数学人教A版高中选择性必修一（2019新编）3-1-2 椭圆的简单几何性质（教案）

椭圆的性质要点一、椭圆两个标准方程几何性质的比较椭圆与的区别和联系：标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长长轴长=，短轴长=离心率准线方程左右焦半径，，要点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。要点二、椭圆的简单几何性质椭圆的离心率离心率：椭圆焦距与长轴长之比：.（）当越接近1时，c越接近a，椭圆越扁；当越接近0时，c越接近0，椭圆越接近圆；当且仅当a=b时，图形为圆，方程为如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F，设椭圆的离心率为e，则①e=EQ\f(｜PF｜,｜PD｜)；②e=EQ\f(｜QF｜,｜BF｜)；③e=EQ\f(｜AO｜,｜BO｜)；④e=EQ\f(｜AF｜,｜BA｜)；⑤e=EQ\f(｜FO｜,｜AO｜)评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④∵｜AO｜=a，｜OF｜=c，∴有⑤；∵｜AO｜=a，｜BO｜=EQ\f(a2,c)，∴有③

要点诠释：1.椭圆焦半径：椭圆焦点在x轴上的焦半径：（左焦半径），（右焦半径），是离心率焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：（其中分别是椭圆的下上焦点）2.与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：3.有相同离心率：（，焦点在x轴上）或（，焦点在x轴上）4.椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1），，；（2），，；（3）,，；要点三、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦直线与椭圆问题（韦达定理的运用）（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：弦长弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；（2）结论1：已知弦AB是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一条弦，中点M坐标为(x0，y0)，则AB的斜率为－eq\f(b2x0,a2y0)运用点差法求AB的斜率，设A(x1，y1)，B(x2，y2)；A、B都在椭圆上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(1,2),a2)＋\f(y\o\al(1,2),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得：eq\f(x\o\al(1,2)－x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(1,2)－y\o\al(2,2),b2)＝0，∴eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＋eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)＝0，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq\f(b2x0,a2y0)，故kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)结论2：弦AB的斜率与弦中心M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值：结论3：若C、D是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点，P为椭圆上不同于C、D的点，则（3）椭圆切线的求法1）切点（）已知时，切线切线2）切线斜率k已知时，切线切线（4）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，．求：的面积（用、、表示）．解：设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：·①由椭圆定义知：②，则得故【典型例题】类型一：椭圆的简单几何性质例1.已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程。【解析】椭圆的长轴长为6，，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c，，，所以c=2，b2=32－22=5，故椭圆的方程为或。举一反三：【变式1】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为______【答案】。类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围例2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。【解析】（1）由题意得，即，解得。（2）由题意得，解得，故离心率。举一反三：【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）【答案】D【变式2】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为【答案】例3.设M为椭圆上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。【解析】在△MF1F2中，由正弦定理得：，即，∴，∴。举一反三：【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于【答案】【变式2】已知椭圆C：的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A,B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，则C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示，在ΔAFB中，|AB|=10，|BF|=8，由余弦定理得：，设为椭圆的右焦点，连接根据对称性可得四边形是矩形，，，解得a=7,c=5.例4．已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。【答案】

举一反三：【变式1】已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。【答案】由已知，，所以，即，不等式两边同除可得，解不等式得或.由椭圆的离心率，所以所求椭圆离心率.【变式2】已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】选B，∵点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（－c，0），F2（c，0），，，∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴，整理，得b2＜2ac，∴a2－c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e－1＞0，解得，或，（舍），∵0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是。【变式3】已知F1（-c,0）,F2（c,0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，因此椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.答案：C解析：设P（m,n）,,①，把P（m,n）代入椭圆得②，把①代入②得，，又，故.类型三：直线与椭圆的位置关系例6.已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得：．由韦达定理得．∵是弦中点，∴．故得．所以所求直线方程为．解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得：，①－②得．⑤将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．所求直线方程为．【巩固练习】选择题1．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴为12，离心率为，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．1．答案：D2．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（）A．（0，5）B．（0，1）C．[1，5]D．[1，5）2．答案：D解析：直线y=kx+1过定点（0，1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，∴，得m≥1，∴m的取值范围是1≤m＜5。3．已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．答案：A解析：由题意可设F（―c，0），A（―a，0），B（a，0），令x=―c，代入椭圆方程可得，可得，设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=―c，可得M（―c，k（a―c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得，由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为，化简可得，即为a=3c，可得。4．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A．B．C．D．4．答案：D解析：设Q，由题意得P、Q两点间的最大距离等于圆心(0,6)到椭圆上Q的最大距离再加上圆的半径，而圆心(0,6)到椭圆上Q点的距离.所以P、Q两点间的最大距离等于二、填空题5．椭圆的离心率为，则m=________.5．（1）若0＜m＜4则a2=4，b2=m，∴，∴，得m=3（2）m＞4，则b2=4，a2=m，∴，∴，得；综上，m=3或6．若圆x2+y2=a2（a＞0）与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是________.6．答案：[2，3]解析：圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a的取值范围为[2，3]7．已知椭圆C的焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为7．解析：由题设椭圆C的标准方程为，由已知得∴，，∴椭圆的方程为8.在椭圆上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若，则的最小值为________．8.解析：M在椭圆，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则，由K（2，0），可得：当时，取得最小值三、解答题9．已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值.9.解析：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．又，所以，适合．故．10.椭圆(a>b>0)的两焦点为F1（0，-c），F2（0，c）(c>0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-，求椭圆的方程.10．解析：∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a-c=2-.又e==，∴a=2.故b=1.∴椭圆的方程为+x2=1.11．已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．11.解析：利用直线与椭圆相交的弦长公式．因为，，所以．又因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为：．由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，，从而．12．已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，．求：的面积（用、、表示）．12.解析：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：·．①由椭圆定义知：②则得：．故．13．设椭圆E的方程为，