(y)(2)FY(y)对y求导得Y的概率密度,将X的概率密度代入得2.连续型随机变量函数的分布【例2】设随机变量X的概率密度为

fX

(x

)Y

=3X

–1,求Y的概率密度.2.连续型随机变量函数的分布【例3】设随机变量X具有概率密度fX(x),-∞<x

<+∞,求Y

=X2的概率密度．解:(1)求Y的分布函数FY(y)所以随机变量函数的分布当y

≤0时,FY(y)=0,当y

>0时,FY

(y)P{y

}FX

(

y

)

FX

(

y

)y

0,y

0.F

(

y

)F

(

y

)y

XFX

(

y

),0XYF

Y(

y

)

P{Y

y}

P{

X

2

y}.(2)FY(y)对y求导得Y的概率密度随机变量函数的分布2.连续型随机变量函数的分布【例3】设随机变量X具有概率密度fX(x),-∞<x

<+∞,求Y

=X2的概率密度．解:(1)求Y的分布函数FY(y)0,0.F

(

y

)F

(

y

)

FX

(

y

)y,X0

yY0,(

F

y(

0,y

0.X(F

(

y

)X

)y

))

,Yf

(

y

)2.连续型随机变量函数的分布【例3】设随机变量X具有概率密度fX(x),-∞<x

<+∞,求Y

=X2的概率密度．解:(1)求Y的分布函数FY(y)(2)FY(y)对y求导得Y的概率密度随机变量函数的分布1y

0.[

f

(

y

)

(

y

)]y,

0,2

yf

0,XXYf

(

y

)0,(

F

y(

0,y

0.X(F

(

y

)X

)y

))

,2.连续型随机变量函数的分布【例3】设随机变量X具有概率密度fX(x),-∞<x

<+∞,求Y

=X2的概率密度．解:(1)求Y的分布函数FY(y)(2)FY(y)对y求导得Y的概率密度随机变量函数的分布y

0,y

0.fY(

y

)y2

0,

1

[

fX(

y

)

X

f(

y

)],2.连续型随机变量函数的分布【例3】设随机变量X具有概率密度fX(x),-∞<x

<+∞,求Y

=X2的概率密度．随机变量函数的分布0,y

0,y

0.(

y

)],(

y

)21

y

[

fX

(

y

)

X

ffY称Y

服从自由度为1的

2分布1x

22

,2若X

~

N(0,1),其概率密度为(x

)

e可得Y

=X

2的概率密度为1y

0,y

0.1yy

2

e

2

,Yf

(

y

)

20微课堂已知X的概率分布,求其函数Y

=g(X)的概率分布:1.离散随机变量函数的分布小结…p22.连续型（分布函数法）已知fX(y)或FX(y)求分布函数FY

(y);对y求导得概率密度X

f

(

x)型Xx1

x2

…pxn

…p

p

…Y

=

g(iX)pg(x1

)

21

…pign(n(px

)

…

…

p

g(x……)12

n

nn微课堂2.设X～N(0,1),求Y

=eX

及的概率密度．2.设X～U(0,1),试求Y

=1–X的概率密度随机变量函数的分布练习题1.已知离散随机变量的分布律为X1-2

-0

1

31/15试求Y

=pi2

与

1/5

1/6

1/51X1/30Y

=

|X|的分布律．2021年5月教学设计:主讲老师:徐雅静

汪远征

徐雅静

徐姗

郑州轻工业大学艺术设计:制作单位:制作时间:随机变量函数的分布第24讲正态分布的标准化徐雅静主讲微课堂如何求正态分布的函数Y

=g(X)的概率分布?分布函数法:求Y的分布函数FY(y)=P{Y

≤y};FY(y)对y求导,得到Y的概率密度fY(y).正态分布的标准化回顾正态分布X N(μ,

σ2),

概率密度为x1f

(

x

)

e22(

x)2,21.正态分布的重要性质)2),用分布函数法,可以证明正态分布的重要性质.【定理】设X

~

N(μ,σ2),则(1)

Y

=

aX

+

b

~

N

(a

+

b,

(a其中a( 0),

b为常数;正态分布的标准化(2)

YX

~

N

(0,1).1.正态分布的重要性质正态分布的标准化用分布函数法证明正态分布的重要性质.【定理】设X

~

N(μ,σ2),则+

b,

(a)2),其中a((1)Y

=aX

+b

~

N

(a0),b为常数;证(1)

①求Y的分布函数FY(y)aF(

yb

),FY

(

y

)当a

>0时,FYP{Y

y

}

P{aX

b

y}.(

y

)

P{

X

a

y

bX

}(

y

)aP{

XX

yab

}1

F(yb

),Y当a

<0时,F1.正态分布的重要性质+

b,

(a)2),其中a(【定理】设X

~

N(μ,σ2),则(1)Y

=aX

+b

~

N

(a0),b为常数;证(1)

①求Y的分布函数FY(y)②FY(y)对y求导得Y的概率密度正态分布的标准化X当a

>

0时,

FY

(

y

)

F(

yb

),Y当a

<0时,F

(y

)1

FXaay

(

)b,Yb

),X1X1(

yf

a1y

b当a

>0时,f

(y

)a当a

<0时,fY

(y

)a

faX

().Yf

(

y)1|

a

|f

X

(

a

).y

b1