2021-2022学年陕西省延安市富县高级中学高二（上）期中数学试卷（文科）（附答案详解）

2021-2022学年陕西省延安市富县高级中学高二（上）期中数学

试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项）

数列1,|,|.4，的一个通项公式册是（）

1.1

77

n

nB.普

A.2n+ljc2n-3D.2n+3

2.在△ABC中，已知Q=8,8=30°,A=45°,则b等于（)

A.4V2B.4V5C.D.22

4A/3T

3.等差数列｛5｝中,%=2,公差d=3,则｛an｝的通项公式为（)

A..an=3n—lB.an=2n+1C..an=2n4-3D.an=3n+2

4.等比数列5｝中，=2,=8,则的值为（）

A.16B.±16C.4D.±4

5.下面命题正确的是（）

A.若ac>be,则a>bB.若a?>b2,则a>b

C.若,>孑则Q<人D.若VH>Vh，则a>b

6.下列不等式的解集是空集的是（)

A.x2-x+1>0B.-2x2+%+1>0

C.2x—x2>5D.%2+%>2

7.若a>l则a_l+言的最小值等于（）

A.aB2近C.2D.3

•a-l

8.在△A8C中，若Q=7,b=3,c=8,则其面积等于（)

A.12B等C.28D.6V3

9.若数列｛ttn｝的前n项和为Sn,且S九=2/-1,则出+03=（）

A.10B.11C.17D.18

10.中国古代数学著作像法统宗）中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,

次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一

个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走

了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了()

A.60里B.48里C.36里D.24里

11.下列不等式：①％+：N2：@|x+:|N2；③若0VaV1<b,则log0b+logda<-2；

④若0VQ<l<b,则logab+log/jQN2.其中正确的是()

A.②④B.①②C.②③D.①②④

12.不等式/-2%+5>a2-3a对任意实数%恒成立，则实数a的取值范围为()

A.[-1,4]B.(-8,-2]U[5,+8)

C.(-8,-1]“4,+8)D.[-2,5]

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若x,y是正实数，且％+4y=l,则xy的最大值___.

%—y+10

14.若x,y满足约束条件x+y-3<0,则z=3x-y的最小值为.

X+3y-3>0

15.数列｛a4｝满足%=2,un—a”-]=玄，则.

16.在AABC中，若siMA+siMB-sin2c<0,则AABC的形状是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

解下列不等式.

⑴去2；

(2)(x-l)(x-2)(x-3)<0.

18.(本小题12.0分)

等差数列｛a.｝的前71项和记为立.已知%。=3O,a2o=50.

(1)求通项即；

(2)若配=242,求n..

19.(本小题12.0分)

已知在AaBC中，A=120°,6=3,c=5.

(1)求a及三角形的面积S；

(2)求sinAsinB.

20.(本小题12.0分)

已知数列满足的=1，/i+i—=3,数列｛bn｝满足bn=3%,

(1)求数列｛当｝的通项公式；

(2)求数列｛an+6｝的前n项和.

21.(本小题12.0分)

在△ABC中，a,b,c分别为内角4,B,C的对边，且a2=从+c2+be.

(1)求4的大小；

(2)若等腰三角形外接圆的半径为百，试求△ABC的周长.

22.(本小题12.0分)

经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平

均速度以千米/小时)之间的函数关系为：y=-红海；(。>o)

(1)若要求在该时间段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

(2)该时段内，当汽车的平均速度u为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千

辆/小时)

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

将原数列中的第一项写成分式的形式：p再观察得出每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数

数列,从而得出数列1,|)|,%飘一个通项公式a”

本题主要考查了数列的概念及简单表示法、求数列的通项公式.关键是推断｛an｝中每一项的分式

的规律，求得数列的通项公式.

【解答】

解：将原数列写成：p|,I，p

每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，

•••数列1,京II细一个通项公式的,=号.

故选B.

2.【答案】A

【解析】解：；a=8,B=30°,A=45°,

•••由正弦定理可得，匕=需=萼=4口.

T

故选：A.

根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：an=2+3(n-1)=3n—1.

故选：A.

利用等差数列的通项公式即可得出.

