2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)

2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。1.$x\to+\infty$时，下列无穷小量中最高阶是（）A.$\int_{x^2}^{et-1}dt$B.$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C.$\int_0^x\frac{\sinx}{\sint^2}dt$D.$\int_0^x\frac{1-\cosx}{\sint^2}dt$2.设函数$f(x)$在区间$(-1,1)$内有定义，且$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$，则（）A.当$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$，$f(x)$在$x=0$处可导。B.当$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$，$f(x)$在$x=0$处可导。C.当$f(x)$在$x=0$处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。D.当$f(x)$在$x=0$处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。3.设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partialf}{\partialy}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$非零向量$d$与$n$垂直，则（）A.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$存在。B.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$存在。C.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}|d\cdot(x,y,f(x,y))|$存在。D.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}|d\times(x,y,f(x,y))|$存在。4.设$R$为幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径，$r$是实数，则（）A.若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$发散，则$|r|\geqR$。B.若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$发散，则$|r|\leqR$。C.若$|r|\geqR$，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$发散。D.若$|r|\leqR$，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$发散。5.若矩阵$A$经初等变换化成$B$，则（）A.存在矩阵$P$，使得$PA=B$。B.存在矩阵$P$，使得$BP=A$。C.存在矩阵$P$，使得$PB=A$。D.方程组$Ax=0$与$Bx=0$同解。6.已知直线$L_1:x-a_2y-b_2z=0$，$L_2:\begin{cases}x-a_3y-b_3z=0\\a_1x-y-b_1z=0\end{cases}$相交于一点，法向量$a_i=(a_{i1},a_{i2},a_{i3}),i=1,2,3$。则$a_1,a_2,a_3$（）A.可由$a_2\timesa_3$得到。B.可由$a_3\timesa_1$得到。C.可由$a_1\timesa_2$得到。D.不能同时为零向量。7.设$f(x)$在$[a,b]$上有二阶连续导数，则$\exists\xi\in(a,b)$，使得（）A.$f''(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。B.$f''(\xi)=\frac{2}{b-a}\int_a^bf(x)dx-f\left(\frac{a+b}{2}\right)$。C.$f''(\xi)=\frac{2}{b-a}\int_a^bf''(x)dx-f'\left(\frac{a+b}{2}\right)$。D.$f''(\xi)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$。8.设$f(x)$在$[0,1]$上二阶可导，$f(0)=f(1)=0$，$f''(x)>0$，则$f(x)$在$(0,1)$内的零点个数为（）A.无限个。B.至少$2$个。C.至少$3$个。D.至少$4$个。2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。1.求$\lim\limits_{x\to+\infty}$时，下列无穷小量中最高阶的是（）A.$\int_{x^2}^{et-1}dt$B.$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C.$\int_0^x\frac{\sinx}{\sint^2}dt$D.$\int_0^x\frac{1-\cosx}{\sint^2}dt$2.设函数$f(x)$在区间$(-1,1)$内有定义，且$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$，则（）A.当$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$时，$f(x)$在$x=0$处可导。B.当$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$时，$f(x)$在$x=0$处可导。C.当$f(x)$在$x=0$处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。D.当$f(x)$在$x=0$处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。3.设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partialf}{\partialy}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$非零向量$d$与$n$垂直，则（）A.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$存在。B.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$存在。C.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}|d\cdot(x,y,f(x,y))|$存在。D.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}|d\times(x,y,f(x,y))|$存在。4.设$R$为幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径，$r$是实数，则（）A.若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$发散，则$|r|\geqR$。B.若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$发散，则$|r|\leqR$。C.