数学人教A版高中必修一（2019新编）3-2-1 单调性与最大（小）值-最值（第2课时）（教学课件）

第3章函数的概念与性质人教A版2019必修第一册3.2.1单调性与最大（小）值—最值（第2课时）01图像法求函数最值02利用函数的单调性求最值目录03函数单调性的实际应用04二次函数最值05恒成立（存在有解）与最值问题学习目标1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.（数学抽象）2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值.（数学运算）3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.（数学建模）下列两个函数的图象：图1ox0xMyyxox0图2M观察

观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？f(x)<Mƒ(0)=1O122、存在0，使得ƒ(0)=1.1、对任意的都有ƒ(x)≤1.1是此函数的最大值新知引入：函数的最大值与最小值函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0，0)即对于任意的x∈R，都有f(x)≥

f(0)当一个函数f(x)的图象有最低点时，就说函数f(x)有最小值.最小值新知学习：函数的最大值与最小值函数最大值最小值条件设函数y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足：

∀x∈I，都有f(x)≤M;∃x0∈I，使得f(x0)=M.

∀x∈I，都有f(x)≥M;∃x0∈I，使得f(x0)=M.结论称M是函数y=f(x)的最大值称M是函数y=f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标①最大(小)值必须是一个确定的函数值，且为值域中的一个元素.无最小值②求函数的最值应先判断单调性(图象/定义/观察).对函数的最值的理解（1）最值首先是一个函数值，即在函数的定义域I内，存在在一个自变量，使得等于最值.（2）对于定义域内任何元素x，都有“任意”两个字不可省略.（3）使函数f（x）取最值的自变量的值有时可能不止一个.（4）函数f（x）的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.函数的最值与值域的关系（1）函数的最值和值域反应的是函数的整体性质，针对的是整个定义域；（2）函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在；（3）若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素；（4）若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.1.图像法求函数最值典例1解：做出函数的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.oth43215101520由二次函数的知识，对于函数，我们有当时，函数有最大值

所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为29m.方法总结

图象法求函数最值的一般步骤2.利用函数单调性求最值

已知函数，求函数的最大值与最小.

分析：由函数的图象可知道，此函数在[2，6]上递减。所以在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.

解：设是区间[2，6]上的任意两个实数，且，则典例2由于得于是即所以，此函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值即在x=2时取得最大值是2，在x=6时取得最小值为0.4.

（4）若函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.3.函数单调性的实际应用

（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？典例3

方法总结

（1）解实际应用题时，要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围.（2）在实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.

练一练

练一练3.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？

练一练4.二次函数最值

问题1：.如何表示矩形的面积？

问题3：.你能归纳求二次函数最值的方法吗？[答案]

求解二次函数最值问题的方法：（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.（2）在图象上标出定义域的位置.（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.

方法指导

结合二次函数的单调性和求最值的方法进行求解.典例4

方法总结

1.二次函数在指定区间上的最值与二次函数图象的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.2.图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.

练一练

5.恒成立（存在有解）与最值分离参数恒成立/存在(有解)问题化为最值问题一般只适用于二次不等式典例5分离参数分离参数分离参数函数最值分离参数分离参数函数最值分离参数典例6课本练习整个上午（8：00~12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00~13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多，暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00~20：00的期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.解：函数的一个可能图象如图（1）所示：单调增区间：[8,12)，[13,18);单调减区间：[12,13)，[18,20].图象的形状不是唯一的，只要能反映气温的变化情况即可2.设函数的定义域为[-6，11].如果在区间[-6，2]上单调递减，在区间[2，11]上单调递增，画出的一个大致的图象，从图象上可以发现f(-2)函数f(x)的一个__________.解：在区间[-6，11]上的大致图象如图所示.最小值3.已知函数，求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值.解：所以，函数在区间[2，6]上单调递减.随堂检测

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求函数最值的方法求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来求函数最值。求函数最