本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】解：设公比为qra2=2,。6=8，

=2

"l^q5=8,

解得q=+>J2-a「

33

a4=arq=±V2-(±V2)=4.

故选：C.

利用等比数列通项公式即可得出.

本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题和易错题.

5.【答案】D

【解析】解：对于4若ac>be,当c<0时，a<b,故A错误，

对于8,令a=-4,b=3,满足a2>b2,但a<b,故8错误，

对于C,令a=1,b=—1,满足(>£,但a>b,故C错误，

对于D,

■■■a>b,故。正确.

故选：D.

根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值是解本题的关键，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法，要牢记一元二次不等式、一元二次函数的关系.

结合一元二次不等式不等式的解法，分别求出4个选项不等式的解集，对于4将/一x+i变形

为已一扔+去分析易得其不符合题意，对于B，将一2/+%+1>。变形为2/一工一1<0,求

出其4，易得其不符合题意，对于C,将2x-久2>5变形为广一2%+5<0,其2=-16<0,求

出其人易得其符合题意，对于D,将/+%>2变形为/+%一2>0,求出其2,易得其不符合

题意，综合可得答案.

【解答】

解：根据题意，依次分析选项，

对于4,x2-x+1=(x-1)2+^,则一一%+1>0恒成立，其解集为R,4不符合题意，

对于8,-2x2+X+1>0=>2X2-X-1<0,有a=2>0,J>0,其解集不是空集，B不符合

题意，

对于C,2%-标>50/-2彳+5<0,其a=1>0,4=-16<0,其解集为0,符合题意，

对于。，X2+X>2=>X2+X-2>0,有a=l>0,4>0,其解集不是空集，0不符合题意，

故选：C.

7.【答案】C

【解析】解：「a〉1,

:•a-1>0.

故选C.

本题可直接利用积为定值，运用基本不等式可得本题结论.

本题考查的是基本不等式，注意不等式的使用条件，本题计算量小，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

已知三条边长利用余弦定理求得cosC=，再利用同角三角函数的基本关系求得sinC=竽，代

人&4BC的面积公式进行运算.

本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinC=^的值是解题的关键.

【解答】

解：在△48C中，若三边长分别为a=7,b=3,c=8,

由余弦定理可得64=49+9-2x7x3cosC,

「1

cosC=——,

:.S^ABC=^absinC=6V3,

故选：D.

9.【答案】B

【解析】解：数列｛册｝的前n项和为Sn，且匕=2层一1,

n=l时，a[=1,n=2时，a1+a2=7,a2=6>

Q]+CL?+Q3=17,Q3=10,

所以的+a3=11.

故选:B.

利用数列的和，通过n的取值，逐步求解即可.

本题考查数列和的表达式的应用，数列项的求法，是基础题.

io.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前n项和，是基础题.

由题意可知，每天走的路程里数构成以;为公比的等比数列，由56=378求得首项，再由等比数列

的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程

【解答】

解：记每天走的路程里数为｛即｝，可知｛a.｝是公比q=：的等比数列，

由56=378,得S6=史字=378,解得：的=192,

1-2

11

:.a4=192x声=24,a5=192x厅=12,

此人第4天和第5天共走了24+12=36里.

故选：C.

11.【答案】C

【解析】解：①x+：22；不成立，比如x=-l；

②|x+：|22；x>0时，x+^>2,当x=l时成立，

x<0时，x+-<—2,当x=-l时成立，

x

综上②正确；

③若0<a<1<b,则logab+log6a=自/+logfta<-2；

故③正确，④错误；

故选：C.

根据基本不等式的性质判断②③④，根据特殊值判断①即可.

本题考查了基本不等式的性质，应用性质的条件，是一道基础题.

12.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的性质，考查了转化思想，是一道基础题.

将问题转化为a2-3a<4,解出即可.

【解答】

解：令/(x)=/-2x+5=(无-1产+4,

"最小值=4,

若不等式i一2x+52a?-3a对任意实数x恒成立，

只需a2-3a<4,解得：-1WaS4,

故选4.

13.【答案】白

16

【解析】解：因为％,y是正实数，1=%+4yN2,4xy,

解得孙<奈，

当且仅当x-4y-g时取等号，

则孙的最大值为奈

故答案为:2.