若$|r|\geqR$，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$发散。D.若$|r|\leqR$，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$发散。5.若矩阵$A$经初等变换化成$B$，则（）A.存在矩阵$P$，使得$PA=B$。B.存在矩阵$P$，使得$BP=A$。C.存在矩阵$P$，使得$PB=A$。D.方程组$Ax=0$与$Bx=0$同解。6.已知直线$L_1:x-a_2y-b_2z=0$，$L_2:\begin{cases}x-a_3y-b_3z=0\\a_1x-y-b_1z=0\end{cases}$相交于一点，法向量$a_i=(a_{i1},a_{i2},a_{i3}),i=1,2,3$。则$a_1,a_2,a_3$（）A.可由$a_2\timesa_3$得到。B.可由$a_3\timesa_1$得到。C.可由$a_1\timesa_2$得到。D.不能同时为零向量。7.设$f(x)$在$[a,b]$上有二阶连续导数，则$\exists\xi\in(a,b)$，使得（）A.$f''(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。B.$f''(\xi)=\frac{2}{b-a}\int_a^bf(x)dx-f\left(\frac{a+b}{2}\right)$。C.$f''(\xi)=\frac{2}{b-a}\int_a^bf''(x)dx-f'\left(\frac{a+b}{2}\right)$。D.$f''(\xi)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$。8.设$f(x)$在$[0,1]$上二阶可导，$f(0)=f(1)=0$，$f''(x)>0$，则$f(x)$在$(0,1)$内的零点个数为（）A.无限个。B.至少$2$个。C.至少$3$个。D.至少$4$个。1.线性表示B.a可由a1,a3线性表示C.a3可由a1,a2线性表示D.a1,a2,a3线性无关2.设A,B,C为三个随机事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/3,P(AB)=1/4,P(AC)=P(BC)=1/则12A,B,C中恰有一个事件发生的概率为3/4。3.设x1,x2,…,xn为来自总体X的简单随机样本，其中P(X=0)=P(X=1)=1/2，分布函数，则利用中心极限定理可得P(∑xi≤55)的近似值为1-Φ(1)。4.lim(x→0)(ex-1ln(1+x))/x=1/25.设y=ln(t+t+1)，则d2y/dx2=1/(t+1)^26.若函数f(x)满足f''(x)+af'(x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m,f'(0)=n，则f(x)=e^(-a/2)x(mcos(sqrt(a)/2*x)+nsin(sqrt(a)/2*x))7.设函数f(x,y)=xy∂^2f/∂x∂y，则∫∫f(x,y)dxdy=∫x^2/2+y^2/2f(x,y)dxdy8.行列式|a-11/a1|=-a9.lim(x→∞)∫e^-tdt/x=010.设x=t+1，则d^2y/dx^2=2/(x-1)^311.若函数f(x)满足f''(x)+af'(x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m,f'(0)=n，则f(x)=e^(-a/2)x(mcos(sqrt(a)/2*x)+nsin(sqrt(a)/2*x))12.设数列{an}满足a1=1(x+1)a(n+1)=n+a1+a2+...+an(x|<1)，则∑an/(1-x)=1/(1-x)13.行列式|sinxsin2xsin3x|=-2sin3x14.Cov(X,Y)=015.求偏导数，令其为0，解方程组得极值点为(8,4)，代入原函数得最大值为24。16.用格林公式计算，得I=4π/3。17.用数学归纳法证明，当n=1时，∑an/(1-x)收敛，设∑an/(1-x)收敛，则∑an+1/(1-x)也收敛，且∑an+1/(1-x)=(n+1)a1+a2+...+an+1/(1-x)，故∑an/(1-x)收敛，且和函数为1/(1-x)。18.用格林公式计算，得∫∫zf(x,y)dxdy=16π/3，故∫∫f(x,y)dxdy=8π/3。1.题目不清晰，无法进行修改。2.题目不清晰，无法进行修改。3.题目不清晰，无法进行修改。4.证明：若对任意的x∈(0,2),|f'(x)|≤M，则M≤max{|f(x)|}。又因为f(x)在区间[0,2]上具有连续导数，所以f(x)在[0,2]上连续。根据介值定理，存在x∈(0,2)，使得f'(x)=k，其中k为介于f'(0)和f'(2)之间的一个数。因为|f'(x)|≥|k|，所以M≥|k|。综上，M=|k|，即M为f'(x)在[0,2]上的最大值。5.(1)由于正交变换不改变二次型的标准型，所以二次型f(x1,x2)=x1^2+4x1x2+4x2^2经过正交变换化为二次型2g(y1,y2)=ay1^2+4y1y2+by2^2。根据二次型的定义，二次型对应的矩阵为A=(aij)，其中aij为二次型中的系数。所以a=2，b=4。(2)由于正交变换的矩阵为正交矩阵，所以Q^-1=Q^T。设正交矩阵Q为[ab;cd]，则Q^TQ=I，其中I为单位矩阵。根据矩阵乘法，有a^2+c^2=1，b^2+d^2=1，ab+cd=0。又因为Q为正交矩阵，所以det(Q)=1，即ad-bc=1。解以上方程组可得a=d=±1/√2，b=-c=±1/√2。故Q为以下四个矩阵之一：[1/√21/√2;-1/√21/√2]，[-1/√21/√2;1/√21/√2]，[1/√2-1/√2;1/√21/√2]，[-1/√2-1/√2;-1/√21/√2]。6.(1)由于向量α不是A的特征向量，所以α与Aα线性无关。因此，P=(αAα)的秩为2，所以P为可逆矩阵。(2)由于A2α+Aα-6α=0，所以A2α=-Aα+6α。将A2α代入二次式f(x)=x^TAx中，得f(α)=α^TAα=-α^TAα+6α^Tα=-2α^TAα+6。由于P^-1=(1/2α-1/2Aα)，所以P^-1AP=(1/2α-1/2Aα)A(αAα)(1/2α-1/2Aα)^-1=1/2(αAα-AαAα)。由于α与Aα线性无关，所以αAα-AαAα≠0。因此，P^-1AP的特征值不全相等，所以A不相似于对角矩阵。7.(1)由于X1与X2均服从标准正态分布，所以它们的联合分布函数为F(X1,X2)=1/4π∫∫e^(-x1^2/2-x2^2/2)dx1dx2。由于Y=X3X1+(1-X3)X2，所以Y的分布函数为F(Y≤y)=P(X3X1+(1-X3)X2≤y)=1/4π∫∫∫e^(-x1^2/2-x2^2/2)dx1dx2dx3，其中积分区域为x3x1+(1-x3)x2≤y。将x1表示为y/(x3+(1-x3)x2/x1)，代入积分式中，得F(Y≤y)=1/2π∫∫e^(-y^2/(2(x3+(1-x3)x2/x1)^2))x2/(x3+(1-x3)x2/x1)dx1dx2。将x2表示为z=x2/(x3+(1-x3)x2/x1)，代入积分式中，得F(Y≤y)=1/2π∫∫e^(-y^2/(2(x3+(1-x3)x2/x1)^2))dx1dz。对x1积分，得F(Y≤y)=1/2∫e^(-y^2/(2(x3+(1-x3)z)^2))dz。令t=y/(x3+(1-x3)z)，则z=(y-tx3)/(t(1-x3))，dx3=(y-tx3)^2/(t^2(1-x3)^2)dt，代入积分式中，得F(Y≤y)=1/2∫(0,1)∫(0,∞)e^(-y^2/(2(x3+(1-x3)z)^2))(y-tx3)/(t(1-x3))^2dx3dt。对dx3积分，得F(Y≤y)=1/2∫(0,1)(-e^(-y^2/(2(x3+(1-x3)z)^2)))/(y(1-x3)