数学人教A版高中选择性必修一（2019新编）2-3-1直线的交点坐标与距离公式（教案）

直线的交点坐标与距离公式要点一、直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.要点二、过两条直线交点的直线系方程过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．要点三、距离公式两点间的距离公式为：.要点四、点到直线的距离公式点到直线的距离为：.要点五、两平行线间的距离两平行线间的距离为：.【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1．是否存在实数a，使三条直线，，能围成一个三角形？请说明理由．【解析】要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点．（1）当时，，即a=±1．（2）当时，―a=―1，即a=1．（3）当时，，即a=1．（4）当与、相交于同一点时，由得交点（―1―a，1），将其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1．故当a≠1且a≠－1且a≠―2时，这三条直线能围成一个三角形．举一反三：【变式1】直线5x+4y―2m―1=0与直线2x+3y―m=0的交点在第四象限，求m的取值范围．【解析】解得，所以，解得．类型二、过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．【解析】设所求的直线为，由方程组得．∵直线和直线3x+y―1=0平行，∴直线的斜率k=―3．∴根据点斜式有，即所求直线方程为15x+5y+16=0．举一反三：【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程组，得两直线的交点为（2，―3）．将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3y+11)=0．由于m取值的任意性，有，解得．所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．类型三、对称问题例3．已知直线1：2x+y―4=0，求1关于直线：3x+4y―1=0对称的直线2的方程．【解析】解法一：由，得直线1与的交点为P（3，―2），显然P也在直线2上．在直线1上取一点A（2，0），又设点A关于直线的对称点为B（x0，y0），则，解得．故由两点式可求得直线2的方程为2x+11y+16=0．解法二：设直线2上一动点M（x，y）关于直线的对称点为，则：，解得．显然在1上，故，即2x+11y+16=0，这便是所求的直线2的方程．举一反三：【变式1】点P（―1，1）关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1），则a、b的值依次是（）A．―2，2B．2，―2C．D．【答案】B【解析】点P（―1，1），关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1），∴PQ的中点为（1，0），．∴，解得：a=2，b=－2．例4．在直线：3x―y―1=0上求一点P，使得：（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．【解析】（1）如图1所示，设点B关于的对称点B＇的坐标为（a，b），，即，∴a+3b－12=0．①又由于BB＇的中点坐标为，且在直线上，∴，即3a―b―6=0．②解①②得a=3，b=3，∴B＇（3，3）．于是直线AB＇的方程为，即2x+y－9=0．解由的直线方程与AB＇的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即与AB＇的交点坐标为（2，5），所以P（2，5）．（2）如图2所示，设C关于的对称点为C＇，求出C＇的坐标为．∴AC＇所在直线的方程为19x+17y―93=0．AC＇和交点坐标为．故P点坐标为．举一反三：【变式1】已知点M（3，5），在直线：x―2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小．【解析】由点及直线，可求得点关于的对称点．同样容易求得点关于轴的对称点．据及两点可得到直线的方程为，解方程组，得交点，令，得到与轴的交点．类型四、两点间的距离例5．已知直线过点P（3，1），且被两平行直线1：x+y+1=0，2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线的方程．【解析】设直线与直线1、2分别交于点A（x1，y1）、B（x2、y2），则，两方程相减，得(x1―x2)+(y1―y2)=5，①由已知及两点间距离公式，得(x1―x2)2+(y1―y2)2=25，②由①②解得或，又点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线上，因此直线的斜率为0或不存在，又直线过点P（3，1），所以直线的方程为y=1或x=3．举一反三：【变式1】如图，直线上有两点A、B，A点和B点的横坐标分别为x1，x2，直线方程为y=kx+b，求A、B两点的距离．【答案】例6．已知函数，求的最小值，并求取得最小值时x的值．【解析】将函数表达式变形为：，可以看作P（x，0）到点A（1，1）与到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小．∵．它表示点P（x，0）到点A（1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．由下图可知，可转化为求两点A＇（1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数的最小值．∴的最小值为．再由直线方程的两点式得的方程为3x―y―4=0．令y=0，得．∴当时，的最小值为．举一反三：【变式1】试求的最小值．【解析】，它表示点P（x，0）到点A（―1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（―1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．可转化为求两点A＇（―1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数的最小值．∴的最小值为．类型五、点到直线的距离例7．已知直线：和直线：相交于点P（m∈R）．（1）用m表示直线与的交点P的坐标；（2）当m为何值时，点P到直线x+y+3=0的距离最短？并求出最短距离．【解析】（1）解方程组，得x=3m，，∴直线与的交点P的坐标为．（2）设点P到直线x+y+3=0的距离为d，，∴当m=―1时，即P点坐标为（―3，2）时，点P到直线x+y+3=0的距离最短，最短距离为．举一反三：【变式1】过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线的方程．【答案】【解析】法一：直线过AB的中点（1，1），所以的方程为．直线，则设的方程为则，所以的方程为：法二：由题意知直线的斜率存在，设的方程为，则A、B两点到直线的距离解得：所以的方程为：和【变式2】已知动点P（x，y）满足方程xy=1（x＞0）．（1）求动点P到直线距离的最小值；（2）设定点A（a，a），若点P，A之间的最短距离为，求满足条件的实数a的取值．【解析】（1）由点到直线的距离公式可得：，当且仅当时距离取得最小值．（2）设点，则，设，则，设f（t）=(t―a)2+a2―2（t≥2），对称轴为t=a分两种情况：（1）a≤2时，f（t）在区间[2，+∞）上是单调增函数，故t=2时，f（t）取最小值∴，∴a2―2a―3=0，∴a=―1（a=3舍）．（2）a＞2时，∵f（t）在区间[2，a]上是单调减，在区间[a，+∞）上是单调增，∴t=a时，f（t）取最小值，∴，∴（舍）．综上所述，a=―1或．类型六、两平行直线间的距离例8．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（―3，―1），并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．（1）求d的变化范围；（2）当d取最大值时，求两条直线的方程．【解析】（1）①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=－3，则它们之间的距离为9．②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为1：y―2=k(x―6)，2：y+1=k(x+3)，即1：kx―y―6k+2=0，2：kx―y+3k―1=0．∴，即(81―d2)k2―54k+9―d2=0．∵k∈R，且d≠0，d＞0，∴Δ=542―4(81―d2)(9―d2)≥0，即且d≠9．综合①②可知，所求的d的变化范围为．（2）由右图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB．而，∴所求的直线的斜率为―3．故所求的直线方程分别为y―2=―3(x―6)和y+1=―3(x+3)，即3x+y―20=0和3x+y+10=0．举一反三：【变式1】已知直线1：2x―y+a=0（a＞0），直线2：―4x+2y+1=0和直线3：x+y―1=0，且1与2的距离是．（1）求a的值；（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点