16

由已知结合基本不等式即可直接求解.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

14.【答案】-1

【解析】解：作出不等式组

tL:3x-y=0

x—y+1>0

x+y-3<0表示的平面区域，如图

%+3y-3>0

所示，

由z=3%—y可得y=3x-z,贝！J-z表示

直线3x-y-z=0在y轴上的截距，截

距越大z越小.

结合图形可知，当直线z=3x-y过点C

时z最小.

由忙可得C(°，l)，此时z=

故答案为：—1.

作出不等式组表示的平面区域，由z=3x-y可得y=3%—z,则-z表示直线3x-y-z=0在y轴

上的截距，截距越大z越小，结合图形可求.

本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础试题.

15.【答案】|-(1)n

【解析】解：•・,数列｛。汽｝满足的=2,an-=最r，

•*-an=一an-l)+(an-l-an-2)---(02一。1)+al

1+J_+

2n2“T

知-(别

故答案为|-(1)M

利用“累力口求和”和等比数列的前n项和公式即可得出.

本题考查了“累加求和”和等比数列的前n项和公式，属于中档题.

16.【答案】钝角三角形

【解析】解：在AABC中，若siMa+siMB—siMC<0,

则由正弦定理可得a?+b2-c2<0,

再由余弦定理可得，cosC="^H<0，

2ab

即有4为钝角，

则三角形4BC为钝角三角形.

故答案为：钝角三角形.

运用正弦定理可得。2+炉-©2<0,再由余弦定理，可得cosC<0,即可判断三角形的形状.

本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题.

17.【答案】解：(1)由题意，不等式0|W2,可化为三|一2=三*<0,

''x+3x+3x+3

艮喘泄叱曹/或E曹引

解得x<-8或x>-3.

二不等式的解集合为(-8,-8]U(-3,+oo).

(2)由方程(x-l)(x-2)(x-3)=0,解得x=1或x=2或x=3,

结合穿根法，可得不等式0-1)0-2)。-3)<0的解集为(一8,-1]口(2,3).

【解析】(1)利用移项，通分化简，即可求解；

(2)结合高次不等式的穿根法即可求解.

本题主要考查了分式不等式及高次不等式的求法，属于基础题.

18.【答案】解：(1)设等差数列｛册｝的公差为d,

由即=%+(n-l)d,a10=30,a20=50,得方程组｛f：

解得｛:二2"'所以即=2n+10.

(2)由S.=nax+d,Sn=242得12n+x2=242.

解得n=11或n=-22(舍去).

故n=11.

【解析】本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.

(1)利用等差数列的通项公式，根据的0和&20的值建立方程组，求得由和d,则通项an可得.

(2)把S“=242代入等差数列的求和公式，进而求得n.

19.【答案】解：(1)在△4B1中,A=120°,b=3,c=5,

由余弦定理得，a2=—2bccosA=32+52—2x3x5cosl20°=49,

a=7,S—bcsinA=3x5s讥120°—.

ab7714

(2)由正弦定理得，,=/而=嬴而=逅=而，

2

•._—abV339

:.sinAsinBn=sml420°X1A=~X1A=^.

v5国

【解析】(1)由已知结合余弦定理可求出a,然后结合三角形面积公式可求；

(2)由已知结合正弦定理即可求解、

本题主要考查了余弦定理，正弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于基础题.

20.【答案】解:(1)%=1,an+1-an=3,

.・.数列是首项为1,公差为3的等差数列，

•••an=1+3(n—1)=3n—2,

3n-2

bn=3即=3.

L3n+l

(2)由(1)知铲=2%=27,

Dn3

・,・数列出n｝是首项为3,公比为27的等比数列，

rl

・•・bn=3x27t,

则数列｛/+bn｝的前n项和为Sn=a1+b1+a2+b2+・・・+an+bn

aa

=(i+做+…+n)+(为+%+…+bn)

_71(1+32)3(27n-l)

=2+27-1

【解析】(1)由%=1,册+1-0=3,利用等差数列的通项公式可得an,bn=3〃=33吁2.

(2)由(1)知铲=募=27,利用通项公式可得勾，利用求和公式即可得出数列｛即+%｝的前n项

和为Sn.

本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公